Theorem fllog2 47824

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fllog2	⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Proof of Theorem fllog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12616	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		2rp 13014	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		elfzoelz 13667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzo2 13670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))))
8		eluz2 12861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁))
9		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		2pos 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
12		expgt0 14096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼))
13	9, 1, 11, 12	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < (2↑𝐼))
14	13	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
15		0red 11249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16		zre 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
17	16	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
18	17	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
19		zre 12595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		ltletr 11338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
22	15, 18, 20, 21	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
23	14, 22	mpand 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
24	23	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁)))
26	25	3impia 1114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
27	8, 26	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
28	27	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
29	7, 28	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
30	29	impcom 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁)
31	6, 30	elrpd 13048	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
32		1ne2 12453	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
33	32	necomi 2984	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 26750	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	3, 31, 34, 35	mp3an2i 1462	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37	36	flcld 13799	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
38		eluzelz 12865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		zltlem1 12648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
40	38, 39	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
41		2z 12627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
42		uzid 12870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
44		eluzelre 12866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
46	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
47	46, 1, 11	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
48	47	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
49	48, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
50		0red 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
51	16	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
52	19	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	50, 51, 52, 21	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
54	49, 53	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
55	54	3exp 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))))
56	55	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))))
57	56	3imp 1108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
58	8, 57	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
59	58	imp 405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
60	45, 59	elrpd 13048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
61	60	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
62	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
63		peano2nn0 12545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
65	62, 64	reexpcld 14163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
66		peano2rem 11559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
68		nn0p1nn 12544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
69		1lt2 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
71	46, 68, 70	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
72	71	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
73		expgt1 14101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
75		1red 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
76		zre 12595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
77	76	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
78	75, 77	posdifd 11833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
79	74, 78	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
80	67, 79	elrpd 13048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
81		logbleb 26760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
82	43, 61, 80, 81	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
83	44	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
84	83	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
85	59	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
86	84, 85	elrpd 13048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
87	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 1)
88	3, 86, 87, 35	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
89	88	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
90	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
91	46, 63	reexpcld 14163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
92	91, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
93	9, 68, 70, 73	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
94		1red 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
95	94, 91	posdifd 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
96	93, 95	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
97	92, 96	elrpd 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
98	90, 97	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
99	98	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
100		relogbzcl 26751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
102	101	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
103		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
104		flwordi 13813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
105	89, 102, 103, 104	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
106	105	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))))
107	68	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
108		logbpw2m1 47823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
110		nn0cn 12515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
111		pncan1 11670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
113	112	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
114	109, 113	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼)
115	114	breq2d 5161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
116	106, 115	sylibd 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
117	82, 116	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
118	117	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
119	118	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
120	40, 119	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
121	120	3impia 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
122	7, 121	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
123	122	impcom 406	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)
124		nn0re 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
125		nn0ge0 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
126		flge0nn0 13821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
127	124, 125, 126	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
128	127	nn0red 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
129	128	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
130	124	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ)
131		flle 13800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
132	124, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
133	132	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
134	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
135	134, 1	rpexpcld 14245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
136	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
137		relogbcl 26750	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
138	3, 135, 136, 137	mp3an2i 1462	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
139	138	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
140		nnlogbexp 26758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
141	90, 1, 140	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
142	141	eqcomd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 = (2 logb (2↑𝐼)))
143	124, 142	eqled 11349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
144	143	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
145		elfzole1 13675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
146	145	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
147	135	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
148		logbleb 26760	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
149	43, 147, 31, 148	mp3an2i 1462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
150	146, 149	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))
151	130, 139, 36, 144, 150	letrd 11403	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁))
152	129, 130, 36, 133, 151	letrd 11403	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁))
153		flflp1 13808	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
154	130, 36, 153	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
155	152, 154	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
156		zgeltp1eq 46824	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))))
157	156	imp 405	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
158	2, 37, 123, 155, 157	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
159	158	eqcomd 2731	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  ℝ⁺crp 13009  ..^cfzo 13662  ⌊cfl 13791  ↑cexp 14062   log_b clogb 26741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536  df-logb 26742

This theorem is referenced by:  nnolog2flm1  47846