Theorem fllog2 49056

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fllog2	⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Proof of Theorem fllog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12539	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		2rp 12938	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		elfzoelz 13604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzo2 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))))
8		eluz2 12785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁))
9		2re 12246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		2pos 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
12		expgt0 14048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼))
13	9, 1, 11, 12	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < (2↑𝐼))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
15		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
19		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		ltletr 11229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
22	15, 18, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
23	14, 22	mpand 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁)))
26	25	3impia 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
27	8, 26	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
28	27	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
29	7, 28	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
30	29	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁)
31	6, 30	elrpd 12974	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
32		1ne2 12375	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
33	32	necomi 2987	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 26750	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	3, 31, 34, 35	mp3an2i 1469	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37	36	flcld 13748	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
38		eluzelz 12789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		zltlem1 12571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
40	38, 39	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
41		2z 12550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
42		uzid 12794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
44		eluzelre 12790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
46	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
47	46, 1, 11	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
48	47	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
49	48, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
50		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
51	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
52	19	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	50, 51, 52, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
54	49, 53	mpand 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
55	54	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))))
56	55	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))))
57	56	3imp 1111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
58	8, 57	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
60	45, 59	elrpd 12974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
61	60	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
62	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
63		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
65	62, 64	reexpcld 14116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
66		peano2rem 11452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
68		nn0p1nn 12467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
69		1lt2 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
71	46, 68, 70	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
73		expgt1 14053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
75		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
76		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
77	76	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
78	75, 77	posdifd 11728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
79	74, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
80	67, 79	elrpd 12974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
81		logbleb 26760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
82	43, 61, 80, 81	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
83	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
85	59	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
86	84, 85	elrpd 12974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
87	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 1)
88	3, 86, 87, 35	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
90	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
91	46, 63	reexpcld 14116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
92	91, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
93	9, 68, 70, 73	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
94		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
95	94, 91	posdifd 11728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
96	93, 95	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
97	92, 96	elrpd 12974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
98	90, 97	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
100		relogbzcl 26751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
104		flwordi 13762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
105	89, 102, 103, 104	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
106	105	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))))
107	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
108		logbpw2m1 49055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
110		nn0cn 12438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
111		pncan1 11565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
114	109, 113	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼)
115	114	breq2d 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
116	106, 115	sylibd 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
117	82, 116	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
118	117	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
119	118	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
120	40, 119	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
121	120	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
122	7, 121	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
123	122	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)
124		nn0re 12437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
125		nn0ge0 12453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
126		flge0nn0 13770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
127	124, 125, 126	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
128	127	nn0red 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
129	128	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
130	124	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ)
131		flle 13749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
132	124, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
133	132	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
134	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
135	134, 1	rpexpcld 14200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
136	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
137		relogbcl 26750	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
138	3, 135, 136, 137	mp3an2i 1469	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
140		nnlogbexp 26758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
141	90, 1, 140	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
142	141	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 = (2 logb (2↑𝐼)))
143	124, 142	eqled 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
144	143	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
145		elfzole1 13613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
146	145	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
147	135	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
148		logbleb 26760	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
149	43, 147, 31, 148	mp3an2i 1469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
150	146, 149	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))
151	130, 139, 36, 144, 150	letrd 11294	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁))
152	129, 130, 36, 133, 151	letrd 11294	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁))
153		flflp1 13757	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
154	130, 36, 153	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
155	152, 154	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
156		zgeltp1eq 47769	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))))
157	156	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
158	2, 37, 123, 155, 157	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
159	158	eqcomd 2743	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ..^cfzo 13599  ⌊cfl 13740  ↑cexp 14014   log_b clogb 26741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534  df-logb 26742

This theorem is referenced by:  nnolog2flm1  49078