Theorem fllog2 48515

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fllog2	⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Proof of Theorem fllog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12618	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		2rp 13018	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		elfzoelz 13681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 12702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzo2 13684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))))
8		eluz2 12863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁))
9		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		2pos 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
12		expgt0 14118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼))
13	9, 1, 11, 12	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < (2↑𝐼))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
15		0red 11243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16		zre 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
19		zre 12597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		ltletr 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
22	15, 18, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
23	14, 22	mpand 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁)))
26	25	3impia 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
27	8, 26	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
29	7, 28	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
30	29	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁)
31	6, 30	elrpd 13053	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
32		1ne2 12453	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
33	32	necomi 2987	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 26740	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	3, 31, 34, 35	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37	36	flcld 13820	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
38		eluzelz 12867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		zltlem1 12650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
40	38, 39	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
41		2z 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
42		uzid 12872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
44		eluzelre 12868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
46	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
47	46, 1, 11	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
48	47	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
49	48, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
50		0red 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
51	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
52	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	50, 51, 52, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
54	49, 53	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
55	54	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))))
56	55	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))))
57	56	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
58	8, 57	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
60	45, 59	elrpd 13053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
61	60	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
62	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
63		peano2nn0 12546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
65	62, 64	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
66		peano2rem 11555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
68		nn0p1nn 12545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
69		1lt2 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
71	46, 68, 70	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
73		expgt1 14123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
75		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
76		zre 12597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
77	76	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
78	75, 77	posdifd 11829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
79	74, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
80	67, 79	elrpd 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
81		logbleb 26750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
82	43, 61, 80, 81	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
83	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
85	59	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
86	84, 85	elrpd 13053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
87	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 1)
88	3, 86, 87, 35	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
90	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
91	46, 63	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
92	91, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
93	9, 68, 70, 73	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
94		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
95	94, 91	posdifd 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
96	93, 95	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
97	92, 96	elrpd 13053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
98	90, 97	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
100		relogbzcl 26741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
104		flwordi 13834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
105	89, 102, 103, 104	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
106	105	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))))
107	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
108		logbpw2m1 48514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
110		nn0cn 12516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
111		pncan1 11666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
114	109, 113	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼)
115	114	breq2d 5136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
116	106, 115	sylibd 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
117	82, 116	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
118	117	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
119	118	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
120	40, 119	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
121	120	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
122	7, 121	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
123	122	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)
124		nn0re 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
125		nn0ge0 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
126		flge0nn0 13842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
127	124, 125, 126	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
128	127	nn0red 12568	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
129	128	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
130	124	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ)
131		flle 13821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
132	124, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
133	132	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
134	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
135	134, 1	rpexpcld 14270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
136	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
137		relogbcl 26740	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
138	3, 135, 136, 137	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
140		nnlogbexp 26748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
141	90, 1, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
142	141	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 = (2 logb (2↑𝐼)))
143	124, 142	eqled 11343	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
144	143	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
145		elfzole1 13689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
146	145	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
147	135	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
148		logbleb 26750	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
149	43, 147, 31, 148	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
150	146, 149	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))
151	130, 139, 36, 144, 150	letrd 11397	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁))
152	129, 130, 36, 133, 151	letrd 11397	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁))
153		flflp1 13829	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
154	130, 36, 153	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
155	152, 154	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
156		zgeltp1eq 47305	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))))
157	156	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
158	2, 37, 123, 155, 157	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
159	158	eqcomd 2742	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  ..^cfzo 13676  ⌊cfl 13812  ↑cexp 14084   log_b clogb 26731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-cxp 26523  df-logb 26732

This theorem is referenced by:  nnolog2flm1  48537