Theorem fllog2 48814

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fllog2	⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Proof of Theorem fllog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12512	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		2rp 12910	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
4		elfzoelz 13575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 12596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzo2 13578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))))
8		eluz2 12757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁))
9		2re 12219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		2pos 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
12		expgt0 14018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼))
13	9, 1, 11, 12	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < (2↑𝐼))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
15		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
19		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		ltletr 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
22	15, 18, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
23	14, 22	mpand 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁)))
26	25	3impia 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
27	8, 26	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
29	7, 28	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
30	29	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁)
31	6, 30	elrpd 12946	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
32		1ne2 12348	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
33	32	necomi 2986	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1)
35		relogbcl 26739	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
36	3, 31, 34, 35	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37	36	flcld 13718	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
38		eluzelz 12761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		zltlem1 12544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
40	38, 39	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
41		2z 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
42		uzid 12766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
44		eluzelre 12762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
46	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
47	46, 1, 11	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
48	47	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
49	48, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
50		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
51	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
52	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	50, 51, 52, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
54	49, 53	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
55	54	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))))
56	55	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))))
57	56	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
58	8, 57	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
60	45, 59	elrpd 12946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
61	60	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
62	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
63		peano2nn0 12441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
65	62, 64	reexpcld 14086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
66		peano2rem 11448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
68		nn0p1nn 12440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
69		1lt2 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
71	46, 68, 70	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
73		expgt1 14023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
75		1red 11133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
76		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
77	76	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
78	75, 77	posdifd 11724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
79	74, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
80	67, 79	elrpd 12946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
81		logbleb 26749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
82	43, 61, 80, 81	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
83	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
85	59	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
86	84, 85	elrpd 12946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
87	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 1)
88	3, 86, 87, 35	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
90	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
91	46, 63	reexpcld 14086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
92	91, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
93	9, 68, 70, 73	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
94		1red 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
95	94, 91	posdifd 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
96	93, 95	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
97	92, 96	elrpd 12946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
98	90, 97	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
100		relogbzcl 26740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
104		flwordi 13732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
105	89, 102, 103, 104	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
106	105	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))))
107	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
108		logbpw2m1 48813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
110		nn0cn 12411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
111		pncan1 11561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
114	109, 113	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼)
115	114	breq2d 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
116	106, 115	sylibd 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
117	82, 116	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
118	117	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
119	118	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
120	40, 119	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
121	120	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
122	7, 121	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
123	122	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)
124		nn0re 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
125		nn0ge0 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
126		flge0nn0 13740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
127	124, 125, 126	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
128	127	nn0red 12463	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
129	128	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
130	124	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ)
131		flle 13719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
132	124, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
133	132	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
134	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
135	134, 1	rpexpcld 14170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
136	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
137		relogbcl 26739	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
138	3, 135, 136, 137	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
140		nnlogbexp 26747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
141	90, 1, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
142	141	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 = (2 logb (2↑𝐼)))
143	124, 142	eqled 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
144	143	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
145		elfzole1 13583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
146	145	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
147	135	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
148		logbleb 26749	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
149	43, 147, 31, 148	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
150	146, 149	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))
151	130, 139, 36, 144, 150	letrd 11290	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁))
152	129, 130, 36, 133, 151	letrd 11290	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁))
153		flflp1 13727	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
154	130, 36, 153	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
155	152, 154	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
156		zgeltp1eq 47555	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))))
157	156	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
158	2, 37, 123, 155, 157	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
159	158	eqcomd 2742	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  ..^cfzo 13570  ⌊cfl 13710  ↑cexp 13984   log_b clogb 26730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-cxp 26522  df-logb 26731

This theorem is referenced by:  nnolog2flm1  48836