Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fllog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fllog2 44969
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fllog2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Proof of Theorem fllog2
StepHypRef Expression
1 nn0z 11997 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
21adantr 484 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 2rp 12386 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
4 elfzoelz 13037 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
54zred 12079 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7 elfzo2 13040 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))))
8 eluz2 12241 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁))
9 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
10 2pos 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
12 expgt0 13462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼))
139, 1, 11, 12mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < (2↑𝐼))
1413adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
15 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
1716adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
1817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
19 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 ltletr 10725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
2215, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
2314, 22mpand 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
2423ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))
2524com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁)))
26253impia 1114 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
278, 26sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
28273ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
297, 28sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
3029impcom 411 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁)
316, 30elrpd 12420 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
32 1ne2 11837 . . . . . . 7 1 ≠ 2
3332necomi 3044 . . . . . 6 2 ≠ 1
3433a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1)
35 relogbcl 25362 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
363, 31, 34, 35mp3an2i 1463 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
3736flcld 13167 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
38 eluzelz 12245 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 zltlem1 12027 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
4038, 39sylan 583 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
41 2z 12006 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
42 uzid 12250 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (ℤ‘2)
44 eluzelre 12246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4544adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
469a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
4746, 1, 113jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
48473ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
4948, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
50 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
51163ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
52193ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5350, 51, 52, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
5449, 53mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
55543exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))))
5655com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))))
57563imp 1108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
588, 57sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
5958imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
6045, 59elrpd 12420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
63 peano2nn0 11929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
6463adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
6562, 64reexpcld 13527 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
66 peano2rem 10946 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
68 nn0p1nn 11928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
69 1lt2 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
7146, 68, 703jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
73 expgt1 13467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
75 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
76 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
7875, 77posdifd 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
7974, 78mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
8067, 79elrpd 12420 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
81 logbleb 25372 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
8243, 61, 80, 81mp3an2i 1463 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
8344adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8483adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8559adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
8684, 85elrpd 12420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
8733a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 1)
883, 86, 87, 35mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
8988adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9043a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ (ℤ‘2))
9146, 63reexpcld 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
9291, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
939, 68, 70, 73mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
94 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
9594, 91posdifd 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
9693, 95mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
9792, 96elrpd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
9890, 97jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
9998adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
100 relogbzcl 25363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
102101adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
103 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
104 flwordi 13181 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
10589, 102, 103, 104syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
106105ex 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))))
10768adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
108 logbpw2m1 44968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
110 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
111 pncan1 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
113112adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
114109, 113eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼)
115114breq2d 5045 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
116106, 115sylibd 242 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
11782, 116sylbid 243 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
118117ex 416 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
119118com23 86 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
12040, 119sylbid 243 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
1211203impia 1114 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
1227, 121sylbi 220 . . . 4 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
123122impcom 411 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)
124 nn0re 11898 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
125 nn0ge0 11914 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
126 flge0nn0 13189 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
127124, 125, 126syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
128127nn0red 11948 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
129128adantr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
130124adantr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ)
131 flle 13168 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
132124, 131syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
133132adantr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
1343a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
135134, 1rpexpcld 13608 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
13633a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
137 relogbcl 25362 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
1383, 135, 136, 137mp3an2i 1463 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
139138adantr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
140 nnlogbexp 25370 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
14190, 1, 140syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
142141eqcomd 2807 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 = (2 logb (2↑𝐼)))
143124, 142eqled 10736 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
144143adantr 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
145 elfzole1 13045 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
146145adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
147135adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
148 logbleb 25372 . . . . . . . 8 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
14943, 147, 31, 148mp3an2i 1463 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
150146, 149mpbid 235 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))
151130, 139, 36, 144, 150letrd 10790 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁))
152129, 130, 36, 133, 151letrd 10790 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁))
153 flflp1 13176 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
154130, 36, 153syl2anc 587 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
155152, 154mpbid 235 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
156 zgeltp1eq 43853 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))))
157156imp 410 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
1582, 37, 123, 155, 157syl22anc 837 . 2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
159158eqcomd 2807 1 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  ..^cfzo 13032  cfl 13159  cexp 13429   logb clogb 25353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-cxp 25152  df-logb 25354
This theorem is referenced by:  nnolog2flm1  44991
  Copyright terms: Public domain W3C validator