Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fllog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fllog2 42963
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fllog2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Proof of Theorem fllog2
StepHypRef Expression
1 nn0z 11647 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
21adantr 472 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 2rp 12033 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ∈ ℝ+)
5 elfzoelz 12678 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
65zred 11729 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
76adantl 473 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8 elfzo2 12681 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))))
9 eluz2 11892 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁))
10 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
12 2pos 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
14 expgt0 13100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼))
1511, 1, 13, 14syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < (2↑𝐼))
1615adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
17 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
18 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
1918adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
21 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 ltletr 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
2417, 20, 22, 23syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
2516, 24mpand 686 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
2625ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))
2726com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁)))
28273impia 1145 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
299, 28sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
30293ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
318, 30sylbi 208 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
3231impcom 396 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁)
337, 32elrpd 12067 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
34 1ne2 11486 . . . . . . 7 1 ≠ 2
3534necomi 2991 . . . . . 6 2 ≠ 1
3635a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1)
37 relogbcl 24802 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
384, 33, 36, 37syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
3938flcld 12807 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
40 eluzelz 11896 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 zltlem1 11677 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
4240, 41sylan 575 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
43 2z 11656 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
44 uzid 11901 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘2)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ (ℤ‘2))
47 eluzelre 11897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
4911, 1, 133jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
50493ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
5150, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
52 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
53183ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
54213ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5552, 53, 54, 23syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
5651, 55mpand 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
57563exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))))
5857com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))))
59583imp 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
609, 59sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
6160imp 395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
6248, 61elrpd 12067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6362adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6410a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
65 peano2nn0 11580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
6764, 66reexpcld 13232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
68 peano2rem 10602 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
70 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
71 1lt2 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
7311, 70, 723jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
75 expgt1 13105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
77 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
78 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
7978ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
8077, 79posdifd 10868 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
8176, 80mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
8269, 81elrpd 12067 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
83 logbleb 24812 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
8446, 63, 82, 83syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
853a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
8647adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8861adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
8987, 88elrpd 12067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9035a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 1)
9185, 89, 90, 37syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ (ℤ‘2))
9411, 65reexpcld 13232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
9594, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
9611, 70, 72, 75syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
97 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
9897, 94posdifd 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
9996, 98mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
10095, 99elrpd 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
10193, 100jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
102101adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
103 relogbzcl 24803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
105104adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
106 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
107 flwordi 12821 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
10892, 105, 106, 107syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
109108ex 401 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))))
11070adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
111 logbpw2m1 42962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
113 nn0cn 11549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
114 pncan1 10708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
117112, 116eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼)
118117breq2d 4821 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
119109, 118sylibd 230 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
12084, 119sylbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
121120ex 401 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
122121com23 86 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
12342, 122sylbid 231 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
1241233impia 1145 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
1258, 124sylbi 208 . . . 4 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
126125impcom 396 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)
127 nn0re 11548 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
128 nn0ge0 11565 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
129 flge0nn0 12829 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
130127, 128, 129syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
131130nn0red 11599 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
132131adantr 472 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
133127adantr 472 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ)
134 flle 12808 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
135127, 134syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
136135adantr 472 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
1373a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
138137, 1rpexpcld 13239 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
13935a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
140 relogbcl 24802 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
141137, 138, 139, 140syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
142141adantr 472 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
143127leidd 10848 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼𝐼)
144 nnlogbexp 24810 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
14593, 1, 144syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
146143, 145breqtrrd 4837 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
147146adantr 472 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
148 elfzole1 12686 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
149148adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
15045a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ∈ (ℤ‘2))
151138adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
152 logbleb 24812 . . . . . . . 8 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
153150, 151, 33, 152syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
154149, 153mpbid 223 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))
155133, 142, 38, 147, 154letrd 10448 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁))
156132, 133, 38, 136, 155letrd 10448 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁))
157 flflp1 12816 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
158133, 38, 157syl2anc 579 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
159156, 158mpbid 223 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
160 zgeltp1eq 41985 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))))
161160imp 395 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
1622, 39, 126, 159, 161syl22anc 867 . 2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
163162eqcomd 2771 1 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  ..^cfzo 12673  cfl 12799  cexp 13067   logb clogb 24793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cxp 24595  df-logb 24794
This theorem is referenced by:  nnolog2flm1  42985
  Copyright terms: Public domain W3C validator