Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem2 47598
Description: Lemma 2 for lighneal 47603. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evennn2n 16389 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
213ad2ant3 1135 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
3 oveq2 7440 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (2 · 𝑘) → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
43eqcoms 2744 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑘) = 𝑁 → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
5 2cnd 12345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
6 nncn 12275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75, 6mulcomd 11283 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
87oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = (2↑(𝑘 · 2)))
9 2nn0 12545 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
11 nnnn0 12535 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
125, 10, 11expmuld 14190 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(𝑘 · 2)) = ((2↑𝑘)↑2))
138, 12eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
1413adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
154, 14sylan9eqr 2798 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (2↑𝑁) = ((2↑𝑘)↑2))
1615oveq1d 7447 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − 1))
1716eqeq1d 2738 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀)))
18 elnn1uz2 12968 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)))
19 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = (2↑1))
20 2cn 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
21 exp1 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑1) = 2
2319, 22eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = 2)
2423oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((2↑𝑘)↑2) = (2↑2))
2524oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = ((2↑2) − 1))
26 sq2 14237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2↑2) = 4
2726oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑2) − 1) = (4 − 1)
28 4m1e3 12396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 − 1) = 3
2927, 28eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑2) − 1) = 3
3025, 29eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = 3)
3130eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ 3 = (𝑃𝑀)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ 3 = (𝑃𝑀)))
33 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 = (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑀) = 3)
34 eldifi 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
35 prmnn 16712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36 nnre 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
38373ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
39 nnnn0 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40393ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4138, 40reexpcld 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = 3) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
43 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = 3) → (𝑃𝑀) = 3)
4442, 43eqled 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = 3) → (𝑃𝑀) ≤ 3)
4544ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) = 3 → (𝑃𝑀) ≤ 3))
4633, 45biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃𝑀) → (𝑃𝑀) ≤ 3))
4735nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48 prmgt1 16735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
4947, 48jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
5034, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
51503ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
52 nnz 12636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
53523ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
54 3rp 13041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℝ+)
56 efexple 27326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((𝑃𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
5751, 53, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
58 oddprmge3 16738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
59 eluzle 12892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑃)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ≤ 𝑃)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ∈ ℝ+)
62 nnrp 13047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
6334, 35, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
6461, 63logled 26670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
6560, 64mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
66653ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
67 relogcl 26618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
6854, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (log‘3) ∈ ℝ
69 rplogcl 26647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
7034, 49, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
71703ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
72 divle1le 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
7368, 71, 72sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
7466, 73mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1)
75 fldivle 13872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
7668, 71, 75sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
77 nnre 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
78773ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
7968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ∈ ℝ)
8062relogcld 26666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
8134, 35, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
8235nnrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
83 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
8483, 48gtned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
8582, 84jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ+𝑃 ≠ 1))
86 logne0 26622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℝ+𝑃 ≠ 1) → (log‘𝑃) ≠ 0)
8734, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ≠ 0)
8879, 81, 87redivcld 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
8988flcld 13839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
9089zred 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
91903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
92883ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
93 letr 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
9478, 91, 92, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
95 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96 letr 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
9778, 92, 95, 96syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
98 nnge1 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
99 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = 1 ↔ 1 = 𝑀)
100 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
101100, 77letri3d 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → (1 = 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 ≤ 1)))
10299, 101bitr2id 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀𝑀 ≤ 1) ↔ 𝑀 = 1))
103102biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀𝑀 ≤ 1) → 𝑀 = 1))
10498, 103mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
1051043ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
10697, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 = 1))
107106expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
10894, 107syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
10976, 108mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
11074, 109mpid 44 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 = 1))
11157, 110sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ≤ 3 → 𝑀 = 1))
11246, 111syld 47 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
113112adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (3 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
11432, 113sylbid 240 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
115114ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
116 sq1 14235 . . . . . . . . . . . . . 14 (1↑2) = 1
117116eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (1↑2)
118117oveq2i 7443 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2))
119118eqeq1i 2741 . . . . . . . . . . 11 ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃𝑀))
120 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)))
1219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
122 eluzge2nn0 12930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0)
123121, 122nn0expcld 14286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
125 1nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
127 1p1e2 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
12822eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 = (2↑1)
129127, 128eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = (2↑1)
130 eluz2gt1 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑘)
131 2re 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
133 1zzd 12650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
134 eluzelz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℤ)
135 1lt2 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 2)
137132, 133, 134, 136ltexp2d 14291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
138130, 137mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (2↑1) < (2↑𝑘))
139129, 138eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
14134, 39anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
1421413adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
143142adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
144 difsqpwdvds 16926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (1 + 1) < (2↑𝑘)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑃𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
145124, 126, 140, 143, 144syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
146 2t1e2 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · 1) = 2
147146breq2i 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 ∥ 2)
148 prmuz2 16734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
14934, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
150 2prm 16730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℙ
151 dvdsprm 16741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
152149, 150, 151sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
153147, 152bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 = 2))
154 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
155 eqneqall 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → 𝑀 = 1))
156155com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
157154, 156simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
158153, 157sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
1591583ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
161145, 160syld 47 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑀 = 1))
162120, 161biimtrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
163119, 162biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
164163ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
165115, 164jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
16618, 165sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
167166impcom 407 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
168167adantr 480 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
16917, 168sylbid 240 . . . 4 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
170169rexlimdva2 3156 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
1712, 170sylbid 240 . 2 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
1721713imp 1110 1 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  cdif 3947  {csn 4625   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  cfl 13831  cexp 14103  cdvds 16291  cprime 16709  logclog 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599
This theorem is referenced by:  lighneal  47603
  Copyright terms: Public domain W3C validator