Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem2 42044
Description: Lemma 2 for lighneal 42049. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evennn2n 15276 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
213ad2ant3 1129 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
3 oveq2 6799 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (2 · 𝑘) → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
43eqcoms 2779 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑘) = 𝑁 → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
5 2cnd 11293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
6 nncn 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
75, 6mulcomd 10261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
87oveq2d 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = (2↑(𝑘 · 2)))
9 2nn0 11509 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
11 nnnn0 11499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
125, 10, 11expmuld 13211 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(𝑘 · 2)) = ((2↑𝑘)↑2))
138, 12eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
1413adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
154, 14sylan9eqr 2827 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (2↑𝑁) = ((2↑𝑘)↑2))
1615oveq1d 6806 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − 1))
1716eqeq1d 2773 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀)))
18 elnn1uz2 11966 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)))
19 oveq2 6799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = (2↑1))
20 2cn 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
21 exp1 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2↑1) = 2
2319, 22syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = 2)
2423oveq1d 6806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((2↑𝑘)↑2) = (2↑2))
2524oveq1d 6806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = ((2↑2) − 1))
26 sq2 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑2) = 4
2726oveq1i 6801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑2) − 1) = (4 − 1)
28 4m1e3 11338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 − 1) = 3
2927, 28eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑2) − 1) = 3
3025, 29syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = 3)
3130eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ 3 = (𝑃𝑀)))
3231adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ 3 = (𝑃𝑀)))
33 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 = (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑀) = 3)
34 eldifi 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
35 prmnn 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36 nnre 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
38373ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
39 nnnn0 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40393ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4138, 40reexpcld 13225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = 3) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
43 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = 3) → (𝑃𝑀) = 3)
4442, 43eqled 10340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = 3) → (𝑃𝑀) ≤ 3)
4544ex 397 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) = 3 → (𝑃𝑀) ≤ 3))
4633, 45syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃𝑀) → (𝑃𝑀) ≤ 3))
4735nnred 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48 prmgt1 15609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
4947, 48jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
5034, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
51503ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
52 nnz 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
53523ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
54 3rp 12034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℝ+)
56 efexple 25220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((𝑃𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
5751, 53, 55, 56syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
58 oddprmge3 15612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
59 eluzle 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑃)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ≤ 𝑃)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ∈ ℝ+)
62 nnrp 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
6334, 35, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
6461, 63logled 24587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
6560, 64mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
66653ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
67 relogcl 24536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
6854, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘3) ∈ ℝ
69 rplogcl 24564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
7034, 49, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
71703ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
72 divle1le 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
7368, 71, 72sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
7466, 73mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1)
75 fldivle 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
7668, 71, 75sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
77 nnre 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
78773ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
7968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ∈ ℝ)
8062relogcld 24583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℕ → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
8134, 35, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
8235nnrpd 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
83 1red 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
8483, 48gtned 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
8582, 84jca 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ+𝑃 ≠ 1))
86 logne0 24540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℝ+𝑃 ≠ 1) → (log‘𝑃) ≠ 0)
8734, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ≠ 0)
8879, 81, 87redivcld 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
8988flcld 12800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
9089zred 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
91903ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
92883ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
93 letr 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
9478, 91, 92, 93syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
95 1red 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96 letr 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
9778, 92, 95, 96syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
98 nnge1 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
99 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 = 1 ↔ 1 = 𝑀)
100 1red 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
101100, 77letri3d 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ → (1 = 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 ≤ 1)))
10299, 101syl5rbb 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀𝑀 ≤ 1) ↔ 𝑀 = 1))
103102biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀𝑀 ≤ 1) → 𝑀 = 1))
10498, 103mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
1051043ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
10697, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 = 1))
107106expd 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
10894, 107syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
10976, 108mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
11074, 109mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 = 1))
11157, 110sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ≤ 3 → 𝑀 = 1))
11246, 111syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
113112adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (3 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
11432, 113sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
115114ex 397 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
116 sq1 13158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1↑2) = 1
117116eqcomi 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (1↑2)
118117oveq2i 6802 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2))
119118eqeq1i 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃𝑀))
120 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)))
1219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
122 eluzge2nn0 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0)
123121, 122nn0expcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
124123adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
125 1nn0 11508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
127 1p1e2 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
12822eqcomi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (2↑1)
129127, 128eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = (2↑1)
130 eluz2gt1 11961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑘)
131 2re 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
133 1zzd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
134 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℤ)
135 1lt2 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 2)
137132, 133, 134, 136ltexp2d 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
138130, 137mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (2↑1) < (2↑𝑘))
139129, 138syl5eqbr 4821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
140139adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
14134, 39anim12i 600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
1421413adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
143142adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
144 difsqpwdvds 15791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (1 + 1) < (2↑𝑘)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑃𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
145124, 126, 140, 143, 144syl31anc 1479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
146 2t1e2 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 1) = 2
147146breq2i 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 ∥ 2)
148 prmuz2 15608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
14934, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
150 2prm 15605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℙ
151 dvdsprm 15615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
152149, 150, 151sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
153147, 152syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 = 2))
154 eldifsn 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
155 eqneqall 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → 𝑀 = 1))
156155com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
157154, 156simplbiim 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
158153, 157sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
1591583ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
160159adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
161145, 160syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑀 = 1))
162120, 161syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
163119, 162syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
164163ex 397 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
165115, 164jaoi 846 . . . . . . . . 9 ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
16618, 165sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
167166impcom 394 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
168167adantr 466 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
16917, 168sylbid 230 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
170169ex 397 . . . 4 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
171170rexlimdva 3179 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
1722, 171sylbid 230 . 2 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
1731723imp 1101 1 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cdif 3720  {csn 4316   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141   < clt 10274  cle 10275  cmin 10466   / cdiv 10884  cn 11220  2c2 11270  3c3 11271  4c4 11272  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11886  +crp 12028  cfl 12792  cexp 13060  cdvds 15182  cprime 15585  logclog 24515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-pc 15742  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844  df-log 24517
This theorem is referenced by:  lighneal  42049
  Copyright terms: Public domain W3C validator