Theorem lighneallem2 47598

Description: Lemma 2 for lighneal 47603. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem2	⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evennn2n 16389	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
3		oveq2 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑘) → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
4	3	eqcoms 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑘) = 𝑁 → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
5		2cnd 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
6		nncn 12275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
8	7	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = (2↑(𝑘 · 2)))
9		2nn0 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
11		nnnn0 12535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
12	5, 10, 11	expmuld 14190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(𝑘 · 2)) = ((2↑𝑘)↑2))
13	8, 12	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
15	4, 14	sylan9eqr 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (2↑𝑁) = ((2↑𝑘)↑2))
16	15	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − 1))
17	16	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀)))
18		elnn1uz2 12968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = (2↑1))
20		2cn 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
21		exp1 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑1) = 2
23	19, 22	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = 2)
24	23	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2↑𝑘)↑2) = (2↑2))
25	24	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = ((2↑2) − 1))
26		sq2 14237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2↑2) = 4
27	26	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2↑2) − 1) = (4 − 1)
28		4m1e3 12396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = 3
29	27, 28	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2↑2) − 1) = 3
30	25, 29	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = 3)
31	30	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 3 = (𝑃↑𝑀)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 3 = (𝑃↑𝑀)))
33		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = (𝑃↑𝑀) ↔ (𝑃↑𝑀) = 3)
34		eldifi 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
35		prmnn 16712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36		nnre 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
39		nnnn0 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40	39	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
41	38, 40	reexpcld 14204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) = 3)
44	42, 43	eqled 11365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) ≤ 3)
45	44	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) = 3 → (𝑃↑𝑀) ≤ 3))
46	33, 45	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃↑𝑀) ≤ 3))
47	35	nnred 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48		prmgt1 16735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
49	47, 48	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
50	34, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
51	50	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
52		nnz 12636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
54		3rp 13041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ+
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℝ+)
56		efexple 27326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
57	51, 53, 55, 56	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
58		oddprmge3 16738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
59		eluzle 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑃)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ≤ 𝑃)
61	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ∈ ℝ+)
62		nnrp 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
63	34, 35, 62	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
64	61, 63	logled 26670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
65	60, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
66	65	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
67		relogcl 26618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
68	54, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (log‘3) ∈ ℝ
69		rplogcl 26647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
70	34, 49, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
71	70	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
72		divle1le 13106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
73	68, 71, 72	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
74	66, 73	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1)
75		fldivle 13872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
76	68, 71, 75	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
77		nnre 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
78	77	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
79	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ∈ ℝ)
80	62	relogcld 26666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
81	34, 35, 80	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
82	35	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
83		1red 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
84	83, 48	gtned 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
85	82, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑃 ≠ 1))
86		logne0 26622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑃 ≠ 1) → (log‘𝑃) ≠ 0)
87	34, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ≠ 0)
88	79, 81, 87	redivcld 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
89	88	flcld 13839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
90	89	zred 12724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
91	90	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
92	88	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
93		letr 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
94	78, 91, 92, 93	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
95		1red 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96		letr 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
97	78, 92, 95, 96	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
98		nnge1 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
99		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 = 1 ↔ 1 = 𝑀)
100		1red 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
101	100, 77	letri3d 11404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 = 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1)))
102	99, 101	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1) ↔ 𝑀 = 1))
103	102	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 𝑀 = 1))
104	98, 103	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
105	104	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
106	97, 105	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 = 1))
107	106	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
108	94, 107	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
109	76, 108	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
110	74, 109	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 = 1))
111	57, 110	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 → 𝑀 = 1))
112	46, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (3 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
114	32, 113	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
115	114	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
116		sq1 14235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
117	116	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (1↑2)
118	117	oveq2i 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2))
119	118	eqeq1i 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀))
120		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀) ↔ (𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)))
121	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
122		eluzge2nn0 12930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0)
123	121, 122	nn0expcld 14286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
125		1nn0 12544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
127		1p1e2 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
128	22	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 = (2↑1)
129	127, 128	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = (2↑1)
130		eluz2gt1 12963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑘)
131		2re 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
133		1zzd 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
134		eluzelz 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑘 ∈ ℤ)
135		1lt2 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 2)
137	132, 133, 134, 136	ltexp2d 14291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
138	130, 137	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑1) < (2↑𝑘))
139	129, 138	eqbrtrid 5177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
140	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
141	34, 39	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
142	141	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
143	142	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
144		difsqpwdvds 16926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (1 + 1) < (2↑𝑘)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
145	124, 126, 140, 143, 144	syl31anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
146		2t1e2 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 1) = 2
147	146	breq2i 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 ∥ 2)
148		prmuz2 16734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
149	34, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
150		2prm 16730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℙ
151		dvdsprm 16741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
152	149, 150, 151	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
153	147, 152	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 = 2))
154		eldifsn 4785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
155		eqneqall 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → 𝑀 = 1))
156	155	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
157	154, 156	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
158	153, 157	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
159	158	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
161	145, 160	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑀 = 1))
162	120, 161	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
163	119, 162	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
164	163	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
165	115, 164	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
166	18, 165	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
167	166	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
168	167	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
169	17, 168	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
170	169	rexlimdva2 3156	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
171	2, 170	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
172	171	3imp 1110	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947  {csn 4625   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493   / cdiv 11921  ℕcn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ℝ⁺crp 13035  ⌊cfl 13831  ↑cexp 14103   ∥ cdvds 16291  ℙcprime 16709  logclog 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599

This theorem is referenced by:  lighneal  47603