Theorem lighneallem2 47587

Description: Lemma 2 for lighneal 47592. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem2	⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evennn2n 16375	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
3		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑘) → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
4	3	eqcoms 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑘) = 𝑁 → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
5		2cnd 12323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
6		nncn 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcomd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
8	7	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = (2↑(𝑘 · 2)))
9		2nn0 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
11		nnnn0 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
12	5, 10, 11	expmuld 14172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(𝑘 · 2)) = ((2↑𝑘)↑2))
13	8, 12	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
15	4, 14	sylan9eqr 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (2↑𝑁) = ((2↑𝑘)↑2))
16	15	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − 1))
17	16	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀)))
18		elnn1uz2 12946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = (2↑1))
20		2cn 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
21		exp1 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑1) = 2
23	19, 22	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = 2)
24	23	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2↑𝑘)↑2) = (2↑2))
25	24	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = ((2↑2) − 1))
26		sq2 14220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2↑2) = 4
27	26	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2↑2) − 1) = (4 − 1)
28		4m1e3 12374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = 3
29	27, 28	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2↑2) − 1) = 3
30	25, 29	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = 3)
31	30	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 3 = (𝑃↑𝑀)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 3 = (𝑃↑𝑀)))
33		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = (𝑃↑𝑀) ↔ (𝑃↑𝑀) = 3)
34		eldifi 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
35		prmnn 16698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36		nnre 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
39		nnnn0 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40	39	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
41	38, 40	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) = 3)
44	42, 43	eqled 11343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) ≤ 3)
45	44	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) = 3 → (𝑃↑𝑀) ≤ 3))
46	33, 45	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃↑𝑀) ≤ 3))
47	35	nnred 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48		prmgt1 16721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
49	47, 48	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
50	34, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
51	50	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
52		nnz 12614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
54		3rp 13019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ+
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℝ+)
56		efexple 27249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
57	51, 53, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
58		oddprmge3 16724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
59		eluzle 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑃)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ≤ 𝑃)
61	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ∈ ℝ+)
62		nnrp 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
63	34, 35, 62	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
64	61, 63	logled 26593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
65	60, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
66	65	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
67		relogcl 26541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
68	54, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (log‘3) ∈ ℝ
69		rplogcl 26570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
70	34, 49, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
71	70	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
72		divle1le 13084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
73	68, 71, 72	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
74	66, 73	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1)
75		fldivle 13853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
76	68, 71, 75	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
77		nnre 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
78	77	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
79	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ∈ ℝ)
80	62	relogcld 26589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
81	34, 35, 80	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
82	35	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
83		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
84	83, 48	gtned 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
85	82, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑃 ≠ 1))
86		logne0 26545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑃 ≠ 1) → (log‘𝑃) ≠ 0)
87	34, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ≠ 0)
88	79, 81, 87	redivcld 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
89	88	flcld 13820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
90	89	zred 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
91	90	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
92	88	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
93		letr 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
94	78, 91, 92, 93	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
95		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96		letr 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
97	78, 92, 95, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
98		nnge1 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
99		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 = 1 ↔ 1 = 𝑀)
100		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
101	100, 77	letri3d 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 = 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1)))
102	99, 101	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1) ↔ 𝑀 = 1))
103	102	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 𝑀 = 1))
104	98, 103	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
105	104	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
106	97, 105	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 = 1))
107	106	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
108	94, 107	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
109	76, 108	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
110	74, 109	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 = 1))
111	57, 110	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 → 𝑀 = 1))
112	46, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (3 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
114	32, 113	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
115	114	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
116		sq1 14218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
117	116	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (1↑2)
118	117	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2))
119	118	eqeq1i 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀))
120		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀) ↔ (𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)))
121	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
122		eluzge2nn0 12908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0)
123	121, 122	nn0expcld 14269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
125		1nn0 12522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
127		1p1e2 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
128	22	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 = (2↑1)
129	127, 128	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = (2↑1)
130		eluz2gt1 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑘)
131		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
133		1zzd 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
134		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑘 ∈ ℤ)
135		1lt2 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 2)
137	132, 133, 134, 136	ltexp2d 14274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
138	130, 137	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑1) < (2↑𝑘))
139	129, 138	eqbrtrid 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
140	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
141	34, 39	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
142	141	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
143	142	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
144		difsqpwdvds 16912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (1 + 1) < (2↑𝑘)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
145	124, 126, 140, 143, 144	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
146		2t1e2 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 1) = 2
147	146	breq2i 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 ∥ 2)
148		prmuz2 16720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
149	34, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
150		2prm 16716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℙ
151		dvdsprm 16727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
152	149, 150, 151	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
153	147, 152	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 = 2))
154		eldifsn 4767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
155		eqneqall 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → 𝑀 = 1))
156	155	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
157	154, 156	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
158	153, 157	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
159	158	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
161	145, 160	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑀 = 1))
162	120, 161	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
163	119, 162	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
164	163	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
165	115, 164	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
166	18, 165	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
167	166	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
168	167	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
169	17, 168	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
170	169	rexlimdva2 3144	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
171	2, 170	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
172	171	3imp 1110	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3928  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  ⌊cfl 13812  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695  logclog 26520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-pc 16862  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522

This theorem is referenced by:  lighneal  47592