Theorem lighneallem2 45788

Description: Lemma 2 for lighneal 45793. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem2	⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evennn2n 16233	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁))
3		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑘) → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
4	3	eqcoms 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑘) = 𝑁 → (2↑𝑁) = (2↑(2 · 𝑘)))
5		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
6		nncn 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
8	7	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = (2↑(𝑘 · 2)))
9		2nn0 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
11		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
12	5, 10, 11	expmuld 14054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(𝑘 · 2)) = ((2↑𝑘)↑2))
13	8, 12	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(2 · 𝑘)) = ((2↑𝑘)↑2))
15	4, 14	sylan9eqr 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (2↑𝑁) = ((2↑𝑘)↑2))
16	15	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − 1))
17	16	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀)))
18		elnn1uz2 12850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = (2↑1))
20		2cn 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
21		exp1 13973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑1) = 2
23	19, 22	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → (2↑𝑘) = 2)
24	23	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2↑𝑘)↑2) = (2↑2))
25	24	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = ((2↑2) − 1))
26		sq2 14101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2↑2) = 4
27	26	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2↑2) − 1) = (4 − 1)
28		4m1e3 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = 3
29	27, 28	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2↑2) − 1) = 3
30	25, 29	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2↑𝑘)↑2) − 1) = 3)
31	30	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 3 = (𝑃↑𝑀)))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ 3 = (𝑃↑𝑀)))
33		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 = (𝑃↑𝑀) ↔ (𝑃↑𝑀) = 3)
34		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
35		prmnn 16550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36		nnre 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
39		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40	39	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
41	38, 40	reexpcld 14068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
43		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) = 3)
44	42, 43	eqled 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = 3) → (𝑃↑𝑀) ≤ 3)
45	44	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) = 3 → (𝑃↑𝑀) ≤ 3))
46	33, 45	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃↑𝑀) → (𝑃↑𝑀) ≤ 3))
47	35	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48		prmgt1 16573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
49	47, 48	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
50	34, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
51	50	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
52		nnz 12520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
54		3rp 12921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ+
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℝ+)
56		efexple 26629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
57	51, 53, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃)))))
58		oddprmge3 16576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
59		eluzle 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑃)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ≤ 𝑃)
61	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 3 ∈ ℝ+)
62		nnrp 12926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
63	34, 35, 62	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
64	61, 63	logled 25982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
65	60, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
66	65	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘3) ≤ (log‘𝑃))
67		relogcl 25931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
68	54, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (log‘3) ∈ ℝ
69		rplogcl 25959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
70	34, 49, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
71	70	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
72		divle1le 12985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
73	68, 71, 72	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 ↔ (log‘3) ≤ (log‘𝑃)))
74	66, 73	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1)
75		fldivle 13736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((log‘3) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑃) ∈ ℝ+) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
76	68, 71, 75	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)))
77		nnre 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
78	77	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
79	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘3) ∈ ℝ)
80	62	relogcld 25978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
81	34, 35, 80	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
82	35	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
83		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
84	83, 48	gtned 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
85	82, 84	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑃 ≠ 1))
86		logne0 25935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑃 ≠ 1) → (log‘𝑃) ≠ 0)
87	34, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (log‘𝑃) ≠ 0)
88	79, 81, 87	redivcld 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
89	88	flcld 13703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
90	89	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
91	90	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
92	88	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
93		letr 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
94	78, 91, 92, 93	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))))
95		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96		letr 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
97	78, 92, 95, 96	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1))
98		nnge1 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
99		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 = 1 ↔ 1 = 𝑀)
100		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
101	100, 77	letri3d 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 = 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1)))
102	99, 101	bitr2id 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1) ↔ 𝑀 = 1))
103	102	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 𝑀 = 1))
104	98, 103	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
105	104	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 1 → 𝑀 = 1))
106	97, 105	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ∧ ((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1) → 𝑀 = 1))
107	106	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃)) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
108	94, 107	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ∧ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
109	76, 108	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → (((log‘3) / (log‘𝑃)) ≤ 1 → 𝑀 = 1)))
110	74, 109	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ (⌊‘((log‘3) / (log‘𝑃))) → 𝑀 = 1))
111	57, 110	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑀) ≤ 3 → 𝑀 = 1))
112	46, 111	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (3 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (3 = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
114	32, 113	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
115	114	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
116		sq1 14099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
117	116	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (1↑2)
118	117	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝑘)↑2) − 1) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2))
119	118	eqeq1i 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀))
120		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀) ↔ (𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)))
121	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
122		eluzge2nn0 12812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0)
123	121, 122	nn0expcld 14149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
125		1nn0 12429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
127		1p1e2 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
128	22	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 = (2↑1)
129	127, 128	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = (2↑1)
130		eluz2gt1 12845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑘)
131		2re 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
133		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
134		eluzelz 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑘 ∈ ℤ)
135		1lt2 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 2)
137	132, 133, 134, 136	ltexp2d 14154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
138	130, 137	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑1) < (2↑𝑘))
139	129, 138	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
141	34, 39	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
142	141	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
143	142	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0))
144		difsqpwdvds 16759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2↑𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (1 + 1) < (2↑𝑘)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
145	124, 126, 140, 143, 144	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑃 ∥ (2 · 1)))
146		2t1e2 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 1) = 2
147	146	breq2i 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 ∥ 2)
148		prmuz2 16572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
149	34, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
150		2prm 16568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℙ
151		dvdsprm 16579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
152	149, 150, 151	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
153	147, 152	bitrid 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) ↔ 𝑃 = 2))
154		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
155		eqneqall 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → 𝑀 = 1))
156	155	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
157	154, 156	simplbiim 505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 2 → 𝑀 = 1))
158	153, 157	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
159	158	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑃 ∥ (2 · 1) → 𝑀 = 1))
161	145, 160	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) → 𝑀 = 1))
162	120, 161	biimtrid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − (1↑2)) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
163	119, 162	biimtrid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
164	163	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
165	115, 164	jaoi 855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
166	18, 165	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
167	166	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
168	167	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → ((((2↑𝑘)↑2) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
169	17, 168	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (2 · 𝑘) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
170	169	rexlimdva2 3154	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (2 · 𝑘) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
171	2, 170	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
172	171	3imp 1111	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   ∖ cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ⌊cfl 13695  ↑cexp 13967   ∥ cdvds 16136  ℙcprime 16547  logclog 25910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912

This theorem is referenced by:  lighneal  45793