Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem2 46359
Description: Lemma 2 for lighneal 46364. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem2 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)

Proof of Theorem lighneallem2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evennn2n 16296 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘))
213ad2ant3 1135 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘))
3 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2 ยท ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)))
43eqcoms 2740 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)))
5 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6 nncn 12222 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
75, 6mulcomd 11237 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2))
87oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = (2โ†‘(๐‘˜ ยท 2)))
9 2nn0 12491 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
11 nnnn0 12481 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
125, 10, 11expmuld 14116 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ ยท 2)) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2))
138, 12eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2))
154, 14sylan9eqr 2794 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2))
1615oveq1d 7426 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1))
1716eqeq1d 2734 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
18 elnn1uz2 12911 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
19 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = 1 โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘1))
20 2cn 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„‚
21 exp1 14035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘1) = 2)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2โ†‘1) = 2
2319, 22eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = 1 โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = 2)
2423oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) = (2โ†‘2))
2524oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = ((2โ†‘2) โˆ’ 1))
26 sq2 14163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2โ†‘2) = 4
2726oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2โ†‘2) โˆ’ 1) = (4 โˆ’ 1)
28 4m1e3 12343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 โˆ’ 1) = 3
2927, 28eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2โ†‘2) โˆ’ 1) = 3
3025, 29eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = 3)
3130eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” 3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ = 1 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” 3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
33 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3)
34 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
35 prmnn 16613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
36 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
38373ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
39 nnnn0 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
40393ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4138, 40reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
43 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3)
4442, 43eqled 11319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3)
4544ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3 โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3))
4633, 45biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3))
4735nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
48 prmgt1 16636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
4947, 48jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
5034, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
51503ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
52 nnz 12581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
53523ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
54 3rp 12982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 3 โˆˆ โ„+)
56 efexple 26791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3 โ†” ๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
5751, 53, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3 โ†” ๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
58 oddprmge3 16639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
59 eluzle 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘ƒ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘ƒ)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 3 โˆˆ โ„+)
62 nnrp 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
6334, 35, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
6461, 63logled 26142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (3 โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ)))
6560, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ))
66653ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ))
67 relogcl 26091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜3) โˆˆ โ„)
6854, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (logโ€˜3) โˆˆ โ„
69 rplogcl 26119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
7034, 49, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
71703ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
72 divle1le 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((logโ€˜3) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†” (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ)))
7368, 71, 72sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†” (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ)))
7466, 73mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1)
75 fldivle 13798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((logโ€˜3) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)))
7668, 71, 75sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)))
77 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
78773ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
7968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜3) โˆˆ โ„)
8062relogcld 26138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
8134, 35, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
8235nnrpd 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
83 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8483, 48gtned 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  1)
8582, 84jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ƒ โ‰  1))
86 logne0 26095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ƒ โ‰  1) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โ‰  0)
8734, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โ‰  0)
8879, 81, 87redivcld 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
8988flcld 13765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค)
9089zred 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„)
91903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„)
92883ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
93 letr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))))
9478, 91, 92, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))))
95 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
96 letr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1) โ†’ ๐‘€ โ‰ค 1))
9778, 92, 95, 96syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1) โ†’ ๐‘€ โ‰ค 1))
98 nnge1 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
99 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘€ = 1 โ†” 1 = ๐‘€)
100 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
101100, 77letri3d 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (1 = ๐‘€ โ†” (1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค 1)))
10299, 101bitr2id 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค 1) โ†” ๐‘€ = 1))
103102biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
10498, 103mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
1051043ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
10697, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
107106expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1)))
10894, 107syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1)))
10976, 108mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1)))
11074, 109mpid 44 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘€ = 1))
11157, 110sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3 โ†’ ๐‘€ = 1))
11246, 111syld 47 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ = 1 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
11432, 113sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ = 1 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
115114ex 413 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
116 sq1 14161 . . . . . . . . . . . . . 14 (1โ†‘2) = 1
117116eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (1โ†‘2)
118117oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2))
119118eqeq1i 2737 . . . . . . . . . . 11 ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
120 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)))
1219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
122 eluzge2nn0 12873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
123121, 122nn0expcld 14211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
125 1nn0 12490 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„•0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
127 1p1e2 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
12822eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 = (2โ†‘1)
129127, 128eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = (2โ†‘1)
130 eluz2gt1 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘˜)
131 2re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
133 1zzd 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
134 eluzelz 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
135 1lt2 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < 2)
137132, 133, 134, 136ltexp2d 14216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘˜)))
138130, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘˜))
139129, 138eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜))
140139adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜))
14134, 39anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0))
1421413adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0))
143142adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0))
144 difsqpwdvds 16822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„•0 โˆง (1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1)))
145124, 126, 140, 143, 144syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1)))
146 2t1e2 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ยท 1) = 2
147146breq2i 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 2)
148 prmuz2 16635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
14934, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
150 2prm 16631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„™
151 dvdsprm 16642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 2 โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
152149, 150, 151sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
153147, 152bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†” ๐‘ƒ = 2))
154 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2))
155 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โ‰  2 โ†’ ๐‘€ = 1))
156155com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โ‰  2 โ†’ (๐‘ƒ = 2 โ†’ ๐‘€ = 1))
157154, 156simplbiim 505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ = 2 โ†’ ๐‘€ = 1))
158153, 157sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
1591583ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
160159adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
161145, 160syld 47 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) โ†’ ๐‘€ = 1))
162120, 161biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
163119, 162biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
164163ex 413 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
165115, 164jaoi 855 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
16618, 165sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
167166impcom 408 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
168167adantr 481 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
16917, 168sylbid 239 . . . 4 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
170169rexlimdva2 3157 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
1712, 170sylbid 239 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
1721713imp 1111 1 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  โŒŠcfl 13757  โ†‘cexp 14029   โˆฅ cdvds 16199  โ„™cprime 16610  logclog 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072
This theorem is referenced by:  lighneal  46364
  Copyright terms: Public domain W3C validator