Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem2 46574
Description: Lemma 2 for lighneal 46579. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem2 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)

Proof of Theorem lighneallem2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evennn2n 16299 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘))
213ad2ant3 1134 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘))
3 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2 ยท ๐‘˜) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)))
43eqcoms 2739 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)))
5 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6 nncn 12225 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
75, 6mulcomd 11240 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2))
87oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = (2โ†‘(๐‘˜ ยท 2)))
9 2nn0 12494 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
11 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
125, 10, 11expmuld 14119 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(๐‘˜ ยท 2)) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2))
138, 12eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2))
1413adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘˜)) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2))
154, 14sylan9eqr 2793 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2))
1615oveq1d 7427 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1))
1716eqeq1d 2733 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
18 elnn1uz2 12914 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
19 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = 1 โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘1))
20 2cn 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„‚
21 exp1 14038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘1) = 2)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2โ†‘1) = 2
2319, 22eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = 1 โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = 2)
2423oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) = (2โ†‘2))
2524oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = ((2โ†‘2) โˆ’ 1))
26 sq2 14166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2โ†‘2) = 4
2726oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2โ†‘2) โˆ’ 1) = (4 โˆ’ 1)
28 4m1e3 12346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 โˆ’ 1) = 3
2927, 28eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2โ†‘2) โˆ’ 1) = 3
3025, 29eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = 3)
3130eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” 3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ = 1 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” 3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)))
33 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3)
34 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
35 prmnn 16616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
36 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
38373ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
39 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
40393ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4138, 40reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
43 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3)
4442, 43eqled 11322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3)
4544ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) = 3 โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3))
4633, 45biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3))
4735nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
48 prmgt1 16639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
4947, 48jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
5034, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
51503ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
52 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
53523ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
54 3rp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 3 โˆˆ โ„+)
56 efexple 27017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3 โ†” ๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
5751, 53, 55, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3 โ†” ๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
58 oddprmge3 16642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
59 eluzle 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘ƒ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘ƒ)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 3 โˆˆ โ„+)
62 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
6334, 35, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
6461, 63logled 26368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (3 โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ)))
6560, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ))
66653ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ))
67 relogcl 26317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜3) โˆˆ โ„)
6854, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (logโ€˜3) โˆˆ โ„
69 rplogcl 26345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
7034, 49, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
71703ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
72 divle1le 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((logโ€˜3) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†” (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ)))
7368, 71, 72sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†” (logโ€˜3) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ)))
7466, 73mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1)
75 fldivle 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((logโ€˜3) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)))
7668, 71, 75sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)))
77 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
78773ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
7968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜3) โˆˆ โ„)
8062relogcld 26364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
8134, 35, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
8235nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
83 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8483, 48gtned 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  1)
8582, 84jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ƒ โ‰  1))
86 logne0 26321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ƒ โ‰  1) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โ‰  0)
8734, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โ‰  0)
8879, 81, 87redivcld 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
8988flcld 13768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค)
9089zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„)
91903ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„)
92883ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
93 letr 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))))
9478, 91, 92, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))))
95 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
96 letr 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1) โ†’ ๐‘€ โ‰ค 1))
9778, 92, 95, 96syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1) โ†’ ๐‘€ โ‰ค 1))
98 nnge1 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
99 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘€ = 1 โ†” 1 = ๐‘€)
100 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
101100, 77letri3d 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (1 = ๐‘€ โ†” (1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค 1)))
10299, 101bitr2id 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค 1) โ†” ๐‘€ = 1))
103102biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
10498, 103mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
1051043ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1))
10697, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆง ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
107106expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1)))
10894, 107syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1)))
10976, 108mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ (((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค 1 โ†’ ๐‘€ = 1)))
11074, 109mpid 44 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜3) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘€ = 1))
11157, 110sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰ค 3 โ†’ ๐‘€ = 1))
11246, 111syld 47 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
113112adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ = 1 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (3 = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
11432, 113sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ = 1 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
115114ex 412 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
116 sq1 14164 . . . . . . . . . . . . . 14 (1โ†‘2) = 1
117116eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (1โ†‘2)
118117oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2))
119118eqeq1i 2736 . . . . . . . . . . 11 ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€))
120 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘€) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)))
1219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
122 eluzge2nn0 12876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
123121, 122nn0expcld 14214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
125 1nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„•0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
127 1p1e2 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
12822eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 = (2โ†‘1)
129127, 128eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = (2โ†‘1)
130 eluz2gt1 12909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘˜)
131 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
133 1zzd 12598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
134 eluzelz 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
135 1lt2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < 2)
137132, 133, 134, 136ltexp2d 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘˜)))
138130, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2โ†‘1) < (2โ†‘๐‘˜))
139129, 138eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜))
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜))
14134, 39anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0))
1421413adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0))
143142adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0))
144 difsqpwdvds 16825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„•0 โˆง (1 + 1) < (2โ†‘๐‘˜)) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1)))
145124, 126, 140, 143, 144syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1)))
146 2t1e2 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ยท 1) = 2
147146breq2i 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 2)
148 prmuz2 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
14934, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
150 2prm 16634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„™
151 dvdsprm 16645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 2 โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
152149, 150, 151sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
153147, 152bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†” ๐‘ƒ = 2))
154 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2))
155 eqneqall 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โ‰  2 โ†’ ๐‘€ = 1))
156155com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โ‰  2 โ†’ (๐‘ƒ = 2 โ†’ ๐‘€ = 1))
157154, 156simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ = 2 โ†’ ๐‘€ = 1))
158153, 157sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
1591583ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท 1) โ†’ ๐‘€ = 1))
161145, 160syld 47 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) = (((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) โ†’ ๐‘€ = 1))
162120, 161biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
163119, 162biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
164163ex 412 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
165115, 164jaoi 854 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
16618, 165sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
167166impcom 407 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
168167adantr 480 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ ((((2โ†‘๐‘˜)โ†‘2) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
16917, 168sylbid 239 . . . 4 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
170169rexlimdva2 3156 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
1712, 170sylbid 239 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
1721713imp 1110 1 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069   โˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„+crp 12979  โŒŠcfl 13760  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16202  โ„™cprime 16613  logclog 26296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298
This theorem is referenced by:  lighneal  46579
  Copyright terms: Public domain W3C validator