Theorem sublevolico 45510

Description: The Lebesgue measure of a left-closed, right-open interval is greater than or equal to the difference of the two bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublevolico.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sublevolico.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sublevolico	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem sublevolico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublevolico.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		sublevolico.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		eqidd 2726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
5	3, 4	eqled 11349	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
6	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
7		volico 45509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
8	2, 1, 7	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
9	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
10		iftrue 4536	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
11	10	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
12	9, 11	eqtr2d 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
13	6, 12	breqtrd 5175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
14		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
15	1, 2	lenltd 11392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
16	15	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
17	14, 16	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
18	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	18, 19	suble0d 11837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
21	17, 20	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 0)
22	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
23		iffalse 4539	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
24	23	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
25	22, 24	eqtr2d 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
26	21, 25	breqtrd 5175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
27	13, 26	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4530   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  0cc0 11140   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476  [,)cico 13361  volcvol 25436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cmp 23335  df-ovol 25437  df-vol 25438

This theorem is referenced by:  ovolval5lem1  46178