Theorem sublevolico 45285

Description: The Lebesgue measure of a left-closed, right-open interval is greater than or equal to the difference of the two bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublevolico.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sublevolico.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sublevolico	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem sublevolico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublevolico.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		sublevolico.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		eqidd 2728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
5	3, 4	eqled 11333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
7		volico 45284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
8	2, 1, 7	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
10		iftrue 4530	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
12	9, 11	eqtr2d 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
13	6, 12	breqtrd 5168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
15	1, 2	lenltd 11376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
17	14, 16	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
18	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	18, 19	suble0d 11821	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
21	17, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 0)
22	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
23		iffalse 4533	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
25	22, 24	eqtr2d 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
26	21, 25	breqtrd 5168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
27	13, 26	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11264   ≤ cle 11265   − cmin 11460  [,)cico 13344  volcvol 25366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cmp 23265  df-ovol 25367  df-vol 25368

This theorem is referenced by:  ovolval5lem1  45953