Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sublevolico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sublevolico 42417
 Description: The Lebesgue measure of a left-closed, right-open interval is greater than or equal to the difference of the two bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sublevolico.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
sublevolico.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sublevolico (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem sublevolico
StepHypRef Expression
1 sublevolico.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 sublevolico.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11045 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4 eqidd 2822 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴))
53, 4eqled 10720 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (𝐵𝐴))
65adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ≤ (𝐵𝐴))
7 volico 42416 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
82, 1, 7syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
10 iftrue 4446 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
1110adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
129, 11eqtr2d 2857 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
136, 12breqtrd 5065 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
14 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
151, 2lenltd 10763 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
1615adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
1714, 16mpbird 260 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
181adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
192adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2018, 19suble0d 11208 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐵𝐴))
2117, 20mpbird 260 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ≤ 0)
228adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
23 iffalse 4449 . . . . 5 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
2423adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
2522, 24eqtr2d 2857 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
2621, 25breqtrd 5065 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
2713, 26pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ifcif 4440   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℝcr 10513  0cc0 10514   < clt 10652   ≤ cle 10653   − cmin 10847  [,)cico 12718  volcvol 24045 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-rest 16674  df-topgen 16695  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-top 21477  df-topon 21494  df-bases 21529  df-cmp 21970  df-ovol 24046  df-vol 24047 This theorem is referenced by:  ovolval5lem1  43082
 Copyright terms: Public domain W3C validator