Theorem sublevolico 47087

Description: The Lebesgue measure of a left-closed, right-open interval is greater than or equal to the difference of the two bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublevolico.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sublevolico.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sublevolico	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem sublevolico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublevolico.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		sublevolico.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
5	3, 4	eqled 11416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
7		volico 47086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
8	2, 1, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
10		iftrue 4487	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
12	9, 11	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
13	6, 12	breqtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
15	1, 2	lenltd 11459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
17	14, 16	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
18	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	18, 19	suble0d 11910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
21	17, 20	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ 0)
22	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
23		iffalse 4490	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
24	23	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
25	22, 24	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
26	21, 25	breqtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
27	13, 26	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544  [,)cico 13481  volcvol 25789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-rest 17598  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cmp 23710  df-ovol 25790  df-vol 25791

This theorem is used by:  ovolval5lem1  47755