Theorem dnibndlem6 33822

Description: Lemma for dnibnd 33830. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem6.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem6	⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))

Proof of Theorem dnibndlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem6.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 33811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3	2	recnd 10669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
4		dnibndlem6.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	dnicld1 33811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 6	subcld 10997	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
8	7	abscld 14796	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
9		halfcn 11853	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
11	3, 10	subcld 10997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 14796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
13	10, 6	subcld 10997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
14	13	abscld 14796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 10670	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) ∈ ℝ)
16		halfre 11852	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
18	17, 2	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ))
19		resubcl 10950	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
21	17, 5	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ))
22		resubcl 10950	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
24	20, 23	readdcld 10670	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
25	3, 6, 10	3jca 1124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
26		abs3dif 14691	. . 3 ⊢ (((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))))
28	3, 10	abssubd 14813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) = (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))))
29		rddif2 33816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
30	1, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
31	20, 30	absidd 14782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
32	28, 31	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
33		rddif2 33816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
34	4, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
35	23, 34	absidd 14782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
36	32, 35	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) = (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
37	15, 36	eqled 10743	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
38	8, 15, 24, 27, 37	letrd 10797	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   ≤ cle 10676   − cmin 10870   / cdiv 11297  2c2 11693  ⌊cfl 13161  abscabs 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  33825