Theorem dnibndlem6 34946

Description: Lemma for dnibnd 34954. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem6.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem6	⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))

Proof of Theorem dnibndlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem6.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 34935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
4		dnibndlem6.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	dnicld1 34935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 6	subcld 11512	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15321	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
9		halfcn 12368	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
11	3, 10	subcld 11512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
13	10, 6	subcld 11512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11184	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) ∈ ℝ)
16		halfre 12367	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
18	17, 2	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ))
19		resubcl 11465	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
21	17, 5	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ))
22		resubcl 11465	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
24	20, 23	readdcld 11184	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
25	3, 6, 10	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
26		abs3dif 15216	. . 3 ⊢ (((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))))
28	3, 10	abssubd 15338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) = (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))))
29		rddif2 34940	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
30	1, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
31	20, 30	absidd 15307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
32	28, 31	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
33		rddif2 34940	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
34	4, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
35	23, 34	absidd 15307	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
36	32, 35	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) = (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
37	15, 36	eqled 11258	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
38	8, 15, 24, 27, 37	letrd 11312	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  ⌊cfl 13695  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  34949