Theorem dnibndlem6 35445

Description: Lemma for dnibnd 35453. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem6.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem6	⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))

Proof of Theorem dnibndlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem6.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 35434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
4		dnibndlem6.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	dnicld1 35434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 6	subcld 11573	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15385	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
9		halfcn 12429	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
11	3, 10	subcld 11573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) ∈ ℝ)
13	10, 6	subcld 11573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11245	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) ∈ ℝ)
16		halfre 12428	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
18	17, 2	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ))
19		resubcl 11526	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
21	17, 5	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ))
22		resubcl 11526	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
24	20, 23	readdcld 11245	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
25	3, 6, 10	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
26		abs3dif 15280	. . 3 ⊢ (((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))))
28	3, 10	abssubd 15402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) = (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))))
29		rddif2 35439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
30	1, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
31	20, 30	absidd 15371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
32	28, 31	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
33		rddif2 35439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
34	4, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
35	23, 34	absidd 15371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) = ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
36	32, 35	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) = (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
37	15, 36	eqled 11319	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (1 / 2))) + (abs‘((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))
38	8, 15, 24, 27, 37	letrd 11373	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) + ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≤ cle 11251   − cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  ⌊cfl 13757  abscabs 15183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  35448