Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem3 24728
 Description: Lemma for dvfsumrlim 24731. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12841 . . . 4 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3927 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sseldi 3891 . 2 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sseldi 3891 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
8 reflcl 13216 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
9 peano2re 10852 . . 3 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . 2 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
11 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
12 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 dvfsum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1514adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
1716adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
18 dvfsum.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1918adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
20 dvfsum.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 dvfsum.b1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
2322adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
24 dvfsum.b2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2524adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 dvfsum.b3 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
2726adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
28 dvfsum.c . . 3 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
29 dvfsum.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
3029adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
31 dvfsum.l . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
32313adant1r 1175 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
33 dvfsum.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
346adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑆)
354adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑆)
36 dvfsumlem1.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝑋)
3736adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷𝑋)
38 dvfsumlem1.4 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
3938adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑌)
40 dvfsumlem1.5 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4140adantr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑈)
42 simpr 489 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 24727 . 2 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
4544sselda 3893 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
46 reflcl 13216 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4845, 47resubcld 11107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 24724 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 10710 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) ∈ ℝ)
51 fzfid 13391 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑀...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5224ralrimiva 3114 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5352adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
54 elfzuz 12953 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5554, 11eleqtrrdi 2864 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘𝑍)
5628eleq1d 2837 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
5756rspccva 3541 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
5853, 55, 57syl2an 599 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5951, 58fsumrecl 15140 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 ∈ ℝ)
6059, 20resubcld 11107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) ∈ ℝ)
6150, 60readdcld 10709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
6261, 33fmptd 6870 . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝑆⟶ℝ)
6362adantr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
644adantr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑆)
6563, 64ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ∈ ℝ)
665adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
67 reflcl 13216 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6918adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ)
707adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
726, 1eleqtrdi 2863 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
7318rexrd 10730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
74 elioopnf 12876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7672, 75mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
7776simprd 500 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 < 𝑋)
78 fllep1 13221 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 10839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
8180adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
82 simpr 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌)
8370flcld 13218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
8483peano2zd 12130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
85 flge 13225 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8666, 84, 85syl2anc 588 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8782, 86mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 10839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < (⌊‘𝑌))
8973adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 12876 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9189, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9268, 88, 91mpbir2and 713 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞))
9392, 1eleqtrrdi 2864 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ 𝑆)
9463, 93ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
956adantr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋𝑆)
9663, 95ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑋) ∈ ℝ)
9712adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ∈ ℤ)
9814adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ∈ ℝ)
9916adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
10020adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
10122adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
10224adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10326adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
10429adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑈 ∈ ℝ*)
105313adant1r 1175 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
10636adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷𝑋)
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10898, 70, 71, 106, 107letrd 10836 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10998, 71, 68, 108, 87letrd 10836 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ (⌊‘𝑌))
110 flle 13219 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11166, 110syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11240adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑈)
113 fllep1 13221 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
11466, 113syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
115 flidm 13229 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
117116oveq1d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
118114, 117breqtrrd 5061 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1))
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 24727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∧ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
120119simpld 499 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
121 elioopnf 12876 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12310, 80, 122mpbir2and 713 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
124123, 1eleqtrrdi 2864 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
125124adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
12663, 125ffvelrnd 6844 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ∈ ℝ)
12766flcld 13218 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
128 eluz2 12289 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1341 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)))
13063adantr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
131 elfzelz 12957 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → 𝑚 ∈ ℤ)
132131adantl 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133132zred 12127 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℝ)
13469adantr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ)
13571adantr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13680ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
137 elfzle1 12960 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
138137adantl 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 10839 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < 𝑚)
14073ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
141 elioopnf 12876 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
143133, 139, 142mpbir2and 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
144143, 1eleqtrrdi 2864 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚𝑆)
145130, 144ffvelrnd 6844 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ)
14697adantr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14798adantr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ∈ ℝ)
14816ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
14969adantr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
150100adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
151101adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
152102adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
153103adantr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
154104adantr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑈 ∈ ℝ*)
1551053adant1r 1175 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
156 elfzelz 12957 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
157156adantl 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
158157zred 12127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15971adantr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
16080ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
161 elfzle1 12960 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
162161adantl 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 10839 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < 𝑚)
164149rexrd 10730 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
166158, 163, 165mpbir2and 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
167166, 1eleqtrrdi 2864 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚𝑆)
168 peano2re 10852 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
170158lep1d 11610 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 10839 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < (𝑚 + 1))
172 elioopnf 12876 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
174169, 171, 173mpbir2and 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
175174, 1eleqtrrdi 2864 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑆)
176108adantr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
177147, 159, 158, 176, 162letrd 10836 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷𝑚)
178169rexrd 10730 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ*)
17968rexrd 10730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
180179adantr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
181 elfzle2 12961 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
182181adantl 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
183 1red 10681 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
18466adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
186 leaddsub 11155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
187158, 183, 185, 186syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
188182, 187mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
18966rexrd 10730 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 12597 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
191190adantr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 12597 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑈)
193 flid 13228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
195194eqcomd 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 = (⌊‘𝑚))
196195oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑚) + 1))
197169, 196eqled 10782 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
1981, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 197dvfsumlem2 24727 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚) ∧ ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)))
199198simpld 499 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚))
200129, 145, 199monoord2 13452 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
20171rexrd 10730 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ*)
202201, 179, 104, 87, 190xrletrd 12597 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑈)
20371leidd 11245 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2041, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 202, 203dvfsumlem2 24727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)))
205204simpld 499 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋))
20694, 126, 96, 200, 205letrd 10836 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻𝑋))
20765, 94, 96, 120, 206letrd 10836 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋))
208 csbeq1 3809 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
209208eleq1d 2837 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
21049ralrimiva 3114 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
211210adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
212 nfcsb1v 3830 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
213212nfel1 2936 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
214 csbeq1a 3820 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
215214eleq1d 2837 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
216213, 215rspc 3530 . . . . . . . 8 (𝑚𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
217211, 216mpan9 511 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
218217ralrimiva 3114 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
219209, 218, 95rspcdva 3544 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22096, 219resubcld 11107 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
221 csbeq1 3809 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
222221eleq1d 2837 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
223222, 218, 93rspcdva 3544 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22494, 223resubcld 11107 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
225 csbeq1 3809 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑌𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
226225eleq1d 2837 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
227226, 218, 64rspcdva 3544 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22865, 227resubcld 11107 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
229 csbeq1 3809 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
230229eleq1d 2837 . . . . . . 7 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
231230, 218, 125rspcdva 3544 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
232126, 231resubcld 11107 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
233204simprd 500 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
234 fveq2 6659 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑚))
235 csbeq1 3809 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
236234, 235oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑚 → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
237 eqid 2759 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵)) = (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))
238 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V
239236, 237, 238fvmpt3i 6765 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
240239elv 3416 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵)
241144, 217syldan 595 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
242145, 241resubcld 11107 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
243240, 242eqeltrid 2857 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ∈ ℝ)
244198simprd 500 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
245 ovex 7184 . . . . . . . . 9 (𝑚 + 1) ∈ V
246 fveq2 6659 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
247 csbeq1 3809 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
248246, 247oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑚 + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
249248, 237, 238fvmpt3i 6765 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
250245, 249ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
251244, 240, 2503brtr4g 5067 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)))
252129, 243, 251monoord 13451 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)))
253 ovex 7184 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V
254 fveq2 6659 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
255 csbeq1 3809 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
256254, 255oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
257256, 237, 238fvmpt3i 6765 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
258253, 257ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
259 fvex 6672 . . . . . . 7 (⌊‘𝑌) ∈ V
260 fveq2 6659 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
261 csbeq1 3809 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
262260, 261oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
263262, 237, 238fvmpt3i 6765 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
264259, 263ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
265252, 258, 2643brtr3g 5066 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
266220, 232, 224, 233, 265letrd 10836 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
267119simprd 500 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
268220, 224, 228, 266, 267letrd 10836 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
269207, 268jca 516 . 2 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
2705, 10, 43, 269lecasei 10785 1 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  Vcvv 3410  ⦋csb 3806   ⊆ wss 3859   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℝcr 10575  1c1 10577   + caddc 10579   · cmul 10581  +∞cpnf 10711  ℝ*cxr 10713   < clt 10714   ≤ cle 10715   − cmin 10909  ℤcz 12021  ℤ≥cuz 12283  (,)cioo 12780  ...cfz 12940  ⌊cfl 13210  Σcsu 15091   D cdv 24563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9138  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654  ax-addf 10655  ax-mulf 10656 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8868  df-fi 8909  df-sup 8940  df-inf 8941  df-oi 9008  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-q 12390  df-rp 12432  df-xneg 12549  df-xadd 12550  df-xmul 12551  df-ioo 12784  df-ico 12786  df-icc 12787  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-fl 13212  df-seq 13420  df-exp 13481  df-hash 13742  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-clim 14894  df-sum 15092  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-starv 16639  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-unif 16647  df-hom 16648  df-cco 16649  df-rest 16755  df-topn 16756  df-0g 16774  df-gsum 16775  df-topgen 16776  df-pt 16777  df-prds 16780  df-xrs 16834  df-qtop 16839  df-imas 16840  df-xps 16842  df-mre 16916  df-mrc 16917  df-acs 16919  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-submnd 18024  df-mulg 18293  df-cntz 18515  df-cmn 18976  df-psmet 20159  df-xmet 20160  df-met 20161  df-bl 20162  df-mopn 20163  df-fbas 20164  df-fg 20165  df-cnfld 20168  df-top 21595  df-topon 21612  df-topsp 21634  df-bases 21647  df-cld 21720  df-ntr 21721  df-cls 21722  df-nei 21799  df-lp 21837  df-perf 21838  df-cn 21928  df-cnp 21929  df-haus 22016  df-cmp 22088  df-tx 22263  df-hmeo 22456  df-fil 22547  df-fm 22639  df-flim 22640  df-flf 22641  df-xms 23023  df-ms 23024  df-tms 23025  df-cncf 23580  df-limc 24566  df-dv 24567 This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  24729  dvfsum2  24734
 Copyright terms: Public domain W3C validator