MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem3 25544
Description: Lemma for dvfsumrlim 25547. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dvfsum.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dvfsum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
dvfsum.c (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
dvfsum.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
dvfsum.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (((π‘₯ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘₯)) Β· 𝐡) + (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴)))
dvfsumlem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
dvfsumlem1.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
dvfsumlem1.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜π‘‹) ∧ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘˜,𝐷   πœ‘,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘˜,π‘Œ,π‘₯   π‘₯,𝑍   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   𝐻(π‘₯,π‘˜)   𝑉(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables 𝑦 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13384 . . . 4 (𝑇(,)+∞) βŠ† ℝ
31, 2eqsstri 4016 . . 3 𝑆 βŠ† ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
53, 4sselid 3980 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
73, 6sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
8 reflcl 13760 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
9 peano2re 11386 . . 3 ((βŒŠβ€˜π‘‹) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ ℝ)
11 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
12 dvfsum.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1312adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
14 dvfsum.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
16 dvfsum.md . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
1716adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
18 dvfsum.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
20 dvfsum.a . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2120adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
22 dvfsum.b1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2322adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
24 dvfsum.b2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2524adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
26 dvfsum.b3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
2726adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
28 dvfsum.c . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
29 dvfsum.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
31 dvfsum.l . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
32313adant1r 1177 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
33 dvfsum.h . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (((π‘₯ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘₯)) Β· 𝐡) + (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴)))
346adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
354adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
36 dvfsumlem1.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
3736adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
38 dvfsumlem1.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
3938adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
40 dvfsumlem1.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ π‘ˆ)
4140adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ π‘Œ ≀ π‘ˆ)
42 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 25543 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) β†’ ((π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜π‘‹) ∧ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
4544sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
46 reflcl 13760 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4845, 47resubcld 11641 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 25540 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 11243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘₯)) Β· 𝐡) ∈ ℝ)
51 fzfid 13937 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
5224ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ ℝ)
54 elfzuz 13496 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5554, 11eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
5628eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
5756rspccva 3611 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5853, 55, 57syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5951, 58fsumrecl 15679 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 ∈ ℝ)
6059, 20resubcld 11641 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
6150, 60readdcld 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘₯)) Β· 𝐡) + (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
6261, 33fmptd 7113 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘†βŸΆβ„)
6362adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐻:π‘†βŸΆβ„)
644adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
6563, 64ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
665adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
67 reflcl 13760 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
6918adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
707adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ ℝ)
726, 1eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
7318rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
74 elioopnf 13419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* β†’ (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7672, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
7776simprd 496 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 < 𝑋)
78 fllep1 13765 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ β†’ 𝑋 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 11373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 < ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
8180adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑇 < ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
82 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ)
8370flcld 13762 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘‹) ∈ β„€)
8483peano2zd 12668 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€)
85 flge 13769 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ ↔ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ)))
8666, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ ↔ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ)))
8782, 86mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ))
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 11373 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑇 < (βŒŠβ€˜π‘Œ))
8973adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 13419 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (βŒŠβ€˜π‘Œ))))
9189, 90syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (βŒŠβ€˜π‘Œ))))
9268, 88, 91mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ (𝑇(,)+∞))
9392, 1eleqtrrdi 2844 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑆)
9463, 93ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) ∈ ℝ)
956adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
9663, 95ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
9712adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9814adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
9916adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
10020adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10122adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
10224adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
10326adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
10429adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
105313adant1r 1177 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
10636adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
10898, 70, 71, 106, 107letrd 11370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐷 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
10998, 71, 68, 108, 87letrd 11370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐷 ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ))
110 flle 13763 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ≀ π‘Œ)
11166, 110syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ≀ π‘Œ)
11240adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ≀ π‘ˆ)
113 fllep1 13765 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ ℝ β†’ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))
11466, 113syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))
115 flidm 13773 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) = (βŒŠβ€˜π‘Œ))
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) = (βŒŠβ€˜π‘Œ))
117116oveq1d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) + 1) = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))
118114, 117breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) + 1))
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 25543 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) ∧ ((π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) βˆ’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
120119simpld 495 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)))
121 elioopnf 13419 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* β†’ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))))
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))))
12310, 80, 122mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
124123, 1eleqtrrdi 2844 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ 𝑆)
125124adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ 𝑆)
12663, 125ffvelcdmd 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ∈ ℝ)
12766flcld 13762 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ β„€)
128 eluz2 12827 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ↔ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ β„€ ∧ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ β„€ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ)))
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1343 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)))
13063adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝐻:π‘†βŸΆβ„)
131 elfzelz 13500 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘š ∈ β„€)
132131adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ β„€)
133132zred 12665 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
13469adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
13571adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ ℝ)
13680ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑇 < ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
137 elfzle1 13503 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘š)
138137adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘š)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 11373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑇 < π‘š)
14073ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
141 elioopnf 13419 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* β†’ (π‘š ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑇 < π‘š)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘š ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑇 < π‘š)))
143133, 139, 142mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ (𝑇(,)+∞))
144143, 1eleqtrrdi 2844 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ 𝑆)
145130, 144ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ (π»β€˜π‘š) ∈ ℝ)
14697adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
14798adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
14816ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
14969adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
150100adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
151101adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
152102adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
153103adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
154104adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
1551053adant1r 1177 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
156 elfzelz 13500 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1)) β†’ π‘š ∈ β„€)
157156adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘š ∈ β„€)
158157zred 12665 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
15971adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ ℝ)
16080ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝑇 < ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
161 elfzle1 13503 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘š)
162161adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘š)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 11373 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝑇 < π‘š)
164149rexrd 11263 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑇 < π‘š)))
166158, 163, 165mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘š ∈ (𝑇(,)+∞))
167166, 1eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘š ∈ 𝑆)
168 peano2re 11386 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ ℝ β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
170158lep1d 12144 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘š ≀ (π‘š + 1))
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 11373 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝑇 < (π‘š + 1))
172 elioopnf 13419 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* β†’ ((π‘š + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((π‘š + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (π‘š + 1))))
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘š + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((π‘š + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (π‘š + 1))))
174169, 171, 173mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
175174, 1eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š + 1) ∈ 𝑆)
176108adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝐷 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
177147, 159, 158, 176, 162letrd 11370 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 𝐷 ≀ π‘š)
178169rexrd 11263 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ*)
17968rexrd 11263 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ*)
180179adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ*)
181 elfzle2 13504 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1)) β†’ π‘š ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))
182181adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘š ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))
183 1red 11214 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
18466adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
186 leaddsub 11689 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ) β†’ ((π‘š + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ↔ π‘š ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1)))
187158, 183, 185, 186syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘š + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ↔ π‘š ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1)))
188182, 187mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ))
18966rexrd 11263 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 13140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ≀ π‘ˆ)
191190adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ≀ π‘ˆ)
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 13140 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š + 1) ≀ π‘ˆ)
193 flid 13772 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) = π‘š)
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) = π‘š)
195194eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘š))
196195oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š + 1) = ((βŒŠβ€˜π‘š) + 1))
197169, 196eqled 11316 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘š + 1) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘š) + 1))
1981, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 197dvfsumlem2 25543 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ ((π»β€˜(π‘š + 1)) ≀ (π»β€˜π‘š) ∧ ((π»β€˜π‘š) βˆ’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ ⦋(π‘š + 1) / π‘₯⦌𝐡)))
199198simpld 495 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ (π»β€˜(π‘š + 1)) ≀ (π»β€˜π‘š))
200129, 145, 199monoord2 13998 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) ≀ (π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)))
20171rexrd 11263 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ ℝ*)
202201, 179, 104, 87, 190xrletrd 13140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘ˆ)
20371leidd 11779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
2041, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 202, 203dvfsumlem2 25543 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ≀ (π»β€˜π‘‹) ∧ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) βˆ’ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡)))
205204simpld 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ≀ (π»β€˜π‘‹))
20694, 126, 96, 200, 205letrd 11370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) ≀ (π»β€˜π‘‹))
20765, 94, 96, 120, 206letrd 11370 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ (π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜π‘‹))
208 csbeq1 3896 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑋 β†’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
209208eleq1d 2818 . . . . . 6 (π‘š = 𝑋 β†’ (β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
21049ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝐡 ∈ ℝ)
211210adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝐡 ∈ ℝ)
212 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡
213212nfel1 2919 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ
214 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘š β†’ 𝐡 = β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡)
215214eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘š β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
216213, 215rspc 3600 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝐡 ∈ ℝ β†’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
217211, 216mpan9 507 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
218217ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑆 β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
219209, 218, 95rspcdva 3613 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
22096, 219resubcld 11641 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
221 csbeq1 3896 . . . . . . 7 (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 = ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡)
222221eleq1d 2818 . . . . . 6 (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ (β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
223222, 218, 93rspcdva 3613 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
22494, 223resubcld 11641 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) βˆ’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
225 csbeq1 3896 . . . . . . 7 (π‘š = π‘Œ β†’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)
226225eleq1d 2818 . . . . . 6 (π‘š = π‘Œ β†’ (β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ↔ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
227226, 218, 64rspcdva 3613 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
22865, 227resubcld 11641 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
229 csbeq1 3896 . . . . . . . 8 (π‘š = ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) β†’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 = ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡)
230229eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘š = ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) β†’ (β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
231230, 218, 125rspcdva 3613 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
232126, 231resubcld 11641 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) βˆ’ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
233204simprd 496 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) βˆ’ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡))
234 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘š β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘š))
235 csbeq1 3896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘š β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 = β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡)
236234, 235oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘š β†’ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) = ((π»β€˜π‘š) βˆ’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡))
237 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)) = (𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
238 ovex 7441 . . . . . . . . . 10 ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ∈ V
239236, 237, 238fvmpt3i 7003 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ V β†’ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜π‘š) = ((π»β€˜π‘š) βˆ’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡))
240239elv 3480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜π‘š) = ((π»β€˜π‘š) βˆ’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡)
241144, 217syldan 591 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
242145, 241resubcld 11641 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π»β€˜π‘š) βˆ’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
243240, 242eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
244198simprd 496 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ ((π»β€˜π‘š) βˆ’ β¦‹π‘š / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ ⦋(π‘š + 1) / π‘₯⦌𝐡))
245 ovex 7441 . . . . . . . . 9 (π‘š + 1) ∈ V
246 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘š + 1) β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜(π‘š + 1)))
247 csbeq1 3896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘š + 1) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 = ⦋(π‘š + 1) / π‘₯⦌𝐡)
248246, 247oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘š + 1) β†’ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) = ((π»β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ ⦋(π‘š + 1) / π‘₯⦌𝐡))
249248, 237, 238fvmpt3i 7003 . . . . . . . . 9 ((π‘š + 1) ∈ V β†’ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜(π‘š + 1)) = ((π»β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ ⦋(π‘š + 1) / π‘₯⦌𝐡))
250245, 249ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜(π‘š + 1)) = ((π»β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ ⦋(π‘š + 1) / π‘₯⦌𝐡)
251244, 240, 2503brtr4g 5182 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) βˆ’ 1))) β†’ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜π‘š) ≀ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜(π‘š + 1)))
252129, 243, 251monoord 13997 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) ≀ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)))
253 ovex 7441 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ V
254 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)))
255 csbeq1 3896 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 = ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡)
256254, 255oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) β†’ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) = ((π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) βˆ’ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡))
257256, 237, 238fvmpt3i 7003 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ∈ V β†’ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) = ((π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) βˆ’ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡))
258253, 257ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) = ((π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) βˆ’ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡)
259 fvex 6904 . . . . . . 7 (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ V
260 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)))
261 csbeq1 3896 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 = ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡)
262260, 261oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (𝑦 = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) = ((π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) βˆ’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡))
263262, 237, 238fvmpt3i 7003 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ V β†’ ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) = ((π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) βˆ’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡))
264259, 263ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((π»β€˜π‘¦) βˆ’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) = ((π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) βˆ’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡)
265252, 258, 2643brtr3g 5181 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)) βˆ’ ⦋((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) βˆ’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡))
266220, 232, 224, 233, 265letrd 11370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) βˆ’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡))
267119simprd 496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) βˆ’ ⦋(βŒŠβ€˜π‘Œ) / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
268220, 224, 228, 266, 267letrd 11370 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
269207, 268jca 512 . 2 ((πœ‘ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1) ≀ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜π‘‹) ∧ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
2705, 10, 43, 269lecasei 11319 1 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜π‘‹) ∧ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  β¦‹csb 3893   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  (,)cioo 13323  ...cfz 13483  βŒŠcfl 13754  Ξ£csu 15631   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  25545  dvfsum2  25550
  Copyright terms: Public domain W3C validator