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Theorem dvfsumlem3 24011
Description: Lemma for dvfsumrlim 24014. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12440 . . . 4 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3784 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sseldi 3750 . 2 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sseldi 3750 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
8 reflcl 12805 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
9 peano2re 10415 . . 3 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . 2 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
11 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
12 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 dvfsum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1514adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
1716adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
18 dvfsum.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1918adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
20 dvfsum.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120adantlr 694 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 dvfsum.b1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
2322adantlr 694 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
24 dvfsum.b2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2524adantlr 694 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 dvfsum.b3 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
2726adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
28 dvfsum.c . . 3 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
29 dvfsum.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
3029adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
31 dvfsum.l . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
32313adant1r 1187 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
33 dvfsum.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
346adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑆)
354adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑆)
36 dvfsumlem1.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝑋)
3736adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷𝑋)
38 dvfsumlem1.4 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
3938adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑌)
40 dvfsumlem1.5 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4140adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑈)
42 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 24010 . 2 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
4544sselda 3752 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
46 reflcl 12805 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4845, 47resubcld 10664 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 24007 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 10276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) ∈ ℝ)
51 fzfid 12980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑀...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5224ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5352adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
54 elfzuz 12545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5554, 11syl6eleqr 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘𝑍)
5628eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
5756rspccva 3459 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
5853, 55, 57syl2an 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5951, 58fsumrecl 14673 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 ∈ ℝ)
6059, 20resubcld 10664 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) ∈ ℝ)
6150, 60readdcld 10275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
6261, 33fmptd 6529 . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝑆⟶ℝ)
6362adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
644adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑆)
6563, 64ffvelrnd 6505 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ∈ ℝ)
665adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
67 reflcl 12805 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6918adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ)
707adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
726, 1syl6eleq 2860 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
7318rexrd 10295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
74 elioopnf 12473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7672, 75mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
7776simprd 483 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 < 𝑋)
78 fllep1 12810 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 10403 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
8180adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
82 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌)
8370flcld 12807 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
8483peano2zd 11692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
85 flge 12814 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8666, 84, 85syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8782, 86mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 10403 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < (⌊‘𝑌))
8973adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 12473 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9189, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9268, 88, 91mpbir2and 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞))
9392, 1syl6eleqr 2861 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ 𝑆)
9463, 93ffvelrnd 6505 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
956adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋𝑆)
9663, 95ffvelrnd 6505 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑋) ∈ ℝ)
9712adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ∈ ℤ)
9814adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ∈ ℝ)
9916adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
10020adantlr 694 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
10122adantlr 694 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
10224adantlr 694 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10326adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
10429adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑈 ∈ ℝ*)
105313adant1r 1187 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
10636adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷𝑋)
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10898, 70, 71, 106, 107letrd 10400 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10998, 71, 68, 108, 87letrd 10400 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ (⌊‘𝑌))
110 flle 12808 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11166, 110syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11240adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑈)
113 fllep1 12810 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
11466, 113syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
115 flidm 12818 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
117116oveq1d 6811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
118114, 117breqtrrd 4815 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1))
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 24010 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∧ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
120119simpld 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
121 elioopnf 12473 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12310, 80, 122mpbir2and 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
124123, 1syl6eleqr 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
125124adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
12663, 125ffvelrnd 6505 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ∈ ℝ)
12766flcld 12807 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
128 eluz2 11899 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1428 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)))
13063adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
131 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → 𝑚 ∈ ℤ)
132131adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133132zred 11689 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℝ)
13469adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ)
13571adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13680ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
137 elfzle1 12551 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
138137adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 10403 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < 𝑚)
14073ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
141 elioopnf 12473 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
143133, 139, 142mpbir2and 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
144143, 1syl6eleqr 2861 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚𝑆)
145130, 144ffvelrnd 6505 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ)
14697adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14798adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ∈ ℝ)
14816ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
14969adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
150100adantlr 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
151101adantlr 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
152102adantlr 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
153103adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
154104adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑈 ∈ ℝ*)
1551053adant1r 1187 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
156 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
157156adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
158157zred 11689 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15971adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
16080ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
161 elfzle1 12551 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
162161adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 10403 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < 𝑚)
164149rexrd 10295 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
166158, 163, 165mpbir2and 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
167166, 1syl6eleqr 2861 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚𝑆)
168 peano2re 10415 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
170158lep1d 11161 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 10403 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < (𝑚 + 1))
172 elioopnf 12473 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
174169, 171, 173mpbir2and 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
175174, 1syl6eleqr 2861 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑆)
176108adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
177147, 159, 158, 176, 162letrd 10400 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷𝑚)
178169rexrd 10295 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ*)
17968rexrd 10295 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
180179adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
181 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
182181adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
183 1red 10261 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
18466adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
186 leaddsub 10710 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
187158, 183, 185, 186syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
188182, 187mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
18966rexrd 10295 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 12198 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
191190adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 12198 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑈)
193 flid 12817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
195194eqcomd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 = (⌊‘𝑚))
196195oveq1d 6811 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑚) + 1))
197 eqle 10345 . . . . . . . . 9 (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑚) + 1)) → (𝑚 + 1) ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
198169, 196, 197syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
1991, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 198dvfsumlem2 24010 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚) ∧ ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)))
200199simpld 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚))
201129, 145, 200monoord2 13039 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
20271rexrd 10295 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ*)
203202, 179, 104, 87, 190xrletrd 12198 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑈)
20471leidd 10800 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2051, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 203, 204dvfsumlem2 24010 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)))
206205simpld 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋))
20794, 126, 96, 201, 206letrd 10400 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻𝑋))
20865, 94, 96, 120, 207letrd 10400 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋))
209 csbeq1 3685 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
210209eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
21149ralrimiva 3115 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
212211adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
213 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
214213nfel1 2928 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
215 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
216215eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
217214, 216rspc 3454 . . . . . . . 8 (𝑚𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
218212, 217mpan9 496 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
219218ralrimiva 3115 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
220210, 219, 95rspcdva 3466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22196, 220resubcld 10664 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
222 csbeq1 3685 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
223222eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
224223, 219, 93rspcdva 3466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22594, 224resubcld 10664 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
226 csbeq1 3685 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑌𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
227226eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
228227, 219, 64rspcdva 3466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22965, 228resubcld 10664 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
230 csbeq1 3685 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
231230eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
232231, 219, 125rspcdva 3466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
233126, 232resubcld 10664 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
234205simprd 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
235 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ V
236 fveq2 6333 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑚))
237 csbeq1 3685 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
238236, 237oveq12d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑚 → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
239 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵)) = (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))
240 ovex 6827 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V
241238, 239, 240fvmpt3i 6431 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
242235, 241ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵)
243144, 218syldan 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
244145, 243resubcld 10664 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
245242, 244syl5eqel 2854 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ∈ ℝ)
246199simprd 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
247 ovex 6827 . . . . . . . . 9 (𝑚 + 1) ∈ V
248 fveq2 6333 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
249 csbeq1 3685 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
250248, 249oveq12d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑚 + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
251250, 239, 240fvmpt3i 6431 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
252247, 251ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
253246, 242, 2523brtr4g 4821 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)))
254129, 245, 253monoord 13038 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)))
255 ovex 6827 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V
256 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
257 csbeq1 3685 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
258256, 257oveq12d 6814 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
259258, 239, 240fvmpt3i 6431 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
260255, 259ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
261 fvex 6344 . . . . . . 7 (⌊‘𝑌) ∈ V
262 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
263 csbeq1 3685 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
264262, 263oveq12d 6814 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
265264, 239, 240fvmpt3i 6431 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
266261, 265ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
267254, 260, 2663brtr3g 4820 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
268221, 233, 225, 234, 267letrd 10400 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
269119simprd 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
270221, 225, 229, 268, 269letrd 10400 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
271208, 270jca 501 . 2 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
2725, 10, 43, 271lecasei 10349 1 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  csb 3682  wss 3723   class class class wbr 4787  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  +∞cpnf 10277  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  cz 11584  cuz 11893  (,)cioo 12380  ...cfz 12533  cfl 12799  Σcsu 14624   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851
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