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Theorem dvfsumlem3 25392
Description: Lemma for dvfsumrlim 25395. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13325 . . . 4 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3978 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sselid 3942 . 2 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sselid 3942 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
8 reflcl 13701 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
9 peano2re 11328 . . 3 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
107, 8, 93syl 18 . 2 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
11 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
12 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 dvfsum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
18 dvfsum.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
20 dvfsum.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 dvfsum.b1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
2322adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
24 dvfsum.b2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2524adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 dvfsum.b3 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
2726adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
28 dvfsum.c . . 3 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
29 dvfsum.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
31 dvfsum.l . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
32313adant1r 1177 . . 3 (((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
33 dvfsum.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
346adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑆)
354adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑆)
36 dvfsumlem1.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝑋)
3736adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐷𝑋)
38 dvfsumlem1.4 . . . 4 (𝜑𝑋𝑌)
3938adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋𝑌)
40 dvfsumlem1.5 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4140adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌𝑈)
42 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 25391 . 2 ((𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
4544sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
46 reflcl 13701 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
4845, 47resubcld 11583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 25388 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 11185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) ∈ ℝ)
51 fzfid 13878 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑀...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5224ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
54 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5554, 11eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘𝑍)
5628eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
5756rspccva 3580 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
5853, 55, 57syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5951, 58fsumrecl 15619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 ∈ ℝ)
6059, 20resubcld 11583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) ∈ ℝ)
6150, 60readdcld 11184 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
6261, 33fmptd 7062 . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝑆⟶ℝ)
6362adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
644adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑆)
6563, 64ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ∈ ℝ)
665adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
67 reflcl 13701 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
6918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ)
707adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
726, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
7318rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
74 elioopnf 13360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
7672, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
7776simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 < 𝑋)
78 fllep1 13706 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
8180adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
82 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌)
8370flcld 13703 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
8483peano2zd 12610 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
85 flge 13710 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8666, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌 ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
8782, 86mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 11315 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 < (⌊‘𝑌))
8973adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑇 ∈ ℝ*)
90 elioopnf 13360 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℝ* → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9189, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (⌊‘𝑌))))
9268, 88, 91mpbir2and 711 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (𝑇(,)+∞))
9392, 1eleqtrrdi 2849 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ 𝑆)
9463, 93ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
956adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋𝑆)
9663, 95ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑋) ∈ ℝ)
9712adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ∈ ℤ)
9814adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ∈ ℝ)
9916adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
10020adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
10122adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
10224adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10326adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
10429adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑈 ∈ ℝ*)
105313adant1r 1177 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
10636adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷𝑋)
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10898, 70, 71, 106, 107letrd 11312 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
10998, 71, 68, 108, 87letrd 11312 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝐷 ≤ (⌊‘𝑌))
110 flle 13704 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11166, 110syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
11240adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌𝑈)
113 fllep1 13706 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
11466, 113syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑌) + 1))
115 flidm 13714 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘(⌊‘𝑌)) = (⌊‘𝑌))
117116oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
118114, 117breqtrrd 5133 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ≤ ((⌊‘(⌊‘𝑌)) + 1))
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 25391 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ∧ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
120119simpld 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
121 elioopnf 13360 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
12310, 80, 122mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
124123, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
125124adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ 𝑆)
12663, 125ffvelcdmd 7036 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ∈ ℝ)
12766flcld 13703 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
128 eluz2 12769 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)) ↔ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1343 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑋) + 1)))
13063adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝐻:𝑆⟶ℝ)
131 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → 𝑚 ∈ ℤ)
132131adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133132zred 12607 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ ℝ)
13469adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ)
13571adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13680ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
137 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
138137adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 < 𝑚)
14073ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
141 elioopnf 13360 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
143133, 139, 142mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
144143, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚𝑆)
145130, 144ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → (𝐻𝑚) ∈ ℝ)
14697adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14798adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ∈ ℝ)
14816ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
14969adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
150100adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
151101adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
152102adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
153103adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
154104adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑈 ∈ ℝ*)
1551053adant1r 1177 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
156 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
157156adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
158157zred 12607 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15971adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
16080ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < ((⌊‘𝑋) + 1))
161 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
162161adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑚)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 11315 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < 𝑚)
164149rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 ∈ ℝ*)
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑚)))
166158, 163, 165mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ∈ (𝑇(,)+∞))
167166, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚𝑆)
168 peano2re 11328 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
170158lep1d 12086 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 11315 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑇 < (𝑚 + 1))
172 elioopnf 13360 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 < (𝑚 + 1))))
174169, 171, 173mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑇(,)+∞))
175174, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑆)
176108adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
177147, 159, 158, 176, 162letrd 11312 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝐷𝑚)
178169rexrd 11205 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ*)
17968rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
180179adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ*)
181 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1)) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
182181adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1))
183 1red 11156 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
18466adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
186 leaddsub 11631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑌) ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
187158, 183, 185, 186syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌) ↔ 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑌) − 1)))
188182, 187mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
18966rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ*)
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 13081 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
191190adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑈)
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 13081 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑈)
193 flid 13713 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
195194eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → 𝑚 = (⌊‘𝑚))
196195oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑚) + 1))
197169, 196eqled 11258 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝑚 + 1) ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
1981, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 197dvfsumlem2 25391 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚) ∧ ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)))
199198simpld 495 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝐻𝑚))
200129, 145, 199monoord2 13939 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
20171rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ*)
202201, 179, 104, 87, 190xrletrd 13081 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑈)
20371leidd 11721 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2041, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 202, 203dvfsumlem2 25391 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)))
205204simpld 495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ (𝐻𝑋))
20694, 126, 96, 200, 205letrd 11312 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻‘(⌊‘𝑌)) ≤ (𝐻𝑋))
20765, 94, 96, 120, 206letrd 11312 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋))
208 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
209208eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
21049ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
211210adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
212 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
213212nfel1 2923 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
214 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
215214eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
216213, 215rspc 3569 . . . . . . . 8 (𝑚𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
217211, 216mpan9 507 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
218217ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
219209, 218, 95rspcdva 3582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22096, 219resubcld 11583 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
221 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
222221eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
223222, 218, 93rspcdva 3582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22494, 223resubcld 11583 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
225 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑌𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
226225eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
227226, 218, 64rspcdva 3582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
22865, 227resubcld 11583 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
229 csbeq1 3858 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑚 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
230229eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑚 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
231230, 218, 125rspcdva 3582 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
232126, 231resubcld 11583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
233204simprd 496 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
234 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑚))
235 csbeq1 3858 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑚𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
236234, 235oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑚 → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
237 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵)) = (𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))
238 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) ∈ V
239236, 237, 238fvmpt3i 6953 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵))
240239elv 3451 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) = ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵)
241144, 217syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
242145, 241resubcld 11583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
243240, 242eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...(⌊‘𝑌))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ∈ ℝ)
244198simprd 496 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝐻𝑚) − 𝑚 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
245 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑚 + 1) ∈ V
246 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
247 csbeq1 3858 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑚 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
248246, 247oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑚 + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
249248, 237, 238fvmpt3i 6953 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵))
250245, 249ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘(𝑚 + 1)) − (𝑚 + 1) / 𝑥𝐵)
251244, 240, 2503brtr4g 5139 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑋) + 1)...((⌊‘𝑌) − 1))) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘𝑚) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(𝑚 + 1)))
252129, 243, 251monoord 13938 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) ≤ ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)))
253 ovex 7390 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V
254 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)))
255 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
256254, 255oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
257256, 237, 238fvmpt3i 6953 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
258253, 257ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘((⌊‘𝑋) + 1)) = ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
259 fvex 6855 . . . . . . 7 (⌊‘𝑌) ∈ V
260 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(⌊‘𝑌)))
261 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
262260, 261oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⌊‘𝑌) → ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
263262, 237, 238fvmpt3i 6953 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑌) ∈ V → ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
264259, 263ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ V ↦ ((𝐻𝑦) − 𝑦 / 𝑥𝐵))‘(⌊‘𝑌)) = ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵)
265252, 258, 2643brtr3g 5138 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘((⌊‘𝑋) + 1)) − ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
266220, 232, 224, 233, 265letrd 11312 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵))
267119simprd 496 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻‘(⌊‘𝑌)) − (⌊‘𝑌) / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
268220, 224, 228, 266, 267letrd 11312 . . 3 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
269207, 268jca 512 . 2 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ≤ 𝑌) → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
2705, 10, 43, 269lecasei 11261 1 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  cfl 13695  Σcsu 15570   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  25393  dvfsum2  25398
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