Theorem abscvgcvg 15882

Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscvgcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
abscvgcvg.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
abscvgcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
abscvgcvg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
abscvgcvg.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
abscvgcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem abscvgcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscvgcvg.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		abscvgcvg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzid 12887	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4, 1	eleqtrrdi 2877	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		abscvgcvg.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
7		abscvgcvg.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		abscvgcvg.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11		1red 11219	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	1	eleq2i 2858	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	6	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
14	8, 13	eqled 11323	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑘))
15	9	recnd 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	15	mullidd 11237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
17	14, 16	breqtrrd 5142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
18	12, 17	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
19	1, 5, 9, 7, 10, 11, 18	cvgcmpce 15881	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5112  dom cdm 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11108  ℝcr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   ≤ cle 11254  ℤcz 12601  ℤ_≥cuz 12872  seqcseq 14048  abscabs 15296   ⇝ cli 15546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-ico 13388  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-fl 13836  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-limsup 15533  df-clim 15550  df-rlim 15551  df-sum 15749

This theorem is used by:  mertens  15951  radcnvlem3  26593  radcnvlt2  26597  zetacvg  27194