Theorem abscvgcvg 15774

Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscvgcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
abscvgcvg.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
abscvgcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
abscvgcvg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
abscvgcvg.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
abscvgcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem abscvgcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscvgcvg.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		abscvgcvg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzid 12795	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4, 1	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		abscvgcvg.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
7		abscvgcvg.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15393	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		abscvgcvg.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11		1red 11137	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	1	eleq2i 2831	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	6	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
14	8, 13	eqled 11241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑘))
15	9	recnd 11165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	15	mullidd 11155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
17	14, 16	breqtrrd 5101	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
18	12, 17	sylan2br 601	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
19	1, 5, 9, 7, 10, 11, 18	cvgcmpce 15773	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   ≤ cle 11172  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  seqcseq 13955  abscabs 15188   ⇝ cli 15438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-ico 13296  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15425  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641

This theorem is referenced by:  mertens  15843  radcnvlem3  26399  radcnvlt2  26403  zetacvg  26997