Theorem abscvgcvg 15761

Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscvgcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
abscvgcvg.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
abscvgcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
abscvgcvg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
abscvgcvg.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
abscvgcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem abscvgcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscvgcvg.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		abscvgcvg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzid 12833	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4, 1	eleqtrrdi 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		abscvgcvg.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
7		abscvgcvg.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		abscvgcvg.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11		1red 11211	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	1	eleq2i 2825	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	6	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
14	8, 13	eqled 11313	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑘))
15	9	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	15	mullidd 11228	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
17	14, 16	breqtrrd 5175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
18	12, 17	sylan2br 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
19	1, 5, 9, 7, 10, 11, 18	cvgcmpce 15760	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   ≤ cle 11245  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  seqcseq 13962  abscabs 15177   ⇝ cli 15424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  mertens  15828  radcnvlem3  25918  radcnvlt2  25922  zetacvg  26508