Theorem abscvgcvg 15837

Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscvgcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
abscvgcvg.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
abscvgcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
abscvgcvg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
abscvgcvg.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
abscvgcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem abscvgcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscvgcvg.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		abscvgcvg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzid 12875	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4, 1	eleqtrrdi 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		abscvgcvg.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
7		abscvgcvg.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		abscvgcvg.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11		1red 11244	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	1	eleq2i 2825	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	6	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
14	8, 13	eqled 11346	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑘))
15	9	recnd 11271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	15	mullidd 11261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
17	14, 16	breqtrrd 5151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
18	12, 17	sylan2br 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
19	1, 5, 9, 7, 10, 11, 18	cvgcmpce 15836	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142   ≤ cle 11278  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  seqcseq 14024  abscabs 15255   ⇝ cli 15502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-ico 13375  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705

This theorem is referenced by:  mertens  15904  radcnvlem3  26394  radcnvlt2  26398  zetacvg  26994