Theorem abscvgcvg 15928

Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscvgcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
abscvgcvg.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
abscvgcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
abscvgcvg.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
abscvgcvg.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
abscvgcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem abscvgcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscvgcvg.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		abscvgcvg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzid 12924	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4, 1	eleqtrrdi 2871	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		abscvgcvg.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (abs‘(𝐺‘𝑘)))
7		abscvgcvg.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
8	7	abscld 15548	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		abscvgcvg.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11		1red 11255	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	1	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	6	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
14	8, 13	eqled 11359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑘))
15	9	recnd 11283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	15	mullidd 11273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
17	14, 16	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
18	12, 17	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (abs‘(𝐺‘𝑘)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑘)))
19	1, 5, 9, 7, 10, 11, 18	cvgcmpce 15927	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  ℂcc 11144  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   ≤ cle 11290  ℤcz 12637  ℤ_≥cuz 12909  seqcseq 14087  abscabs 15343   ⇝ cli 15593

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-inf2 9624  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9966  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-n0 12551  df-z 12638  df-uz 12910  df-rp 13065  df-ico 13426  df-fz 13584  df-fzo 13732  df-fl 13875  df-seq 14088  df-exp 14148  df-hash 14417  df-cj 15208  df-re 15209  df-im 15210  df-sqrt 15344  df-abs 15345  df-limsup 15580  df-clim 15597  df-rlim 15598  df-sum 15796

This theorem is used by:  mertens  15997  radcnvlem3  26680  radcnvlt2  26684  zetacvg  27280