MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mudivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mudivsum 27418
Description: Asymptotic formula for Σ𝑛 ≀ π‘₯, ΞΌ(𝑛) / 𝑛 = 𝑂(1). Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mudivsum (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛

Proof of Theorem mudivsum
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11219 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 reex 11203 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3 rpssre 12987 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
42, 3ssexi 5315 . . . . . 6 ℝ+ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ ℝ+ ∈ V)
6 fzfid 13944 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
7 rpre 12988 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9 nndivre 12257 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
107, 8, 9syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
1110recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ β„‚)
12 reflcl 13767 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1413recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
1511, 14subcld 11575 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
168adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
17 mucl 27028 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
1918zcnd 12671 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2015, 19mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
216, 20fsumcl 15685 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
22 rpcn 12990 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
23 rpne0 12996 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
2421, 22, 23divcld 11994 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) ∈ β„‚)
2524adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) ∈ β„‚)
26 ovexd 7440 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ V)
27 eqidd 2727 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)))
28 eqidd 2727 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
295, 25, 26, 27, 28offval2 7687 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
303a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
3121adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
3222adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3323adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  0)
3431, 32, 33absdivd 15408 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / (absβ€˜π‘₯)))
35 rprege0 12995 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
36 absid 15249 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3938oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / (absβ€˜π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯))
4034, 39eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯))
4131abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
42 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
4320adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
4443abscld 15389 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
4542, 44fsumrecl 15686 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
467adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4742, 43fsumabs 15753 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
48 reflcl 13767 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
50 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
5115adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
52 fz1ssnn 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•)
5453sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5554, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
5655zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
5751, 56absmuld 15407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))))
5851abscld 15389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
5956abscld 15389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
6051absge0d 15397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
6156absge0d 15397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)))
62 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
638nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
64 rpdivcl 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
6562, 63, 64syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
663, 65sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
6766, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
68 flle 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (π‘₯ / 𝑛))
6966, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (π‘₯ / 𝑛))
7067, 66, 69abssubge0d 15384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
71 fracle1 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ 1)
7266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ 1)
7370, 72eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ≀ 1)
74 mule1 27035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
7554, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
7658, 50, 59, 50, 60, 61, 73, 75lemul12ad 12160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (1 Β· 1))
77 1t1e1 12378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 1) = 1
7876, 77breqtrdi 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ 1)
7957, 78eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ 1)
8042, 44, 50, 79fsumle 15751 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1)
81 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ β„‚)
82 fsumconst 15742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1))
8342, 81, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1))
84 flge1nn 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
857, 84sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
8685nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
87 hashfz1 14311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
8988oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 1))
9049recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9190mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 1) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
9283, 89, 913eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = (βŒŠβ€˜π‘₯))
9380, 92breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯))
94 flle 13770 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
9546, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
9645, 49, 46, 93, 95letrd 11375 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ π‘₯)
9741, 45, 46, 47, 96letrd 11375 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ π‘₯)
9832mulridd 11235 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
9997, 98breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· 1))
100 1red 11219 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ ℝ)
10141, 100, 62ledivmuld 13075 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
10299, 101mpbird 257 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ 1)
10340, 102eqbrtrd 5163 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ≀ 1)
104103adantl 481 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ≀ 1)
10530, 25, 1, 1, 104elo1d 15486 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
106 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
107 divrcnv 15804 . . . . . . 7 (1 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0)
108106, 107ax-mp 5 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0
109 rlimo1 15567 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
110108, 109mp1i 13 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
111 o1add 15564 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
112105, 110, 111syl2anc 583 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
11329, 112eqeltrrd 2828 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
114 ovexd 7440 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)) ∈ V)
11518zred 12670 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
116115, 16nndivred 12270 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
117116recnd 11246 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
1186, 117fsumcl 15685 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
119118adantl 481 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
120118adantr 480 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
121120abscld 15389 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
122117adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
12342, 32, 122fsummulc2 15736 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
12414, 19mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
125124adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
12642, 43, 125fsumadd 15692 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
12711adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ β„‚)
12814adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
129127, 128npcand 11579 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = (π‘₯ / 𝑛))
130129oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
13151, 128, 56adddird 11243 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
13232adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13354nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
134 rpcnne0 12998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
136 div23 11895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
137 divass 11894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
138136, 137eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
139132, 56, 135, 138syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
140130, 131, 1393eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
141140sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
142 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) = (ΞΌβ€˜π‘›))
143 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} βŠ† β„•
144 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})
145143, 144sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
146145, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
147146zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
148142, 46, 147dvdsflsumcom 27075 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›))
1491473impb 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
150149mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = (ΞΌβ€˜π‘›))
1511502sumeq2dv 15657 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›))
152 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 1 β†’ 1 = 1)
153 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15485, 153eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
155 eluzfz1 13514 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
157 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ β„‚)
158152, 42, 53, 156, 157musumsum 27079 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = 1)
159151, 158eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›) = 1)
160 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
161 fsumconst 15742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
162160, 56, 161syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
163 rprege0 12995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯ / 𝑛)))
164 flge0nn0 13791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„•0)
165 hashfz1 14311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))
16665, 163, 164, 1654syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))
167166oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
168162, 167eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
169168sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
170148, 159, 1693eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = 1)
171170oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
172126, 141, 1713eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
173123, 172eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
174173oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯))
175120, 32, 33divcan3d 11999 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) / π‘₯) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛))
176 rpcnne0 12998 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
177176adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
178 divdir 11901 . . . . . . . 8 ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
17931, 81, 177, 178syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
180174, 175, 1793eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
181180fveq2d 6889 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
182121, 181eqled 11321 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
183182adantl 481 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
1841, 113, 114, 119, 183o1le 15605 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
185184mptru 1540 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  ...cfz 13490  βŒŠcfl 13761  β™―chash 14295  abscabs 15187   β‡π‘Ÿ crli 15435  π‘‚(1)co1 15436  Ξ£csu 15638   βˆ₯ cdvds 16204  ΞΌcmu 26982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-o1 15440  df-lo1 15441  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-mu 26988
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  27419  mulog2sumlem3  27424  selberglem1  27433
  Copyright terms: Public domain W3C validator