MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mudivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mudivsum 27481
Description: Asymptotic formula for Σ𝑛 ≀ π‘₯, ΞΌ(𝑛) / 𝑛 = 𝑂(1). Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mudivsum (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛

Proof of Theorem mudivsum
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11245 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 reex 11229 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3 rpssre 13013 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
42, 3ssexi 5317 . . . . . 6 ℝ+ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ ℝ+ ∈ V)
6 fzfid 13970 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
7 rpre 13014 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 elfznn 13562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9 nndivre 12283 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
107, 8, 9syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
1110recnd 11272 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ β„‚)
12 reflcl 13793 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1413recnd 11272 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
1511, 14subcld 11601 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
168adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
17 mucl 27091 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
1918zcnd 12697 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2015, 19mulcld 11264 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
216, 20fsumcl 15711 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
22 rpcn 13016 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
23 rpne0 13022 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
2421, 22, 23divcld 12020 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) ∈ β„‚)
2524adantl 480 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) ∈ β„‚)
26 ovexd 7451 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ V)
27 eqidd 2726 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)))
28 eqidd 2726 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
295, 25, 26, 27, 28offval2 7702 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
303a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
3121adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
3222adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3323adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  0)
3431, 32, 33absdivd 15434 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / (absβ€˜π‘₯)))
35 rprege0 13021 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
36 absid 15275 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3837adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3938oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / (absβ€˜π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯))
4034, 39eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯))
4131abscld 15415 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
42 fzfid 13970 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
4320adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
4443abscld 15415 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
4542, 44fsumrecl 15712 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
467adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4742, 43fsumabs 15779 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
48 reflcl 13793 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
50 1red 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
5115adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
52 fz1ssnn 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•)
5453sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5554, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
5655zcnd 12697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
5751, 56absmuld 15433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))))
5851abscld 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
5956abscld 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
6051absge0d 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
6156absge0d 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)))
62 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
638nnrpd 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
64 rpdivcl 13031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
6562, 63, 64syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
663, 65sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
6766, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
68 flle 13796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (π‘₯ / 𝑛))
6966, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (π‘₯ / 𝑛))
7067, 66, 69abssubge0d 15410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
71 fracle1 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ 1)
7266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ 1)
7370, 72eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ≀ 1)
74 mule1 27098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
7554, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
7658, 50, 59, 50, 60, 61, 73, 75lemul12ad 12186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (1 Β· 1))
77 1t1e1 12404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 1) = 1
7876, 77breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ 1)
7957, 78eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ 1)
8042, 44, 50, 79fsumle 15777 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1)
81 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ β„‚)
82 fsumconst 15768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1))
8342, 81, 82syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1))
84 flge1nn 13818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
857, 84sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
8685nnnn0d 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
87 hashfz1 14337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
8988oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 1))
9049recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9190mulridd 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 1) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
9283, 89, 913eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = (βŒŠβ€˜π‘₯))
9380, 92breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯))
94 flle 13796 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
9546, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
9645, 49, 46, 93, 95letrd 11401 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ π‘₯)
9741, 45, 46, 47, 96letrd 11401 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ π‘₯)
9832mulridd 11261 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
9997, 98breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· 1))
100 1red 11245 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ ℝ)
10141, 100, 62ledivmuld 13101 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
10299, 101mpbird 256 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ 1)
10340, 102eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ≀ 1)
104103adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ≀ 1)
10530, 25, 1, 1, 104elo1d 15512 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
106 ax-1cn 11196 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
107 divrcnv 15830 . . . . . . 7 (1 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0)
108106, 107ax-mp 5 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0
109 rlimo1 15593 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
110108, 109mp1i 13 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
111 o1add 15590 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
112105, 110, 111syl2anc 582 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
11329, 112eqeltrrd 2826 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
114 ovexd 7451 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)) ∈ V)
11518zred 12696 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
116115, 16nndivred 12296 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
117116recnd 11272 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
1186, 117fsumcl 15711 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
119118adantl 480 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
120118adantr 479 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
121120abscld 15415 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
122117adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
12342, 32, 122fsummulc2 15762 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
12414, 19mulcld 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
125124adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
12642, 43, 125fsumadd 15718 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
12711adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ β„‚)
12814adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
129127, 128npcand 11605 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = (π‘₯ / 𝑛))
130129oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
13151, 128, 56adddird 11269 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
13232adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13354nnrpd 13046 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
134 rpcnne0 13024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
136 div23 11921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
137 divass 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
138136, 137eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
139132, 56, 135, 138syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
140130, 131, 1393eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
141140sumeq2dv 15681 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
142 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) = (ΞΌβ€˜π‘›))
143 ssrab2 4069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} βŠ† β„•
144 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})
145143, 144sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
146145, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
147146zcnd 12697 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
148142, 46, 147dvdsflsumcom 27138 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›))
1491473impb 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
150149mulridd 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = (ΞΌβ€˜π‘›))
1511502sumeq2dv 15683 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›))
152 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 1 β†’ 1 = 1)
153 nnuz 12895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15485, 153eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
155 eluzfz1 13540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
157 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ β„‚)
158152, 42, 53, 156, 157musumsum 27142 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = 1)
159151, 158eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›) = 1)
160 fzfid 13970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
161 fsumconst 15768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
162160, 56, 161syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
163 rprege0 13021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯ / 𝑛)))
164 flge0nn0 13817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„•0)
165 hashfz1 14337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))
16665, 163, 164, 1654syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))
167166oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
168162, 167eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
169168sumeq2dv 15681 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
170148, 159, 1693eqtr3rd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = 1)
171170oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
172126, 141, 1713eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
173123, 172eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
174173oveq1d 7431 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯))
175120, 32, 33divcan3d 12025 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) / π‘₯) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛))
176 rpcnne0 13024 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
177176adantr 479 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
178 divdir 11927 . . . . . . . 8 ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
17931, 81, 177, 178syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
180174, 175, 1793eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
181180fveq2d 6896 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
182121, 181eqled 11347 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
183182adantl 480 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
1841, 113, 114, 119, 183o1le 15631 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
185184mptru 1540 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„+crp 13006  ...cfz 13516  βŒŠcfl 13787  β™―chash 14321  abscabs 15213   β‡π‘Ÿ crli 15461  π‘‚(1)co1 15462  Ξ£csu 15664   βˆ₯ cdvds 16230  ΞΌcmu 27045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-o1 15466  df-lo1 15467  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-pc 16805  df-mu 27051
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  27482  mulog2sumlem3  27487  selberglem1  27496
  Copyright terms: Public domain W3C validator