MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mudivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mudivsum 26894
Description: Asymptotic formula for Σ𝑛 ≀ π‘₯, ΞΌ(𝑛) / 𝑛 = 𝑂(1). Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mudivsum (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛

Proof of Theorem mudivsum
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11163 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 reex 11149 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3 rpssre 12929 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
42, 3ssexi 5284 . . . . . 6 ℝ+ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ ℝ+ ∈ V)
6 fzfid 13885 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
7 rpre 12930 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9 nndivre 12201 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
107, 8, 9syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
1110recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ β„‚)
12 reflcl 13708 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1413recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
1511, 14subcld 11519 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
168adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
17 mucl 26506 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
1918zcnd 12615 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2015, 19mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
216, 20fsumcl 15625 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
22 rpcn 12932 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
23 rpne0 12938 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
2421, 22, 23divcld 11938 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) ∈ β„‚)
2524adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) ∈ β„‚)
26 ovexd 7397 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ V)
27 eqidd 2738 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)))
28 eqidd 2738 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
295, 25, 26, 27, 28offval2 7642 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
303a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
3121adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
3222adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3323adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  0)
3431, 32, 33absdivd 15347 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / (absβ€˜π‘₯)))
35 rprege0 12937 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
36 absid 15188 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3837adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
3938oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / (absβ€˜π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯))
4034, 39eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) = ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯))
4131abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
42 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
4320adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
4443abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
4542, 44fsumrecl 15626 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
467adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4742, 43fsumabs 15693 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
48 reflcl 13708 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
50 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
5115adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
52 fz1ssnn 13479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•)
5453sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5554, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
5655zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
5751, 56absmuld 15346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))))
5851abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
5956abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
6051absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
6156absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)))
62 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
638nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
64 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
6562, 63, 64syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
663, 65sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
6766, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
68 flle 13711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (π‘₯ / 𝑛))
6966, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (π‘₯ / 𝑛))
7067, 66, 69abssubge0d 15323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
71 fracle1 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ 1)
7266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ 1)
7370, 72eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ≀ 1)
74 mule1 26513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
7554, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
7658, 50, 59, 50, 60, 61, 73, 75lemul12ad 12104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (1 Β· 1))
77 1t1e1 12322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 1) = 1
7876, 77breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ 1)
7957, 78eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ 1)
8042, 44, 50, 79fsumle 15691 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1)
81 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ β„‚)
82 fsumconst 15682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1))
8342, 81, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1))
84 flge1nn 13733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
857, 84sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
8685nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
87 hashfz1 14253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
8988oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 1) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 1))
9049recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9190mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 1) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
9283, 89, 913eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))1 = (βŒŠβ€˜π‘₯))
9380, 92breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯))
94 flle 13711 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
9546, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
9645, 49, 46, 93, 95letrd 11319 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ π‘₯)
9741, 45, 46, 47, 96letrd 11319 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ π‘₯)
9832mulid1d 11179 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
9997, 98breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· 1))
100 1red 11163 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ ℝ)
10141, 100, 62ledivmuld 13017 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
10299, 101mpbird 257 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ 1)
10340, 102eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ≀ 1)
104103adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ≀ 1)
10530, 25, 1, 1, 104elo1d 15425 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
106 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
107 divrcnv 15744 . . . . . . 7 (1 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0)
108106, 107ax-mp 5 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0
109 rlimo1 15506 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
110108, 109mp1i 13 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
111 o1add 15503 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
112105, 110, 111syl2anc 585 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
11329, 112eqeltrrd 2839 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
114 ovexd 7397 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)) ∈ V)
11518zred 12614 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
116115, 16nndivred 12214 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
117116recnd 11190 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
1186, 117fsumcl 15625 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
119118adantl 483 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
120118adantr 482 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
121120abscld 15328 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
122117adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
12342, 32, 122fsummulc2 15676 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
12414, 19mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
125124adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
12642, 43, 125fsumadd 15632 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
12711adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ β„‚)
12814adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
129127, 128npcand 11523 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = (π‘₯ / 𝑛))
130129oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
13151, 128, 56adddird 11187 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))))
13232adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13354nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
134 rpcnne0 12940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
136 div23 11839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
137 divass 11838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
138136, 137eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
139132, 56, 135, 138syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
140130, 131, 1393eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
141140sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
142 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) = (ΞΌβ€˜π‘›))
143 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} βŠ† β„•
144 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})
145143, 144sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
146145, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
147146zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
148142, 46, 147dvdsflsumcom 26553 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›))
1491473impb 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜}) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
150149mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜}) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = (ΞΌβ€˜π‘›))
1511502sumeq2dv 15597 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›))
152 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 1 β†’ 1 = 1)
153 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15485, 153eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
155 eluzfz1 13455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
157 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ β„‚)
158152, 42, 53, 156, 157musumsum 26557 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 1) = 1)
159151, 158eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} (ΞΌβ€˜π‘›) = 1)
160 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
161 fsumconst 15682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin ∧ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
162160, 56, 161syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
163 rprege0 12937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯ / 𝑛)))
164 flge0nn0 13732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„•0)
165 hashfz1 14253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))
16665, 163, 164, 1654syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))
167166oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
168162, 167eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
169168sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(ΞΌβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)))
170148, 159, 1693eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) = 1)
171170oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· (ΞΌβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
172126, 141, 1713eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(π‘₯ Β· ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
173123, 172eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1))
174173oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯))
175120, 32, 33divcan3d 11943 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) / π‘₯) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛))
176 rpcnne0 12940 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
177176adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
178 divdir 11845 . . . . . . . 8 ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
17931, 81, 177, 178syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) + 1) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
180174, 175, 1793eqtr3d 2785 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯)))
181180fveq2d 6851 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
182121, 181eqled 11265 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
183182adantl 483 . . 3 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘₯ / 𝑛) βˆ’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (ΞΌβ€˜π‘›)) / π‘₯) + (1 / π‘₯))))
1841, 113, 114, 119, 183o1le 15544 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
185184mptru 1549 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  β™―chash 14237  abscabs 15126   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  ΞΌcmu 26460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-mu 26466
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  26895  mulog2sumlem3  26900  selberglem1  26909
  Copyright terms: Public domain W3C validator