Theorem dchrvmasumiflem2 27642

Description: Lemma for dchrvmasum 27665. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasumif.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrvmasumif.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
dchrvmasumif.g	⊢ 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
dchrvmasumif.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrvmasumif.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumiflem2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑦,𝐾   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐸(𝑛,𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmasumiflem2

Dummy variables 𝑘 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11208	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		fzfid 14009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
3		rpvmasum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		rpvmasum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
7		dchrisum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8	7	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		elfzelz 13551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
10	9	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
11	3, 4, 5, 6, 8, 10	dchrzrhcl 27385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
12		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
13	12	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
14		mucl 27281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
16	15	zred 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
17	16, 13	nndivred 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
19	11, 18	mulcld 11228	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
20	2, 19	fsumcl 15784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
21		dchrvmasumif.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
22		climcl 15550	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆 → 𝑆 ∈ ℂ)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
24	23	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
25	20, 24	mulcld 11228	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) ∈ ℂ)
26		0cnd 11198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 0 ∈ ℂ)
27		df-ne 2957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
28		dchrvmasumif.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
29		climcl 15550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇 → 𝑇 ∈ ℂ)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
31	30	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑇 ∈ ℂ)
32	23	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
33		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ≠ 0)
34	31, 32, 33	divcld 11990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑇 / 𝑆) ∈ ℂ)
35	27, 34	sylan2br 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 = 0) → (𝑇 / 𝑆) ∈ ℂ)
36	26, 35	ifclda 4522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ)
37	36	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ)
38		rpvmasum.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
39		rpvmasum.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
40		dchrisum.n1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
41		dchrvmasumif.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
42		dchrvmasumif.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
43		dchrvmasumif.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
44	4, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43	dchrmusum2 27634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆)) ∈ 𝑂(1))
45		rpssre 13023	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
46		o1const 15671	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ 𝑂(1))
47	45, 36, 46	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ 𝑂(1))
48	25, 37, 44, 47	o1mul2 15676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) ∈ 𝑂(1))
49		fzfid 14009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ Fin)
50	8	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
51		elfzelz 13551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℤ)
52	51	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
53	3, 4, 5, 6, 50, 52	dchrzrhcl 27385	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑘)) ∈ ℂ)
54		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
55	12	nnrpd 13057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
56		rpdivcl 13042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
57	54, 55, 56	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
58		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℕ)
59	58	nnrpd 13057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
60		ifcl 4532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘) ∈ ℝ+)
61	57, 59, 60	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘) ∈ ℝ+)
62	61	relogcld 26764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) ∈ ℝ)
63	58	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
64	62, 63	nndivred 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘) ∈ ℂ)
66	53, 65	mulcld 11228	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
67	49, 66	fsumcl 15784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
68	19, 67	mulcld 11228	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) ∈ ℂ)
69	2, 68	fsumcl 15784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) ∈ ℂ)
70	25, 37	mulcld 11228	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ ℂ)
71		0cn 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
72	30	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
73		ifcl 4532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
74	71, 72, 73	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
75	19, 67, 74	subdid 11669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = ((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
76	75	sumeq2dv 15753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
77	19, 74	mulcld 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ ℂ)
78	2, 68, 77	fsumsub 15839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
79	20, 24, 37	mulassd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
80		ovif2 7509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)))
81	23	mul01d 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 0) = 0)
82	81	ifeq1d 4506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))))
83	31, 32, 33	divcan2d 11992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)) = 𝑇)
84	27, 83	sylan2br 606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 = 0) → (𝑆 · (𝑇 / 𝑆)) = 𝑇)
85	84	ifeq2da 4519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
86	82, 85	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, (𝑆 · 0), (𝑆 · (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
87	80, 86	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
88	87	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
89	88	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝑆 · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))
90	71, 30, 73	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
91	90	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ ℂ)
92	2, 91, 19	fsummulc1 15836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))
93	79, 89, 92	3eqtrrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))
94	93	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
95	76, 78, 94	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
96	95	mpteq2dva 5203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))))
97		dchrvmasumif.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
98		dchrvmasumif.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
99		dchrvmasumif.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
100	4, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43, 97, 98, 28, 99	dchrvmasumiflem1 27641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)) − if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) ∈ 𝑂(1))
101	96, 100	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))) − ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))) ∈ 𝑂(1))
102	69, 70, 101	o1dif 15681	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑆) · if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) ∈ 𝑂(1)))
103	48, 102	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))) ∈ 𝑂(1))
104	7	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
105		elfzelz 13551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
106	105	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
107	3, 4, 5, 6, 104, 106	dchrzrhcl 27385	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
108		elfznn 13581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
109	108	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
110		vmacl 27258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
111		nndivre 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
112	110, 111	mpancom 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
113	109, 112	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
114	113	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
115	107, 114	mulcld 11228	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
116	2, 115	fsumcl 15784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
117		relogcl 26716	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
118	117	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
119	118	recnd 11236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
120		ifcl 4532	. . . 4 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
121	119, 71, 120	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
122	116, 121	addcld 11227	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0)) ∈ ℂ)
123	122	abscld 15490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
124	123	adantrr 729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
125	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑁 ∈ ℕ)
126	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
127	40	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋 ≠ 1 )
128		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
129		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
130	4, 6, 125, 3, 5, 39, 126, 127, 128, 129	dchrvmasum2if 27637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘))))
131	130	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))))
132	124, 131	eqled 11312	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿‘𝑘)) · ((log‘if(𝑆 = 0, (𝑥 / 𝑑), 𝑘)) / 𝑘)))))
133	1, 103, 69, 122, 132	o1le 15704	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  +∞cpnf 11239   ≤ cle 11243   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  3c3 12295  ℤcz 12590  ℝ⁺crp 13015  [,)cico 13373  ...cfz 13534  ⌊cfl 13823  seqcseq 14037  abscabs 15285   ⇝ cli 15535  𝑂(1)co1 15537  Σcsu 15737  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  ℤRHomczrh 21628  ℤ/nℤczn 21631  logclog 26695  Λcvma 27232  μcmu 27235  DChrcdchr 27372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-o1 15541  df-lo1 15542  df-sum 15738  df-ef 16120  df-e 16121  df-sin 16122  df-cos 16123  df-tan 16124  df-pi 16125  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-pc 16896  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-qus 17562  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-nsg 19189  df-eqg 19190  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-od 19597  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-2idl 21368  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-zring 21576  df-zrh 21632  df-zn 21635  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-cmp 23523  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-ulm 26516  df-log 26697  df-cxp 26698  df-atan 27008  df-em 27133  df-vma 27238  df-mu 27241  df-dchr 27373

This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  27643