MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumiflem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumiflem2 26994
Description: Lemma for dchrvmasum 27017. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrvmasumif.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
dchrvmasumif.g 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))
dchrvmasumif.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.t (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrvmasumif.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumiflem2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦, 1   𝐢,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Ž,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   𝑦,𝐾   𝑛,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,π‘Ž,𝐿,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘Ž)   𝑇(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐸(𝑛,π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛,π‘Ž)   𝐾(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)   𝑍(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrvmasumiflem2
Dummy variables π‘˜ 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11211 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 fzfid 13934 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
3 rpvmasum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
4 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
5 rpvmasum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
6 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
7 dchrisum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 elfzelz 13497 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
109adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
113, 4, 5, 6, 8, 10dchrzrhcl 26737 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
12 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
14 mucl 26634 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
1615zred 12662 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
1716, 13nndivred 12262 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
1817recnd 11238 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
1911, 18mulcld 11230 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
202, 19fsumcl 15675 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
21 dchrvmasumif.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
22 climcl 15439 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆 β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
2423adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
2520, 24mulcld 11230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) ∈ β„‚)
26 0cnd 11203 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ 0 ∈ β„‚)
27 df-ne 2941 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  0 ↔ Β¬ 𝑆 = 0)
28 dchrvmasumif.t . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
29 climcl 15439 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇 β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3223adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
33 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝑆 β‰  0)
3431, 32, 33divcld 11986 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (𝑇 / 𝑆) ∈ β„‚)
3527, 34sylan2br 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 = 0) β†’ (𝑇 / 𝑆) ∈ β„‚)
3626, 35ifclda 4562 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ β„‚)
3736adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ β„‚)
38 rpvmasum.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
39 rpvmasum.1 . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
40 dchrisum.n1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
41 dchrvmasumif.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
42 dchrvmasumif.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
43 dchrvmasumif.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
444, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43dchrmusum2 26986 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆)) ∈ 𝑂(1))
45 rpssre 12977 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
46 o1const 15560 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ 𝑂(1))
4745, 36, 46sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ 𝑂(1))
4825, 37, 44, 47o1mul2 15565 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) ∈ 𝑂(1))
49 fzfid 13934 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) ∈ Fin)
508adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
51 elfzelz 13497 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
533, 4, 5, 6, 50, 52dchrzrhcl 26737 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
5512nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
56 rpdivcl 12995 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
5754, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
58 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5958nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
60 ifcl 4572 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜) ∈ ℝ+)
6157, 59, 60syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜) ∈ ℝ+)
6261relogcld 26122 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) ∈ ℝ)
6358adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
6462, 63nndivred 12262 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜) ∈ ℝ)
6564recnd 11238 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜) ∈ β„‚)
6653, 65mulcld 11230 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
6749, 66fsumcl 15675 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
6819, 67mulcld 11230 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) ∈ β„‚)
692, 68fsumcl 15675 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) ∈ β„‚)
7025, 37mulcld 11230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) ∈ β„‚)
71 0cn 11202 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
7230ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
73 ifcl 4572 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ β„‚)
7471, 72, 73sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ β„‚)
7519, 67, 74subdid 11666 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
7675sumeq2dv 15645 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
7719, 74mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) ∈ β„‚)
782, 68, 77fsumsub 15730 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))))
7920, 24, 37mulassd 11233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝑆 Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
80 ovif2 7503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, (𝑆 Β· 0), (𝑆 Β· (𝑇 / 𝑆)))
8123mul01d 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑆 Β· 0) = 0)
8281ifeq1d 4546 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝑆 = 0, (𝑆 Β· 0), (𝑆 Β· (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, (𝑆 Β· (𝑇 / 𝑆))))
8331, 32, 33divcan2d 11988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (𝑆 Β· (𝑇 / 𝑆)) = 𝑇)
8427, 83sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 = 0) β†’ (𝑆 Β· (𝑇 / 𝑆)) = 𝑇)
8584ifeq2da 4559 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝑆 = 0, 0, (𝑆 Β· (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
8682, 85eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑆 = 0, (𝑆 Β· 0), (𝑆 Β· (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
8780, 86eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
8887adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))) = if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))
8988oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝑆 Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))
9071, 30, 73sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ β„‚)
9190adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇) ∈ β„‚)
922, 91, 19fsummulc1 15727 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))
9379, 89, 923eqtrrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)) = ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))
9493oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
9576, 78, 943eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))))
9695mpteq2dva 5247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))))
97 dchrvmasumif.g . . . . . 6 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))
98 dchrvmasumif.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
99 dchrvmasumif.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
1004, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43, 97, 98, 28, 99dchrvmasumiflem1 26993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)) βˆ’ if(𝑆 = 0, 0, 𝑇)))) ∈ 𝑂(1))
10196, 100eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))) βˆ’ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆))))) ∈ 𝑂(1))
10269, 70, 101o1dif 15570 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· 𝑆) Β· if(𝑆 = 0, 0, (𝑇 / 𝑆)))) ∈ 𝑂(1)))
10348, 102mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)))) ∈ 𝑂(1))
1047ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
105 elfzelz 13497 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
106105adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1073, 4, 5, 6, 104, 106dchrzrhcl 26737 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
108 elfznn 13526 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
109108adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
110 vmacl 26611 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ)
111 nndivre 12249 . . . . . . . 8 (((Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
112110, 111mpancom 686 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
113109, 112syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
114113recnd 11238 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
115107, 114mulcld 11230 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
1162, 115fsumcl 15675 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
117 relogcl 26075 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
118117adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
119118recnd 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
120 ifcl 4572 . . . 4 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0) ∈ β„‚)
121119, 71, 120sylancl 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0) ∈ β„‚)
122116, 121addcld 11229 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0)) ∈ β„‚)
123122abscld 15379 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
124123adantrr 715 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
12538adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1267adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
12740adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑋 β‰  1 )
128 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
129 simprr 771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
1304, 6, 125, 3, 5, 39, 126, 127, 128, 129dchrvmasum2if 26989 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜))))
131130fveq2d 6892 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) = (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)))))
132124, 131eqled 11313 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) Β· ((logβ€˜if(𝑆 = 0, (π‘₯ / 𝑑), π‘˜)) / π‘˜)))))
1331, 103, 69, 122, 132o1le 15595 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  3c3 12264  β„€cz 12554  β„+crp 12970  [,)cico 13322  ...cfz 13480  βŒŠcfl 13751  seqcseq 13962  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  π‘‚(1)co1 15426  Ξ£csu 15628  Basecbs 17140  0gc0g 17381  β„€RHomczrh 21040  β„€/nβ„€czn 21043  logclog 26054  Ξ›cvma 26585  ΞΌcmu 26588  DChrcdchr 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-od 19390  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ulm 25880  df-log 26056  df-cxp 26057  df-atan 26361  df-em 26486  df-vma 26591  df-mu 26594  df-dchr 26725
This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  26995
  Copyright terms: Public domain W3C validator