Theorem ppip1le 27078

Description: The prime-counting function π cannot locally increase faster than the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppip1le	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppip1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2		zre 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		peano2re 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
6		ppicl 27048	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12511	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
9		ppiprm 27068	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
10	8, 9	eqled 11284	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
11		ppinprm 27069	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(⌊‘𝐴)))
12		ppicl 27048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12511	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	lep1d 12121	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
17	11, 16	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
18	10, 17	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
19	1, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
20		1z 12570	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		fladdz 13794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
22	20, 21	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
23	22	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘((⌊‘𝐴) + 1)))
24		peano2re 11354	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
25		ppifl 27077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
27	23, 26	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(𝐴 + 1)))
28		ppifl 27077	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
29	28	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1) = ((π‘𝐴) + 1))
30	19, 27, 29	3brtr3d 5141	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ⌊cfl 13759  ℙcprime 16648  πcppi 27011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649  df-ppi 27017

This theorem is referenced by: (None)