Theorem ppip1le 25746

Description: The prime-counting function π cannot locally increase faster than the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppip1le	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppip1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13160	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2		zre 11973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		peano2re 10802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
6		ppicl 25716	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 11944	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
9		ppiprm 25736	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
10	8, 9	eqled 10732	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
11		ppinprm 25737	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(⌊‘𝐴)))
12		ppicl 25716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 11944	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	lep1d 11560	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
17	11, 16	eqbrtrd 5052	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
18	10, 17	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
19	1, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
20		1z 12000	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		fladdz 13190	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
22	20, 21	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
23	22	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘((⌊‘𝐴) + 1)))
24		peano2re 10802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
25		ppifl 25745	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
27	23, 26	eqtr3d 2835	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(𝐴 + 1)))
28		ppifl 25745	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
29	28	oveq1d 7150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1) = ((π‘𝐴) + 1))
30	19, 27, 29	3brtr3d 5061	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ⌊cfl 13155  ℙcprime 16005  πcppi 25679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16006  df-ppi 25685

This theorem is referenced by: (None)