MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppip1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppip1le 26320
Description: The prime-counting function π cannot locally increase faster than the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppip1le (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppip1le
StepHypRef Expression
1 flcl 13525 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2 zre 12333 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3 peano2re 11158 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
54adantr 481 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
6 ppicl 26290 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
87nn0red 12304 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
9 ppiprm 26310 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
108, 9eqled 11088 . . . 4 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
11 ppinprm 26311 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(⌊‘𝐴)))
12 ppicl 26290 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
132, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1413nn0red 12304 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
1615lep1d 11916 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
1711, 16eqbrtrd 5095 . . . 4 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
1810, 17pm2.61dan 810 . . 3 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
191, 18syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
20 1z 12360 . . . . 5 1 ∈ ℤ
21 fladdz 13555 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
2220, 21mpan2 688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
2322fveq2d 6770 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘((⌊‘𝐴) + 1)))
24 peano2re 11158 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
25 ppifl 26319 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
2624, 25syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
2723, 26eqtr3d 2780 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(𝐴 + 1)))
28 ppifl 26319 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
2928oveq1d 7282 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1) = ((π𝐴) + 1))
3019, 27, 293brtr3d 5104 1 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  cr 10880  1c1 10882   + caddc 10884  cle 11020  0cn0 12243  cz 12329  cfl 13520  cprime 16386  πcppi 26253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-oadd 8288  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-dju 9669  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-dvds 15974  df-prm 16387  df-ppi 26259
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator