Theorem ppip1le 25239

Description: The prime-counting function π cannot locally increase faster than the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppip1le	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppip1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 12851	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2		zre 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		peano2re 10499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
6		ppicl 25209	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 11641	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
9		ppiprm 25229	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
10		eqle 10429	. . . . 5 ⊢ (((π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ ∧ (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1)) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
11	8, 9, 10	syl2anc 580	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
12		ppinprm 25230	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(⌊‘𝐴)))
13		ppicl 25209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
17	16	lep1d 11247	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
18	12, 17	eqbrtrd 4865	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
19	11, 18	pm2.61dan 848	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
20	1, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
21		1z 11697	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		fladdz 12881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
23	21, 22	mpan2 683	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
24	23	fveq2d 6415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘((⌊‘𝐴) + 1)))
25		peano2re 10499	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
26		ppifl 25238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
28	24, 27	eqtr3d 2835	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(𝐴 + 1)))
29		ppifl 25238	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
30	29	oveq1d 6893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1) = ((π‘𝐴) + 1))
31	20, 28, 30	3brtr3d 4874	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℝcr 10223  1c1 10225   + caddc 10227   ≤ cle 10364  ℕ₀cn0 11580  ℤcz 11666  ⌊cfl 12846  ℙcprime 15719  πcppi 25172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-dvds 15320  df-prm 15720  df-ppi 25178

This theorem is referenced by: (None)