Theorem ppip1le 26310

Description: The prime-counting function π cannot locally increase faster than the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppip1le	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppip1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13515	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2		zre 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		peano2re 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
6		ppicl 26280	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12294	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
9		ppiprm 26300	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
10	8, 9	eqled 11078	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
11		ppinprm 26301	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(⌊‘𝐴)))
12		ppicl 26280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12294	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	lep1d 11906	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
17	11, 16	eqbrtrd 5096	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
18	10, 17	pm2.61dan 810	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
19	1, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
20		1z 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		fladdz 13545	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
22	20, 21	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
23	22	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘((⌊‘𝐴) + 1)))
24		peano2re 11148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
25		ppifl 26309	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
27	23, 26	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(𝐴 + 1)))
28		ppifl 26309	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
29	28	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1) = ((π‘𝐴) + 1))
30	19, 27, 29	3brtr3d 5105	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π‘𝐴) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ⌊cfl 13510  ℙcprime 16376  πcppi 26243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-ppi 26249

This theorem is referenced by: (None)