Theorem equivcfil 25226

Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐶-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivcau.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivcfil	⊢ (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2		equivcau.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	1, 3	rpdivcld 12951	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
6	5	eleq1d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
7	6	rexbidv 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
8	7	rspcv 3568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
11		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
12		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
13		equivcau.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
14		equivcau.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		equivcau.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
16	11, 12, 13, 14, 2, 15	metss2lem 24426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
17	16	ancom2s 650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
18	17	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
19	18	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
20	13	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
21		metxmet 24249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24		rpxr 12900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
25	24	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
26		blssm 24333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
28		filss 23768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)
29	28	3exp2 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
30	29	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
31	10, 19, 27, 30	syl3c 66	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
32	31	reximdva 3145	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
33	9, 32	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
34	33	ralrimdva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
35	34	imdistanda 571	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓) → (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
36		metxmet 24249	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37		iscfil3 25200	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
38	14, 36, 37	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
39		iscfil3 25200	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
40	13, 21, 39	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
41	35, 38, 40	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶)))
42	41	ssrdv 3935	1 ⊢ (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   · cmul 11011  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  ℝ⁺crp 12890  ∞Metcxmet 21276  Metcmet 21277  ballcbl 21278  MetOpencmopn 21281  Filcfil 23760  CauFilccfil 25179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ico 13251  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-fbas 21288  df-fil 23761  df-cfil 25182

This theorem is referenced by:  equivcmet  25244