MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivcfil 23305
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐶-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivcfil (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2 equivcau.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32ad2antrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
41, 3rpdivcld 12099 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 oveq2 6879 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
65eleq1d 2869 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
76rexbidv 3239 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
87rspcv 3497 . . . . . . 7 ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10 simpllr 784 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
11 eqid 2805 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
12 eqid 2805 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
13 equivcau.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
14 equivcau.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 equivcau.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
1611, 12, 13, 14, 2, 15metss2lem 22525 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1716ancom2s 632 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1817adantlr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1918anassrs 455 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
2013ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
21 metxmet 22348 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
23 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 rpxr 12050 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
2524ad2antlr 709 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
26 blssm 22432 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
2722, 23, 25, 26syl3anc 1483 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
28 filss 21866 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)
29283exp2 1456 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
3029com24 95 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
3110, 19, 27, 30syl3c 66 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3231reximdva 3203 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
339, 32syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3433ralrimdva 3156 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3534imdistanda 563 . . 3 (𝜑 → ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓) → (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
36 metxmet 22348 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37 iscfil3 23279 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
3814, 36, 373syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
39 iscfil3 23279 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
4013, 21, 393syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
4135, 38, 403imtr4d 285 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶)))
4241ssrdv 3801 1 (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  wral 3095  wrex 3096  wss 3766   class class class wbr 4840  cfv 6098  (class class class)co 6871   · cmul 10223  *cxr 10355  cle 10357   / cdiv 10966  +crp 12042  ∞Metcxmt 19935  Metcme 19936  ballcbl 19937  MetOpencmopn 19940  Filcfil 21858  CauFilccfil 23258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-id 5216  df-po 5229  df-so 5230  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-er 7976  df-map 8091  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-2 11360  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ico 12395  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-fbas 19947  df-fil 21859  df-cfil 23261
This theorem is referenced by:  equivcmet  23322
  Copyright terms: Public domain W3C validator