Theorem equivcfil 23901

Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐶-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivcau.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivcfil	⊢ (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2		equivcau.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	1, 3	rpdivcld 12447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5		oveq2 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
6	5	eleq1d 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
7	6	rexbidv 3297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
8	7	rspcv 3617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10		simpllr 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
11		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
12		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
13		equivcau.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
14		equivcau.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		equivcau.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
16	11, 12, 13, 14, 2, 15	metss2lem 23120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
17	16	ancom2s 648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
18	17	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
19	18	anassrs 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
20	13	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
21		metxmet 22943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
23		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24		rpxr 12397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
25	24	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
26		blssm 23027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
28		filss 22460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)
29	28	3exp2 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
30	29	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
31	10, 19, 27, 30	syl3c 66	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
32	31	reximdva 3274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
33	9, 32	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
34	33	ralrimdva 3189	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
35	34	imdistanda 574	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓) → (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
36		metxmet 22943	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37		iscfil3 23875	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
38	14, 36, 37	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
39		iscfil3 23875	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
40	13, 21, 39	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
41	35, 38, 40	3imtr4d 296	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶)))
42	41	ssrdv 3972	1 ⊢ (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   · cmul 10541  ℝ^*cxr 10673   ≤ cle 10675   / cdiv 11296  ℝ⁺crp 12388  ∞Metcxmet 20529  Metcmet 20530  ballcbl 20531  MetOpencmopn 20534  Filcfil 22452  CauFilccfil 23854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ico 12743  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-fbas 20541  df-fil 22453  df-cfil 23857

This theorem is referenced by:  equivcmet  23919