MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivcfil 24815
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐢 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐢(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝑅 Β· 𝐷(π‘₯, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐢-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcau.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcau.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivcfil (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜π·) βŠ† (CauFilβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2 equivcau.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
41, 3rpdivcld 13032 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 oveq2 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))
65eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
76rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
87rspcv 3608 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜πΆ) = (MetOpenβ€˜πΆ)
12 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
13 equivcau.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
14 equivcau.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
15 equivcau.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1611, 12, 13, 14, 2, 15metss2lem 24019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1716ancom2s 648 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1817adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1918anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
2013ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21 metxmet 23839 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
23 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
24 rpxr 12982 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
2524ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
26 blssm 23923 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
2722, 23, 25, 26syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
28 filss 23356 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)
29283exp2 1354 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))))
3029com24 95 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))))
3110, 19, 27, 30syl3c 66 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3231reximdva 3168 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
339, 32syld 47 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3433ralrimdva 3154 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3534imdistanda 572 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓) β†’ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
36 metxmet 23839 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
37 iscfil3 24789 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓)))
3814, 36, 373syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓)))
39 iscfil3 24789 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
4013, 21, 393syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
4135, 38, 403imtr4d 293 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ)))
4241ssrdv 3988 1 (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜π·) βŠ† (CauFilβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  β„+crp 12973  βˆžMetcxmet 20928  Metcmet 20929  ballcbl 20930  MetOpencmopn 20933  Filcfil 23348  CauFilccfil 24768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-fbas 20940  df-fil 23349  df-cfil 24771
This theorem is referenced by:  equivcmet  24833
  Copyright terms: Public domain W3C validator