MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivcfil 23590
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐶-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivcfil (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2 equivcau.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
41, 3rpdivcld 12303 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 oveq2 7029 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
65eleq1d 2867 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
76rexbidv 3260 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
87rspcv 3555 . . . . . . 7 ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
11 eqid 2795 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
12 eqid 2795 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
13 equivcau.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
14 equivcau.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 equivcau.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
1611, 12, 13, 14, 2, 15metss2lem 22809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1716ancom2s 646 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1817adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1918anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
2013ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
21 metxmet 22632 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
23 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 rpxr 12253 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
2524ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
26 blssm 22716 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
2722, 23, 25, 26syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
28 filss 22150 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)
29283exp2 1347 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
3029com24 95 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
3110, 19, 27, 30syl3c 66 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3231reximdva 3237 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
339, 32syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3433ralrimdva 3156 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
3534imdistanda 572 . . 3 (𝜑 → ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓) → (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
36 metxmet 22632 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37 iscfil3 23564 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
3814, 36, 373syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
39 iscfil3 23564 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
4013, 21, 393syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
4135, 38, 403imtr4d 295 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶)))
4241ssrdv 3899 1 (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  wss 3863   class class class wbr 4966  cfv 6230  (class class class)co 7021   · cmul 10393  *cxr 10525  cle 10527   / cdiv 11150  +crp 12244  ∞Metcxmet 20217  Metcmet 20218  ballcbl 20219  MetOpencmopn 20222  Filcfil 22142  CauFilccfil 23543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-2 11553  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ico 12599  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-fbas 20229  df-fil 22143  df-cfil 23546
This theorem is referenced by:  equivcmet  23608
  Copyright terms: Public domain W3C validator