MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivcfil 24816
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐢 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐢(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝑅 Β· 𝐷(π‘₯, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐢-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcau.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcau.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivcfil (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜π·) βŠ† (CauFilβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2 equivcau.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
41, 3rpdivcld 13033 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))
65eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
76rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
87rspcv 3609 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜πΆ) = (MetOpenβ€˜πΆ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
13 equivcau.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
14 equivcau.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
15 equivcau.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1611, 12, 13, 14, 2, 15metss2lem 24020 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1716ancom2s 649 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1918anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
2013ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21 metxmet 23840 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
23 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
24 rpxr 12983 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
2524ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
26 blssm 23924 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
2722, 23, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
28 filss 23357 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)
29283exp2 1355 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))))
3029com24 95 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))))
3110, 19, 27, 30syl3c 66 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3231reximdva 3169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
339, 32syld 47 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3433ralrimdva 3155 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3534imdistanda 573 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓) β†’ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
36 metxmet 23840 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
37 iscfil3 24790 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓)))
3814, 36, 373syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓)))
39 iscfil3 24790 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
4013, 21, 393syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
4135, 38, 403imtr4d 294 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ)))
4241ssrdv 3989 1 (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜π·) βŠ† (CauFilβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  Filcfil 23349  CauFilccfil 24769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-fbas 20941  df-fil 23350  df-cfil 24772
This theorem is referenced by:  equivcmet  24834
  Copyright terms: Public domain W3C validator