MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivcfil 24686
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐢 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐢(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝑅 Β· 𝐷(π‘₯, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐢-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcau.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcau.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivcfil (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜π·) βŠ† (CauFilβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2 equivcau.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
41, 3rpdivcld 12982 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))
65eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
76rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
87rspcv 3579 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜πΆ) = (MetOpenβ€˜πΆ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
13 equivcau.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
14 equivcau.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
15 equivcau.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1611, 12, 13, 14, 2, 15metss2lem 23890 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1716ancom2s 649 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1918anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
2013ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21 metxmet 23710 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
23 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
24 rpxr 12932 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
2524ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
26 blssm 23794 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
2722, 23, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
28 filss 23227 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)
29283exp2 1355 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))))
3029com24 95 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))))
3110, 19, 27, 30syl3c 66 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3231reximdva 3162 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
339, 32syld 47 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3433ralrimdva 3148 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓))
3534imdistanda 573 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓) β†’ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
36 metxmet 23710 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
37 iscfil3 24660 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓)))
3814, 36, 373syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) ∈ 𝑓)))
39 iscfil3 24660 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
4013, 21, 393syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ) ↔ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ∈ 𝑓)))
4135, 38, 403imtr4d 294 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜πΆ)))
4241ssrdv 3954 1 (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜π·) βŠ† (CauFilβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   / cdiv 11820  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  Metcmet 20805  ballcbl 20806  MetOpencmopn 20809  Filcfil 23219  CauFilccfil 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-fbas 20816  df-fil 23220  df-cfil 24642
This theorem is referenced by:  equivcmet  24704
  Copyright terms: Public domain W3C validator