Theorem equivcfil 25528

Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy filters are also 𝐶-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivcau.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivcfil	⊢ (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcfil

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2		equivcau.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	1, 3	rpdivcld 13105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
6	5	eleq1d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
7	6	rexbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
8	7	rspcv 3575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
9	4, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓))
10		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
11		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
12		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
13		equivcau.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
14		equivcau.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		equivcau.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
16	11, 12, 13, 14, 2, 15	metss2lem 24738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
17	16	ancom2s 663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
18	17	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
19	18	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
20	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
21		metxmet 24561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
23		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24		rpxr 13054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
25	24	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
26		blssm 24645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋)
28		filss 24080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)
29	28	3exp2 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
30	29	com24 96	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) → ((𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ⊆ 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))))
31	10, 19, 27, 30	syl3c 67	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
32	31	reximdva 3177	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
33	9, 32	syld 48	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
34	33	ralrimdva 3164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓))
35	34	imdistanda 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓) → (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
36		metxmet 24561	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37		iscfil3 25502	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
38	14, 36, 37	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ∈ 𝑓)))
39		iscfil3 25502	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
40	13, 21, 39	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶) ↔ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∈ 𝑓)))
41	35, 38, 40	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐶)))
42	41	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝜑 → (CauFil‘𝐷) ⊆ (CauFil‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   · cmul 11132  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℝ⁺crp 13044  ∞Metcxmet 21571  Metcmet 21572  ballcbl 21573  MetOpencmopn 21576  Filcfil 24072  CauFilccfil 25481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ico 13406  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-fbas 21583  df-fil 24073  df-cfil 25484

This theorem is used by:  equivcmet  25546