MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrlem16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrlem16 9755
Description: Lemma for general well-founded recursion. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.) Revised notion of transitive closure. (Revised by Scott Fenton, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
frrlem16 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem frrlem16
StepHypRef Expression
1 predres 6340 . . . . . 6 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤)
2 relres 6010 . . . . . . . 8 Rel (𝑅𝐴)
3 ssttrcl 9712 . . . . . . . 8 (Rel (𝑅𝐴) → (𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴)
5 predrelss 6338 . . . . . . 7 ((𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴) → Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤)
71, 6eqsstri 4016 . . . . 5 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤)
8 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅𝐴)
9 coss1 5855 . . . . . . . . 9 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅𝐴) → ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11 coss2 5856 . . . . . . . . 9 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅𝐴) → (t++(𝑅𝐴) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ t++(𝑅𝐴)))
128, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (t++(𝑅𝐴) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ t++(𝑅𝐴))
1310, 12sstri 3991 . . . . . . 7 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ t++(𝑅𝐴))
14 ttrcltr 9713 . . . . . . 7 (t++(𝑅𝐴) ∘ t++(𝑅𝐴)) ⊆ t++(𝑅𝐴)
1513, 14sstri 3991 . . . . . 6 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅𝐴)
16 predtrss 6323 . . . . . 6 ((((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
1715, 16mp3an1 1448 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
187, 17sstrid 3993 . . . 4 ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
1918ancoms 459 . . 3 ((𝑧𝐴𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
2019ralrimiva 3146 . 2 (𝑧𝐴 → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
2120adantl 482 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3061  cin 3947  wss 3948   Fr wfr 5628   Se wse 5629   × cxp 5674  cres 5678  ccom 5680  Rel wrel 5681  Predcpred 6299  t++cttrcl 9704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-ttrcl 9705
This theorem is referenced by:  frr1  9756
  Copyright terms: Public domain W3C validator