MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrlem16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrlem16 9798
Description: Lemma for general well-founded recursion. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.) Revised notion of transitive closure. (Revised by Scott Fenton, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
frrlem16 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem frrlem16
StepHypRef Expression
1 predres 6360 . . . . . 6 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤)
2 relres 6023 . . . . . . . 8 Rel (𝑅𝐴)
3 ssttrcl 9755 . . . . . . . 8 (Rel (𝑅𝐴) → (𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴)
5 predrelss 6358 . . . . . . 7 ((𝑅𝐴) ⊆ t++(𝑅𝐴) → Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 Pred((𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤)
71, 6eqsstri 4030 . . . . 5 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤)
8 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅𝐴)
9 coss1 5866 . . . . . . . . 9 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅𝐴) → ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11 coss2 5867 . . . . . . . . 9 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅𝐴) → (t++(𝑅𝐴) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ t++(𝑅𝐴)))
128, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (t++(𝑅𝐴) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ t++(𝑅𝐴))
1310, 12sstri 3993 . . . . . . 7 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅𝐴) ∘ t++(𝑅𝐴))
14 ttrcltr 9756 . . . . . . 7 (t++(𝑅𝐴) ∘ t++(𝑅𝐴)) ⊆ t++(𝑅𝐴)
1513, 14sstri 3993 . . . . . 6 ((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅𝐴)
16 predtrss 6343 . . . . . 6 ((((t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
1715, 16mp3an1 1450 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
187, 17sstrid 3995 . . . 4 ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
1918ancoms 458 . . 3 ((𝑧𝐴𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
2019ralrimiva 3146 . 2 (𝑧𝐴 → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
2120adantl 481 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅𝐴), 𝐴, 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  wss 3951   Fr wfr 5634   Se wse 5635   × cxp 5683  cres 5687  ccom 5689  Rel wrel 5690  Predcpred 6320  t++cttrcl 9747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-ttrcl 9748
This theorem is referenced by:  frr1  9799
  Copyright terms: Public domain W3C validator