Theorem frrlem16 33162

Description: Lemma for general founded recursion. Establish a subset relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
frrlem16	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem frrlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
2		simpllr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → 𝑅 Se 𝐴)
3	1, 2	jca 514	. . 3 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
4		simpr 487	. . 3 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
5		trpredtr 33088	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
6	3, 4, 5	sylc 65	. 2 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
7	6	ralrimiva 3181	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137   ⊆ wss 3929   Fr wfr 5504   Se wse 5505  Predcpred 6140  TrPredctrpred 33075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7574  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-trpred 33076

This theorem is referenced by:  frr1  33163