Theorem frrlem16 9718

Description: Lemma for general well-founded recursion. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.) Revised notion of transitive closure. (Revised by Scott Fenton, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
frrlem16	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem frrlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predres 6328	. . . . . 6 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
2		relres 5993	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
3		ssttrcl 9672	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ 𝐴) → (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
5		predrelss 6326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
7	1, 6	eqsstri 3984	. . . . 5 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
8		inss1 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
9		coss1 5829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11		coss2 5830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴)))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
13	10, 12	sstri 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
14		ttrcltr 9673	. . . . . . 7 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
15	13, 14	sstri 3947	. . . . . 6 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
16		predtrss 6311	. . . . . 6 ⊢ ((((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
17	15, 16	mp3an1 1471	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
18	7, 17	sstrid 3949	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
19	18	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
20	19	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
21	20	adantl 485	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   Fr wfr 5599   Se wse 5600   × cxp 5647   ↾ cres 5651   ∘ ccom 5653  Rel wrel 5654  Predcpred 6289  t++cttrcl 9664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-ttrcl 9665

This theorem is referenced by:  frr1  9719