Theorem frrlem16 9755

Description: Lemma for general well-founded recursion. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.) Revised notion of transitive closure. (Revised by Scott Fenton, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
frrlem16	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem frrlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predres 6339	. . . . . 6 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
2		relres 6009	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
3		ssttrcl 9712	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ 𝐴) → (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
5		predrelss 6337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
7	1, 6	eqsstri 4015	. . . . 5 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
8		inss1 4227	. . . . . . . . 9 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
9		coss1 5854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11		coss2 5855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴)))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
13	10, 12	sstri 3990	. . . . . . 7 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
14		ttrcltr 9713	. . . . . . 7 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
15	13, 14	sstri 3990	. . . . . 6 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
16		predtrss 6322	. . . . . 6 ⊢ ((((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
17	15, 16	mp3an1 1446	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
18	7, 17	sstrid 3992	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
19	18	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
20	19	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
21	20	adantl 480	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   Fr wfr 5627   Se wse 5628   × cxp 5673   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680  Predcpred 6298  t++cttrcl 9704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-ttrcl 9705

This theorem is referenced by:  frr1  9756