Theorem frrlem16 9786

Description: Lemma for general well-founded recursion. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.) Revised notion of transitive closure. (Revised by Scott Fenton, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
frrlem16	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem frrlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predres 6357	. . . . . 6 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
2		relres 6006	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
3		ssttrcl 9740	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ 𝐴) → (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
5		predrelss 6355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
7	1, 6	eqsstri 3959	. . . . 5 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
8		inss1 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
9		coss1 5838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11		coss2 5839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴)))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
13	10, 12	sstri 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
14		ttrcltr 9741	. . . . . . 7 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
15	13, 14	sstri 3922	. . . . . 6 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
16		predtrss 6340	. . . . . 6 ⊢ ((((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
17	15, 16	mp3an1 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
18	7, 17	sstrid 3924	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
19	18	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
20	19	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
21	20	adantl 487	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   Fr wfr 5605   Se wse 5606   × cxp 5653   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  Rel wrel 5660  Predcpred 6318  t++cttrcl 9732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-ttrcl 9733

This theorem is used by:  frr1  9787