Theorem frrlem16 9711

Description: Lemma for general well-founded recursion. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.) Revised notion of transitive closure. (Revised by Scott Fenton, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
frrlem16	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem frrlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predres 6312	. . . . . 6 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) = Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
2		relres 5976	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
3		ssttrcl 9668	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel (𝑅 ↾ 𝐴) → (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
5		predrelss 6310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Pred((𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
7	1, 6	eqsstri 3993	. . . . 5 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤)
8		inss1 4200	. . . . . . . . 9 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
9		coss1 5819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11		coss2 5820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) → (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴)))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
13	10, 12	sstri 3956	. . . . . . 7 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴))
14		ttrcltr 9669	. . . . . . 7 ⊢ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∘ t++(𝑅 ↾ 𝐴)) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
15	13, 14	sstri 3956	. . . . . 6 ⊢ ((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴)
16		predtrss 6295	. . . . . 6 ⊢ ((((t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ t++(𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
17	15, 16	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
18	7, 17	sstrid 3958	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
19	18	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
20	19	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))
21	20	adantl 481	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(t++(𝑅 ↾ 𝐴), 𝐴, 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   Fr wfr 5588   Se wse 5589   × cxp 5636   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  Rel wrel 5643  Predcpred 6273  t++cttrcl 9660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-ttrcl 9661

This theorem is referenced by:  frr1  9712