Theorem deg1leb 26060

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1leb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem deg1leb

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26045	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22158	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22148	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26026	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
10	2, 3, 6, 7, 8, 9	mdegleb 26029	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
11		df1o2 8412	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
12		nn0ex 12443	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
13		0ex 5242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))
15	11, 12, 13, 14	mapsnf1o2 8842	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
16		f1ofo 6787	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
17		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) ↔ 𝐺 < 𝑥))
18		fveqeq2 6849	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐴‘𝑥) = 0 ))
19	17, 18	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
20	19	cbvfo 7244	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
21	15, 16, 20	mp2b 10	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ))
22		fveq1 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏‘∅) = (𝑦‘∅))
23		fvex 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦‘∅) ∈ V
24	22, 14, 23	fvmpt 6947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = (𝑦‘∅))
25	24	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
27		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
28	27	fvcoe1 22171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
29	28	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
30	26, 29	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
31	30	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
32	31	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
33	32	ralbidva 3158	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
34	21, 33	bitr3id 285	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
35	10, 34	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  –onto→wfo 6496  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1_oc1o 8398   ↑_m cmap 8773  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   mPoly cmpl 21886  Poly₁cpl1 22140  coe₁cco1 22141  deg₁cdg1 26019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-cnfld 21353  df-psr 21889  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-mdeg 26020  df-deg1 26021

This theorem is referenced by:  deg1lt  26062  deg1tmle  26083