Theorem deg1leb 26079

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1leb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem deg1leb

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26064	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22181	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22171	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26045	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
10	2, 3, 6, 7, 8, 9	mdegleb 26048	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
11		df1o2 8403	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
12		nn0ex 12435	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
13		0ex 5230	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
14		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))
15	11, 12, 13, 14	mapsnf1o2 8833	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
16		f1ofo 6775	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
17		breq2 5077	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) ↔ 𝐺 < 𝑥))
18		fveqeq2 6837	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐴‘𝑥) = 0 ))
19	17, 18	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
20	19	cbvfo 7234	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
21	15, 16, 20	mp2b 10	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ))
22		fveq1 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏‘∅) = (𝑦‘∅))
23		fvex 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦‘∅) ∈ V
24	22, 14, 23	fvmpt 6936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = (𝑦‘∅))
25	24	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
26	25	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
27		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
28	27	fvcoe1 22193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
29	28	adantlr 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
30	26, 29	eqtr4d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
31	30	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
32	31	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
33	32	ralbidva 3160	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
34	21, 33	bitr3id 286	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
35	10, 34	bitr4d 283	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∅c0 4262   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  –onto→wfo 6484  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1_oc1o 8389   ↑_m cmap 8764  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172  ℕ₀cn0 12429  Basecbs 17171  0_gc0g 17394   mPoly cmpl 21882  Poly₁cpl1 22163  coe₁cco1 22164  deg₁cdg1 26038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-hash 14285  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-cnfld 21349  df-psr 21885  df-mpl 21887  df-opsr 21889  df-psr1 22166  df-ply1 22168  df-coe1 22169  df-mdeg 26039  df-deg1 26040

This theorem is referenced by:  deg1lt  26081  deg1tmle  26102