Theorem deg1leb 26221

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1leb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem deg1leb

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26206	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	4, 5	ply1bas 22324	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		psr1baslem 22314	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
9		tdeglem2 26187	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
10	2, 3, 6, 7, 8, 9	mdegleb 26190	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
11		df1o2 8460	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
12		nn0ex 12510	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
13		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
14		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))
15	11, 12, 13, 14	mapsnf1o2 8892	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
16		f1ofo 6829	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
17		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) ↔ 𝐺 < 𝑥))
18		fveqeq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐴‘𝑥) = 0 ))
19	17, 18	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
20	19	cbvfo 7288	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
21	15, 16, 20	mp2b 10	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ))
22		fveq1 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏‘∅) = (𝑦‘∅))
23		fvex 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦‘∅) ∈ V
24	22, 14, 23	fvmpt 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = (𝑦‘∅))
25	24	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
26	25	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
27		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
28	27	fvcoe1 22336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
29	28	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
30	26, 29	eqtr4d 2807	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
31	30	eqeq1d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
32	31	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
33	32	ralbidva 3192	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
34	21, 33	bitr3id 288	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
35	10, 34	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1_oc1o 8446   ↑_m cmap 8824  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  0_gc0g 17492   mPoly cmpl 22025  Poly₁cpl1 22306  coe₁cco1 22307  deg₁cdg1 26180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-cnfld 21492  df-psr 22028  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-mdeg 26181  df-deg1 26182

This theorem is referenced by:  deg1lt  26223  deg1tmle  26244