Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hbtlem5 42474
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem3.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
hbtlem3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
hbtlem3.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
hbtlem3.ij (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
hbtlem5.e (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
hbtlem5 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)
Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
2 hbtlem3.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
3 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 hbtlem.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
53, 4lidlss 21097 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
76sselda 3978 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8 eqid 2727 . . . . . 6 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
9 hbtlem.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
108, 9, 3deg1cl 26006 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
117, 10syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
12 elun 4144 . . . . 5 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 ∨ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞}))
13 nnssnn0 12497 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„•0
14 nn0re 12503 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
15 arch 12491 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
17 ssrexv 4047 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„•0 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏))
1813, 16, 17mpsyl 68 . . . . . 6 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
19 elsni 4641 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞} β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞)
20 0nn0 12509 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
21 mnflt0 13129 . . . . . . . . 9 -∞ < 0
22 breq2 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 β†’ (-∞ < 𝑏 ↔ -∞ < 0))
2322rspcev 3607 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„•0 ∧ -∞ < 0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏)
2420, 21, 23mp2an 691 . . . . . . . 8 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏
25 breq1 5145 . . . . . . . . 9 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ -∞ < 𝑏))
2625rexbidv 3173 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏))
2724, 26mpbiri 258 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
2819, 27syl 17 . . . . . 6 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞} β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
2918, 28jaoi 856 . . . . 5 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 ∨ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
3012, 29sylbi 216 . . . 4 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
3111, 30syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
32 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0))
3332imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3433ralbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3534imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑐 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
36 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏))
3736imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3837ralbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3938imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
40 breq2 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1)))
4140imbi1d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
4241ralbidv 3172 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘))
4443breq1d 5152 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1)))
45 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↔ 𝑑 ∈ 𝐼))
4644, 45imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)))
4746cbvralvw 3229 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
4842, 47bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)))
4948imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
50 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
52 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
538, 9, 52, 3deg1lt0 26014 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 ↔ π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ)))
5451, 7, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 ↔ π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ)))
559ply1ring 22153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
57 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
584, 52lidl0cl 21105 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
5956, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
60 eleq1a 2823 . . . . . . . . . . . 12 ((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼 β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6261adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6354, 62sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6463ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6563ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
6665sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
678, 9, 3deg1cl 26006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
69 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
7069nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
71 degltp1le 25996 . . . . . . . . . . . . 13 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
7268, 70, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
73 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯))
74 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘))
75 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7674, 75sseq12d 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ↔ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘)))
7776rspcva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7873, 77sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7950adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
802adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
81 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
82 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
839, 4, 82, 8hbtlem1 42469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8479, 80, 81, 83syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8557adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
869, 4, 82, 8hbtlem1 42469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8779, 85, 81, 86syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8878, 84, 873sstr3d 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
89883adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
91 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
92 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)
93 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))
94 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘))
9594breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
96 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = 𝑑 β†’ (coe1β€˜π‘’) = (coe1β€˜π‘‘))
9796fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))
9897eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 β†’ (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) ↔ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘)))
9995, 98anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))))
10099rspcev 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
10191, 92, 93, 100syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
102 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ V
103 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) ↔ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
104103anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
105104rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
106102, 105elab 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
107101, 106sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
10990, 108sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
110104rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
111102, 110elab 3665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
112 simpll2 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ πœ‘)
113112, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
114 ringgrp 20169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
116112, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
117 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
118116, 117sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1193, 4lidlss 21097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
12057, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
122 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐼)
123121, 122sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
124 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
125 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜π‘ƒ)
1263, 124, 125grpnpcan 18979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) = 𝑑)
127115, 118, 123, 126syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) = 𝑑)
128573ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
130 simpll1 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
131112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
132 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)
133 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏)
134 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1β€˜π‘‘) = (coe1β€˜π‘‘)
135 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1β€˜π‘’) = (coe1β€˜π‘’)
136 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))
1378, 9, 3, 125, 130, 131, 118, 132, 123, 133, 134, 135, 136deg1sublt 26033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏)
138112, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
13913ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
140139ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
141140, 122sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
1424, 125lidlsubcl 21109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽)
143113, 138, 117, 141, 142syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽)
144 simpll3 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
145 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)))
146145breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏))
147 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↔ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
148146, 147imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)))
149148rspcva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
150143, 144, 149syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
151137, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
1524, 124lidlacl 21106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼 ∧ 𝑒 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
153113, 129, 151, 122, 152syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
154127, 153eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)
155154rexlimdvaa 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
156111, 155biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
157109, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)
158157expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
15972, 158sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
160159ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
1611603exp 1117 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
162161a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
16335, 39, 49, 39, 64, 162nn0ind 12679 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
164 rsp 3239 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
165163, 164syl6com 37 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
166165com23 86 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
167166imp 406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
168167rexlimdv 3148 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
16931, 168mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
1701, 169eqelssd 3999 1 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  -∞cmnf 11268   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  Ringcrg 20164  LIdealclidl 21091  Poly1cpl1 22083  coe1cco1 22084   deg1 cdg1 25974  ldgIdlSeqcldgis 42467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rlreg 21219  df-cnfld 21267  df-psr 21829  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-ply1 22088  df-coe1 22089  df-mdeg 25975  df-deg1 25976  df-ldgis 42468
This theorem is referenced by:  hbt  42476
  Copyright terms: Public domain W3C validator