Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hbtlem5 40445
 Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
hbtlem.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
hbtlem3.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
hbtlem3.i (𝜑𝐼𝑈)
hbtlem3.j (𝜑𝐽𝑈)
hbtlem3.ij (𝜑𝐼𝐽)
hbtlem5.e (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hbtlem5 (𝜑𝐼 = 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2 (𝜑𝐼𝐽)
2 hbtlem3.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝑈)
3 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 hbtlem.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
53, 4lidlss 20051 . . . . . . 7 (𝐽𝑈𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
76sselda 3892 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
8 eqid 2758 . . . . . 6 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
9 hbtlem.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
108, 9, 3deg1cl 24783 . . . . 5 (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
117, 10syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐽) → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
12 elun 4054 . . . . 5 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞}))
13 nnssnn0 11937 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℕ0
14 nn0re 11943 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℝ)
15 arch 11931 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
17 ssrexv 3959 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏))
1813, 16, 17mpsyl 68 . . . . . 6 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
19 elsni 4539 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞)
20 0nn0 11949 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
21 mnflt0 12561 . . . . . . . . 9 -∞ < 0
22 breq2 5036 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → (-∞ < 𝑏 ↔ -∞ < 0))
2322rspcev 3541 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℕ0 ∧ -∞ < 0) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏)
2420, 21, 23mp2an 691 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏
25 breq1 5035 . . . . . . . . 9 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ -∞ < 𝑏))
2625rexbidv 3221 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏))
2724, 26mpbiri 261 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
2819, 27syl 17 . . . . . 6 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞} → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
2918, 28jaoi 854 . . . . 5 (((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞}) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
3012, 29sylbi 220 . . . 4 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
3111, 30syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝐽) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
32 breq2 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 0))
3332imbi1d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼)))
3433ralbidv 3126 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼)))
3534imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑐 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))))
36 breq2 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏))
3736imbi1d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
3837ralbidv 3126 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
3938imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
40 breq2 5036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑏 + 1) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1)))
4140imbi1d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼)))
4241ralbidv 3126 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼)))
43 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → (( deg1𝑅)‘𝑎) = (( deg1𝑅)‘𝑑))
4443breq1d 5042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑑 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1)))
45 eleq1 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎𝐼𝑑𝐼))
4644, 45imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑑 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼)))
4746cbvralvw 3361 . . . . . . . . . 10 (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼) ↔ ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
4842, 47bitrdi 290 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼)))
4948imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
50 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5150adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
52 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑃) = (0g𝑃)
538, 9, 52, 3deg1lt0 24791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 ↔ 𝑎 = (0g𝑃)))
5451, 7, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 ↔ 𝑎 = (0g𝑃)))
559ply1ring 20972 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
57 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑈)
584, 52lidl0cl 20053 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
5956, 57, 58syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
60 eleq1a 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝑃) ∈ 𝐼 → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6261adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐽) → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6354, 62sylbid 243 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))
6463ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))
6563ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
6665sselda 3892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑃))
678, 9, 3deg1cl 24783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (Base‘𝑃) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
69 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑏 ∈ ℕ0)
7069nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑏 ∈ ℤ)
71 degltp1le 24773 . . . . . . . . . . . . 13 (((( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
7268, 70, 71syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
73 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥))
74 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑆𝐽)‘𝑥) = ((𝑆𝐽)‘𝑏))
75 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑆𝐼)‘𝑥) = ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7674, 75sseq12d 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → (((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥) ↔ ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏)))
7776rspcva 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥)) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7873, 77sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7950adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
802adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝐽𝑈)
81 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝑏 ∈ ℕ0)
82 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
839, 4, 82, 8hbtlem1 40440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽𝑈𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8479, 80, 81, 83syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8557adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝐼𝑈)
869, 4, 82, 8hbtlem1 40440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐼)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8779, 85, 81, 86syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐼)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8878, 84, 873sstr3d 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
89883adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
9089adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
91 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → 𝑑𝐽)
92 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)
93 eqidd 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))
94 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 → (( deg1𝑅)‘𝑒) = (( deg1𝑅)‘𝑑))
9594breq1d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 → ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
96 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = 𝑑 → (coe1𝑒) = (coe1𝑑))
9796fveq1d 6660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 → ((coe1𝑒)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))
9897eqeq2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 → (((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏) ↔ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏)))
9995, 98anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑑 → (((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))))
10099rspcev 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))) → ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
10191, 92, 93, 100syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
102 fvex 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ V
103 eqeq1 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏) ↔ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
104103anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
105104rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
106102, 105elab 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ↔ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
107101, 106sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
108107adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
10990, 108sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
110104rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
111102, 110elab 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ↔ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
112 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝜑)
113112, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑃 ∈ Ring)
114 ringgrp 19370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑃 ∈ Grp)
116112, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
117 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑𝐽)
118116, 117sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑃))
1193, 4lidlss 20051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
12057, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
122 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒𝐼)
123121, 122sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑃))
124 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+g𝑃) = (+g𝑃)
125 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-g𝑃) = (-g𝑃)
1263, 124, 125grpnpcan 18258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) = 𝑑)
127115, 118, 123, 126syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) = 𝑑)
128573ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐼𝑈)
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼𝑈)
130 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℕ0)
131112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑅 ∈ Ring)
132 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)
133 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏)
134 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1𝑑) = (coe1𝑑)
135 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1𝑒) = (coe1𝑒)
136 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))
1378, 9, 3, 125, 130, 131, 118, 132, 123, 133, 134, 135, 136deg1sublt 24810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏)
138112, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐽𝑈)
13913ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐼𝐽)
140139ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼𝐽)
141140, 122sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒𝐽)
1424, 125lidlsubcl 20057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐽𝑈) ∧ (𝑑𝐽𝑒𝐽)) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽)
143113, 138, 117, 141, 142syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽)
144 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))
145 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (( deg1𝑅)‘𝑎) = (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)))
146145breq1d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏))
147 eleq1 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (𝑎𝐼 ↔ (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
148146, 147imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)))
149148rspcva 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
150143, 144, 149syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
151137, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
1524, 124lidlacl 20054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ((𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼𝑒𝐼)) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
153113, 129, 151, 122, 152syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
154127, 153eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑𝐼)
155154rexlimdvaa 3209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → (∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)) → 𝑑𝐼))
156111, 155syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} → 𝑑𝐼))
157109, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → 𝑑𝐼)
158157expr 460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏𝑑𝐼))
15972, 158sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
160159ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
1611603exp 1116 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
162161a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → (𝜑 → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
16335, 39, 49, 39, 64, 162nn0ind 12116 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
164 rsp 3134 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) → (𝑎𝐽 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
165163, 164syl6com 37 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑎𝐽 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
166165com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎𝐽 → (𝑏 ∈ ℕ0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
167166imp 410 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐽) → (𝑏 ∈ ℕ0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
168167rexlimdv 3207 . . 3 ((𝜑𝑎𝐽) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))
16931, 168mpd 15 . 2 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑎𝐼)
1701, 169eqelssd 3913 1 (𝜑𝐼 = 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∪ cun 3856   ⊆ wss 3858  {csn 4522   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578  -∞cmnf 10711   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  0gc0g 16771  Grpcgrp 18169  -gcsg 18171  Ringcrg 19365  LIdealclidl 20010  Poly1cpl1 20901  coe1cco1 20902   deg1 cdg1 24751  ldgIdlSeqcldgis 40438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-lidl 20014  df-rlreg 20124  df-cnfld 20167  df-psr 20671  df-mpl 20673  df-opsr 20675  df-psr1 20904  df-ply1 20906  df-coe1 20907  df-mdeg 24752  df-deg1 24753  df-ldgis 40439 This theorem is referenced by:  hbt  40447
 Copyright terms: Public domain W3C validator