Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hbtlem5 42172
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem3.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
hbtlem3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
hbtlem3.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
hbtlem3.ij (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
hbtlem5.e (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
hbtlem5 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)
Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
2 hbtlem3.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 hbtlem.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
53, 4lidlss 20978 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
76sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8 eqid 2732 . . . . . 6 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
9 hbtlem.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
108, 9, 3deg1cl 25825 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
117, 10syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
12 elun 4148 . . . . 5 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 ∨ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞}))
13 nnssnn0 12479 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„•0
14 nn0re 12485 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
15 arch 12473 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
17 ssrexv 4051 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„•0 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏))
1813, 16, 17mpsyl 68 . . . . . 6 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
19 elsni 4645 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞} β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞)
20 0nn0 12491 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
21 mnflt0 13109 . . . . . . . . 9 -∞ < 0
22 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 β†’ (-∞ < 𝑏 ↔ -∞ < 0))
2322rspcev 3612 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„•0 ∧ -∞ < 0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏)
2420, 21, 23mp2an 690 . . . . . . . 8 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏
25 breq1 5151 . . . . . . . . 9 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ -∞ < 𝑏))
2625rexbidv 3178 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏))
2724, 26mpbiri 257 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
2819, 27syl 17 . . . . . 6 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞} β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
2918, 28jaoi 855 . . . . 5 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 ∨ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
3012, 29sylbi 216 . . . 4 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
3111, 30syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
32 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0))
3332imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3433ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3534imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑐 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
36 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏))
3736imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3837ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3938imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
40 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1)))
4140imbi1d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
4241ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘))
4443breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1)))
45 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↔ 𝑑 ∈ 𝐼))
4644, 45imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)))
4746cbvralvw 3234 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
4842, 47bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)))
4948imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
50 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
52 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
538, 9, 52, 3deg1lt0 25833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 ↔ π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ)))
5451, 7, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 ↔ π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ)))
559ply1ring 21990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
57 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
584, 52lidl0cl 20984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
60 eleq1a 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼 β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6261adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6354, 62sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6463ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6563ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
6665sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
678, 9, 3deg1cl 25825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
69 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
7069nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
71 degltp1le 25815 . . . . . . . . . . . . 13 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
73 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯))
74 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘))
75 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7674, 75sseq12d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ↔ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘)))
7776rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7873, 77sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7950adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
802adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
81 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
82 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
839, 4, 82, 8hbtlem1 42167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8479, 80, 81, 83syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8557adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
869, 4, 82, 8hbtlem1 42167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8779, 85, 81, 86syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8878, 84, 873sstr3d 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
89883adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
91 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
92 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)
93 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))
94 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘))
9594breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
96 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = 𝑑 β†’ (coe1β€˜π‘’) = (coe1β€˜π‘‘))
9796fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))
9897eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 β†’ (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) ↔ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘)))
9995, 98anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))))
10099rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
10191, 92, 93, 100syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
102 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ V
103 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) ↔ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
104103anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
105104rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
106102, 105elab 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
107101, 106sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
10990, 108sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
110104rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
111102, 110elab 3668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
112 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ πœ‘)
113112, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
114 ringgrp 20132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
116112, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
117 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
118116, 117sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1193, 4lidlss 20978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
12057, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
122 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐼)
123121, 122sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
124 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
125 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜π‘ƒ)
1263, 124, 125grpnpcan 18951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) = 𝑑)
127115, 118, 123, 126syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) = 𝑑)
128573ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
129128ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
130 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
131112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
132 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)
133 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏)
134 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1β€˜π‘‘) = (coe1β€˜π‘‘)
135 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1β€˜π‘’) = (coe1β€˜π‘’)
136 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))
1378, 9, 3, 125, 130, 131, 118, 132, 123, 133, 134, 135, 136deg1sublt 25852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏)
138112, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
13913ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
140139ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
141140, 122sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
1424, 125lidlsubcl 20988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽)
143113, 138, 117, 141, 142syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽)
144 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
145 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)))
146145breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏))
147 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↔ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
148146, 147imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)))
149148rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
150143, 144, 149syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
151137, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
1524, 124lidlacl 20985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼 ∧ 𝑒 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
153113, 129, 151, 122, 152syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
154127, 153eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)
155154rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
156111, 155biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
157109, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)
158157expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
15972, 158sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
160159ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
1611603exp 1119 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
162161a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
16335, 39, 49, 39, 64, 162nn0ind 12661 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
164 rsp 3244 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
165163, 164syl6com 37 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
166165com23 86 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
167166imp 407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
168167rexlimdv 3153 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
16931, 168mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
1701, 169eqelssd 4003 1 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  -∞cmnf 11250   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  Ringcrg 20127  LIdealclidl 20928  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   deg1 cdg1 25793  ldgIdlSeqcldgis 42165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25794  df-deg1 25795  df-ldgis 42166
This theorem is referenced by:  hbt  42174
  Copyright terms: Public domain W3C validator