Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hbtlem5 39589
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
hbtlem.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
hbtlem3.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
hbtlem3.i (𝜑𝐼𝑈)
hbtlem3.j (𝜑𝐽𝑈)
hbtlem3.ij (𝜑𝐼𝐽)
hbtlem5.e (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hbtlem5 (𝜑𝐼 = 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2 (𝜑𝐼𝐽)
2 hbtlem3.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝑈)
3 eqid 2825 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 hbtlem.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
53, 4lidlss 19904 . . . . . . 7 (𝐽𝑈𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
76sselda 3970 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
8 eqid 2825 . . . . . 6 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
9 hbtlem.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
108, 9, 3deg1cl 24592 . . . . 5 (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
117, 10syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐽) → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
12 elun 4128 . . . . 5 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞}))
13 nnssnn0 11892 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℕ0
14 nn0re 11898 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℝ)
15 arch 11886 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
17 ssrexv 4037 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏))
1813, 16, 17mpsyl 68 . . . . . 6 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
19 elsni 4580 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞)
20 0nn0 11904 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
21 mnflt0 12513 . . . . . . . . 9 -∞ < 0
22 breq2 5066 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → (-∞ < 𝑏 ↔ -∞ < 0))
2322rspcev 3626 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℕ0 ∧ -∞ < 0) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏)
2420, 21, 23mp2an 688 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏
25 breq1 5065 . . . . . . . . 9 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ -∞ < 𝑏))
2625rexbidv 3301 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏))
2724, 26mpbiri 259 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
2819, 27syl 17 . . . . . 6 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞} → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
2918, 28jaoi 853 . . . . 5 (((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞}) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
3012, 29sylbi 218 . . . 4 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
3111, 30syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝐽) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
32 breq2 5066 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 0))
3332imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼)))
3433ralbidv 3201 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼)))
3534imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑐 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))))
36 breq2 5066 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏))
3736imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
3837ralbidv 3201 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
3938imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
40 breq2 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑏 + 1) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1)))
4140imbi1d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼)))
4241ralbidv 3201 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼)))
43 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → (( deg1𝑅)‘𝑎) = (( deg1𝑅)‘𝑑))
4443breq1d 5072 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑑 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1)))
45 eleq1 2904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎𝐼𝑑𝐼))
4644, 45imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑑 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼)))
4746cbvralv 3457 . . . . . . . . . 10 (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼) ↔ ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
4842, 47syl6bb 288 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼)))
4948imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
50 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
52 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑃) = (0g𝑃)
538, 9, 52, 3deg1lt0 24600 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 ↔ 𝑎 = (0g𝑃)))
5451, 7, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 ↔ 𝑎 = (0g𝑃)))
559ply1ring 20333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
57 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑈)
584, 52lidl0cl 19906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
60 eleq1a 2912 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝑃) ∈ 𝐼 → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6261adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐽) → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6354, 62sylbid 241 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))
6463ralrimiva 3186 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))
6563ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
6665sselda 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑃))
678, 9, 3deg1cl 24592 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (Base‘𝑃) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
69 simpl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑏 ∈ ℕ0)
7069nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑏 ∈ ℤ)
71 degltp1le 24582 . . . . . . . . . . . . 13 (((( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
73 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥))
74 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑆𝐽)‘𝑥) = ((𝑆𝐽)‘𝑏))
75 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑆𝐼)‘𝑥) = ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7674, 75sseq12d 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → (((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥) ↔ ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏)))
7776rspcva 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥)) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7873, 77sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7950adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
802adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝐽𝑈)
81 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝑏 ∈ ℕ0)
82 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
839, 4, 82, 8hbtlem1 39584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽𝑈𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8479, 80, 81, 83syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8557adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝐼𝑈)
869, 4, 82, 8hbtlem1 39584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐼)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8779, 85, 81, 86syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐼)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8878, 84, 873sstr3d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
89883adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
91 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → 𝑑𝐽)
92 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)
93 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))
94 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 → (( deg1𝑅)‘𝑒) = (( deg1𝑅)‘𝑑))
9594breq1d 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 → ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
96 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = 𝑑 → (coe1𝑒) = (coe1𝑑))
9796fveq1d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 → ((coe1𝑒)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))
9897eqeq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 → (((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏) ↔ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏)))
9995, 98anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑑 → (((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))))
10099rspcev 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))) → ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
10191, 92, 93, 100syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
102 fvex 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ V
103 eqeq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏) ↔ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
104103anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
105104rexbidv 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
106102, 105elab 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ↔ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
107101, 106sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
10990, 108sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
110104rexbidv 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
111102, 110elab 3670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ↔ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
112 simpll2 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝜑)
113112, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑃 ∈ Ring)
114 ringgrp 19224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑃 ∈ Grp)
116112, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
117 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑𝐽)
118116, 117sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑃))
1193, 4lidlss 19904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
12057, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
122 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒𝐼)
123121, 122sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑃))
124 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+g𝑃) = (+g𝑃)
125 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-g𝑃) = (-g𝑃)
1263, 124, 125grpnpcan 18123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) = 𝑑)
127115, 118, 123, 126syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) = 𝑑)
128573ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐼𝑈)
129128ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼𝑈)
130 simpll1 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℕ0)
131112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑅 ∈ Ring)
132 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)
133 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏)
134 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1𝑑) = (coe1𝑑)
135 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1𝑒) = (coe1𝑒)
136 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))
1378, 9, 3, 125, 130, 131, 118, 132, 123, 133, 134, 135, 136deg1sublt 24619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏)
138112, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐽𝑈)
13913ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐼𝐽)
140139ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼𝐽)
141140, 122sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒𝐽)
1424, 125lidlsubcl 19910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐽𝑈) ∧ (𝑑𝐽𝑒𝐽)) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽)
143113, 138, 117, 141, 142syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽)
144 simpll3 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))
145 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (( deg1𝑅)‘𝑎) = (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)))
146145breq1d 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏))
147 eleq1 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (𝑎𝐼 ↔ (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
148146, 147imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)))
149148rspcva 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
150143, 144, 149syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
151137, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
1524, 124lidlacl 19907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ((𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼𝑒𝐼)) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
153113, 129, 151, 122, 152syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
154127, 153eqeltrrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑𝐼)
155154rexlimdvaa 3289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → (∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)) → 𝑑𝐼))
156111, 155syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} → 𝑑𝐼))
157109, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → 𝑑𝐼)
158157expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏𝑑𝐼))
15972, 158sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
160159ralrimiva 3186 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
1611603exp 1113 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
162161a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → (𝜑 → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
16335, 39, 49, 39, 64, 162nn0ind 12069 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
164 rsp 3209 . . . . . . 7 (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) → (𝑎𝐽 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
165163, 164syl6com 37 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑎𝐽 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
166165com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎𝐽 → (𝑏 ∈ ℕ0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
167166imp 407 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐽) → (𝑏 ∈ ℕ0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
168167rexlimdv 3287 . . 3 ((𝜑𝑎𝐽) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))
16931, 168mpd 15 . 2 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑎𝐼)
1701, 169eqelssd 3991 1 (𝜑𝐼 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2803  wral 3142  wrex 3143  cun 3937  wss 3939  {csn 4563   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  -∞cmnf 10665   < clt 10667  cle 10668  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  Grpcgrp 18035  -gcsg 18037  Ringcrg 19219  LIdealclidl 19864  Poly1cpl1 20262  coe1cco1 20263   deg1 cdg1 24563  ldgIdlSeqcldgis 39582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-subrg 19455  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-lidl 19868  df-rlreg 19977  df-psr 20057  df-mpl 20059  df-opsr 20061  df-psr1 20265  df-ply1 20267  df-coe1 20268  df-cnfld 20462  df-mdeg 24564  df-deg1 24565  df-ldgis 39583
This theorem is referenced by:  hbt  39591
  Copyright terms: Public domain W3C validator