Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hbtlem5 42617
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem3.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
hbtlem3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
hbtlem3.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
hbtlem3.ij (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
hbtlem5.e (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
hbtlem5 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)
Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
2 hbtlem3.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
3 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 hbtlem.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
53, 4lidlss 21112 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
76sselda 3977 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8 eqid 2725 . . . . . 6 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
9 hbtlem.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
108, 9, 3deg1cl 26049 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
117, 10syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
12 elun 4146 . . . . 5 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 ∨ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞}))
13 nnssnn0 12505 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„•0
14 nn0re 12511 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
15 arch 12499 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
17 ssrexv 4047 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„•0 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„• (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏))
1813, 16, 17mpsyl 68 . . . . . 6 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
19 elsni 4646 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞} β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞)
20 0nn0 12517 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
21 mnflt0 13137 . . . . . . . . 9 -∞ < 0
22 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 β†’ (-∞ < 𝑏 ↔ -∞ < 0))
2322rspcev 3607 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„•0 ∧ -∞ < 0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏)
2420, 21, 23mp2an 690 . . . . . . . 8 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏
25 breq1 5151 . . . . . . . . 9 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ -∞ < 𝑏))
2625rexbidv 3169 . . . . . . . 8 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 -∞ < 𝑏))
2724, 26mpbiri 257 . . . . . . 7 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = -∞ β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
2819, 27syl 17 . . . . . 6 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞} β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
2918, 28jaoi 855 . . . . 5 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ β„•0 ∨ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ {-∞}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
3012, 29sylbi 216 . . . 4 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
3111, 30syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏)
32 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0))
3332imbi1d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3433ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3534imbi2d 339 . . . . . . . 8 (𝑐 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
36 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏))
3736imbi1d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3837ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
3938imbi2d 339 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
40 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1)))
4140imbi1d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
4241ralbidv 3168 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
43 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘))
4443breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1)))
45 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↔ 𝑑 ∈ 𝐼))
4644, 45imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)))
4746cbvralvw 3225 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
4842, 47bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)))
4948imbi2d 339 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑏 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑐 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
50 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
52 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
538, 9, 52, 3deg1lt0 26057 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 ↔ π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ)))
5451, 7, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 ↔ π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ)))
559ply1ring 22175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
57 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
584, 52lidl0cl 21120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
5956, 57, 58syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
60 eleq1a 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼 β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6261adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (π‘Ž = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6354, 62sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6463ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 0 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
6563ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
6665sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
678, 9, 3deg1cl 26049 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
69 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
7069nn0zd 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
71 degltp1le 26039 . . . . . . . . . . . . 13 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
7268, 70, 71syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
73 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯))
74 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘))
75 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7674, 75sseq12d 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ↔ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘)))
7776rspcva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘₯) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7873, 77sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘))
7950adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
802adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
81 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
82 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
839, 4, 82, 8hbtlem1 42612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8479, 80, 81, 83syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜π½)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8557adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
869, 4, 82, 8hbtlem1 42612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8779, 85, 81, 86syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
8878, 84, 873sstr3d 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
89883adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
9089adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} βŠ† {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
91 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
92 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)
93 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))
94 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘))
9594breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏))
96 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = 𝑑 β†’ (coe1β€˜π‘’) = (coe1β€˜π‘‘))
9796fveq1d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))
9897eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑑 β†’ (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) ↔ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘)))
9995, 98anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))))
10099rspcev 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
10191, 92, 93, 100syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
102 fvex 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ V
103 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘) ↔ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
104103anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
105104rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
106102, 105elab 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
107101, 106sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
108107adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
10990, 108sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))})
110104rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))))
111102, 110elab 3665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))
112 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ πœ‘)
113112, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
114 ringgrp 20182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
116112, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
117 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
118116, 117sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1193, 4lidlss 21112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
12057, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
122 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐼)
123121, 122sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
124 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
125 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜π‘ƒ)
1263, 124, 125grpnpcan 18992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) = 𝑑)
127115, 118, 123, 126syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) = 𝑑)
128573ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
129128ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
130 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
131112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
132 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)
133 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏)
134 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1β€˜π‘‘) = (coe1β€˜π‘‘)
135 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1β€˜π‘’) = (coe1β€˜π‘’)
136 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))
1378, 9, 3, 125, 130, 131, 118, 132, 123, 133, 134, 135, 136deg1sublt 26076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏)
138112, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐽 ∈ π‘ˆ)
13913ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
140139ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐽)
141140, 122sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
1424, 125lidlsubcl 21124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽)
143113, 138, 117, 141, 142syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽)
144 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
145 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)))
146145breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏))
147 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐼 ↔ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
148146, 147imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)))
149148rspcva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐽 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
150143, 144, 149syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)) < 𝑏 β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼))
151137, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ (𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
1524, 124lidlacl 21121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼 ∧ 𝑒 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
153113, 129, 151, 122, 152syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ ((𝑑(-gβ€˜π‘ƒ)𝑒)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑒) ∈ 𝐼)
154127, 153eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)
155154rexlimdvaa 3146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ ((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
156111, 155biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ (((coe1β€˜π‘‘)β€˜π‘) ∈ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘’) ≀ 𝑏 ∧ 𝑐 = ((coe1β€˜π‘’)β€˜π‘))} β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
157109, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼)
158157expr 455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) ≀ 𝑏 β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
15972, 158sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
160159ralrimiva 3136 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))
1611603exp 1116 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
162161a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘‘) < (𝑏 + 1) β†’ 𝑑 ∈ 𝐼))))
16335, 39, 49, 39, 64, 162nn0ind 12687 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
164 rsp 3235 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
165163, 164syl6com 37 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
166165com23 86 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))))
167166imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)))
168167rexlimdv 3143 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘Ž) < 𝑏 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
16931, 168mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
1701, 169eqelssd 3999 1 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆͺ cun 3943   βŠ† wss 3945  {csn 4629   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  -∞cmnf 11276   < clt 11278   ≀ cle 11279  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  -gcsg 18896  Ringcrg 20177  LIdealclidl 21106  Poly1cpl1 22104  coe1cco1 22105   deg1 cdg1 26017  ldgIdlSeqcldgis 42610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rlreg 21234  df-cnfld 21284  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-mdeg 26018  df-deg1 26019  df-ldgis 42611
This theorem is referenced by:  hbt  42619
  Copyright terms: Public domain W3C validator