Theorem npcan 11160

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11159	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  addsubass  11161  npncan  11172  nppcan  11173  nnpcan  11174  subcan2  11176  nnncan  11186  npcand  11266  nn1suc  11925  zlem1lt  12302  zltlem1  12303  peano5uzi  12339  nummac  12411  uzp1  12548  peano2uzr  12572  qbtwnre  12862  fz01en  13213  fzsuc2  13243  fseq1m1p1  13260  predfz  13310  fzoss2  13343  fzoaddel2  13371  fzosplitsnm1  13390  fldiv  13508  modfzo0difsn  13591  seqm1  13668  monoord2  13682  sermono  13683  seqf1olem1  13690  seqf1olem2  13691  seqz  13699  expm1t  13739  expubnd  13823  bcm1k  13957  bcn2  13961  hashfzo  14072  hashbclem  14092  hashf1  14099  seqcoll  14106  swrdfv2  14302  swrdspsleq  14306  swrdlsw  14308  addlenrevpfx  14331  ccatpfx  14342  cshwlen  14440  cshwidxmodr  14445  cshwidxm  14449  swrd2lsw  14593  shftlem  14707  shftfval  14709  seqshft  14724  iserex  15296  serf0  15320  iseralt  15324  sumrblem  15351  fsumm1  15391  mptfzshft  15418  binomlem  15469  binom1dif  15473  isumsplit  15480  climcndslem1  15489  binomrisefac  15680  bpolycl  15690  bpolysum  15691  bpolydiflem  15692  bpoly2  15695  bpoly3  15696  fsumcube  15698  ruclem12  15878  dvdssub2  15938  4sqlem19  16592  vdwapun  16603  vdwapid1  16604  vdwlem5  16614  vdwlem8  16617  vdwnnlem2  16625  ramub1lem2  16656  1259lem4  16763  1259prm  16765  2503prm  16769  4001prm  16774  gsumsgrpccat  18393  gsumccatOLD  18394  sylow1lem1  19118  efgsres  19259  efgredleme  19264  gsummptshft  19452  ablsimpgfindlem1  19625  icccvx  24019  reparphti  24066  ovolunlem1  24566  advlog  25714  cxpaddlelem  25809  ang180lem1  25864  ang180lem3  25866  asinlem2  25924  tanatan  25974  ppiub  26257  perfect1  26281  lgsquad2lem1  26437  rplogsumlem1  26537  selberg2lem  26603  logdivbnd  26609  pntrsumo1  26618  pntrsumbnd2  26620  ax5seglem3  27202  ax5seglem5  27204  axbtwnid  27210  axlowdimlem16  27228  axeuclidlem  27233  axcontlem2  27236  crctcshwlkn0lem6  28081  clwwlknonex2lem2  28373  clwwlknonex2  28374  eucrctshift  28508  cvmliftlem7  33153  nndivsub  34573  ltflcei  35692  itg2addnclem3  35757  mettrifi  35842  irrapxlem1  40560  rmspecsqrtnq  40644  jm2.24nn  40697  jm2.18  40726  jm2.23  40734  jm2.27c  40745  monoord2xrv  42914  itgsinexp  43386  2elfz2melfz  44698  sbgoldbwt  45117  sgoldbeven3prm  45123  evengpop3  45138  evengpoap3  45139  zlmodzxzsub  45584  ackval42  45930