Theorem npcan 11410

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11400	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11357	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11409	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7357  ℂcc 11049   + caddc 11054   − cmin 11385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-sub 11387

This theorem is referenced by:  addsubass  11411  npncan  11422  nppcan  11423  nnpcan  11424  subcan2  11426  nnncan  11436  npcand  11516  nn1suc  12175  zlem1lt  12555  zltlem1  12556  peano5uzi  12592  nummac  12663  uzp1  12804  peano2uzr  12828  qbtwnre  13118  fz01en  13469  fzsuc2  13499  fseq1m1p1  13516  predfz  13566  fzoss2  13600  fzoaddel2  13628  fzosplitsnm1  13647  fldiv  13765  modfzo0difsn  13848  seqm1  13925  monoord2  13939  sermono  13940  seqf1olem1  13947  seqf1olem2  13948  seqz  13956  expm1t  13996  expubnd  14082  bcm1k  14215  bcn2  14219  hashfzo  14329  hashbclem  14349  hashf1  14356  seqcoll  14363  swrdfv2  14549  swrdspsleq  14553  swrdlsw  14555  addlenrevpfx  14578  ccatpfx  14589  cshwlen  14687  cshwidxmodr  14692  cshwidxm  14696  swrd2lsw  14841  shftlem  14953  shftfval  14955  seqshft  14970  iserex  15541  serf0  15565  iseralt  15569  sumrblem  15596  fsumm1  15636  mptfzshft  15663  binomlem  15714  binom1dif  15718  isumsplit  15725  climcndslem1  15734  binomrisefac  15925  bpolycl  15935  bpolysum  15936  bpolydiflem  15937  bpoly2  15940  bpoly3  15941  fsumcube  15943  ruclem12  16123  dvdssub2  16183  4sqlem19  16835  vdwapun  16846  vdwapid1  16847  vdwlem5  16857  vdwlem8  16860  vdwnnlem2  16868  ramub1lem2  16899  1259lem4  17006  1259prm  17008  2503prm  17012  4001prm  17017  gsumsgrpccat  18650  sylow1lem1  19380  efgsres  19520  efgredleme  19525  gsummptshft  19713  ablsimpgfindlem1  19886  icccvx  24313  reparphti  24360  ovolunlem1  24861  advlog  26009  cxpaddlelem  26104  ang180lem1  26159  ang180lem3  26161  asinlem2  26219  tanatan  26269  ppiub  26552  perfect1  26576  lgsquad2lem1  26732  rplogsumlem1  26832  selberg2lem  26898  logdivbnd  26904  pntrsumo1  26913  pntrsumbnd2  26915  ax5seglem3  27880  ax5seglem5  27882  axbtwnid  27888  axlowdimlem16  27906  axeuclidlem  27911  axcontlem2  27914  crctcshwlkn0lem6  28760  clwwlknonex2lem2  29052  clwwlknonex2  29053  eucrctshift  29187  cvmliftlem7  33885  nndivsub  34929  ltflcei  36066  itg2addnclem3  36131  mettrifi  36216  irrapxlem1  41131  rmspecsqrtnq  41215  jm2.24nn  41269  jm2.18  41298  jm2.23  41306  jm2.27c  41317  monoord2xrv  43709  itgsinexp  44186  2elfz2melfz  45540  sbgoldbwt  45959  sgoldbeven3prm  45965  evengpop3  45980  evengpoap3  45981  zlmodzxzsub  46426  ackval42  46772