Theorem npcan 11389

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11335	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11388	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  addsubass  11390  npncan  11402  nppcan  11403  nnpcan  11404  subcan2  11406  nnncan  11416  npcand  11496  nn1suc  12167  zlem1lt  12543  zltlem1  12544  peano5uzi  12581  nummac  12652  uzp1  12788  peano2uzr  12816  qbtwnre  13114  fz01en  13468  fzsuc2  13498  fseq1m1p1  13515  predfz  13569  fzoss2  13603  fzoaddel2  13636  fzosplitsnm1  13656  fldiv  13780  modfzo0difsn  13866  seqm1  13942  monoord2  13956  sermono  13957  seqf1olem1  13964  seqf1olem2  13965  seqz  13973  expm1t  14013  expubnd  14101  bcm1k  14238  bcn2  14242  hashfzo  14352  hashbclem  14375  hashf1  14380  seqcoll  14387  swrdfv2  14585  swrdspsleq  14589  swrdlsw  14591  ccatpfx  14624  cshwlen  14722  cshwidxmodr  14727  cshwidxm  14731  swrd2lsw  14875  shftlem  14991  shftfval  14993  seqshft  15008  iserex  15580  serf0  15604  iseralt  15608  sumrblem  15634  fsumm1  15674  mptfzshft  15701  binomlem  15752  binom1dif  15756  isumsplit  15763  climcndslem1  15772  binomrisefac  15965  bpolycl  15975  bpolysum  15976  bpolydiflem  15977  bpoly2  15980  bpoly3  15981  fsumcube  15983  ruclem12  16166  dvdssub2  16228  4sqlem19  16891  vdwapun  16902  vdwapid1  16903  vdwlem5  16913  vdwlem8  16916  vdwnnlem2  16924  ramub1lem2  16955  1259lem4  17061  1259prm  17063  2503prm  17067  4001prm  17072  gsumsgrpccat  18765  sylow1lem1  19527  efgsres  19667  efgredleme  19672  gsummptshft  19865  ablsimpgfindlem1  20038  icccvx  24904  reparphti  24952  reparphtiOLD  24953  ovolunlem1  25454  advlog  26619  cxpaddlelem  26717  ang180lem1  26775  ang180lem3  26777  asinlem2  26835  tanatan  26885  ppiub  27171  perfect1  27195  lgsquad2lem1  27351  rplogsumlem1  27451  selberg2lem  27517  logdivbnd  27523  pntrsumo1  27532  pntrsumbnd2  27534  ax5seglem3  29004  ax5seglem5  29006  axbtwnid  29012  axlowdimlem16  29030  axeuclidlem  29035  axcontlem2  29038  crctcshwlkn0lem6  29888  clwwlknonex2lem2  30183  clwwlknonex2  30184  eucrctshift  30318  cvmliftlem7  35485  nndivsub  36651  ltflcei  37805  itg2addnclem3  37870  mettrifi  37954  irrapxlem1  43060  rmspecsqrtnq  43144  jm2.24nn  43197  jm2.18  43226  jm2.23  43234  jm2.27c  43245  monoord2xrv  45723  itgsinexp  46195  2elfz2melfz  47560  sbgoldbwt  48019  sgoldbeven3prm  48025  evengpop3  48040  evengpoap3  48041  gpg5nbgrvtx13starlem2  48314  zlmodzxzsub  48602  ackval42  48938