Theorem npcan 11569

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11559	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11568	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  addsubass  11570  npncan  11582  nppcan  11583  nnpcan  11584  subcan2  11586  nnncan  11596  npcand  11676  nn1suc  12360  zlem1lt  12751  zltlem1  12752  peano5uzi  12791  nummac  12867  uzp1  13005  peano2uzr  13033  qbtwnre  13332  fz01en  13689  fzsuc2  13719  fseq1m1p1  13736  predfz  13790  fzoss2  13825  fzoaddel2  13858  fzosplitsnm1  13878  fldiv  14003  modfzo0difsn  14089  seqm1  14165  monoord2  14179  sermono  14180  seqf1olem1  14187  seqf1olem2  14188  seqz  14196  expm1t  14236  expubnd  14324  bcm1k  14462  bcn2  14466  hashfzo  14577  hashbclem  14600  hashf1  14605  seqcoll  14612  swrdfv2  14815  swrdspsleq  14819  swrdlsw  14821  ccatpfx  14854  cshwlen  14954  cshwidxmodr  14959  cshwidxm  14963  swrd2lsw  15110  shftlem  15226  shftfval  15228  seqshft  15243  iserex  15829  serf0  15853  iseralt  15857  sumrblem  15882  fsumm1  15922  mptfzshft  15949  binomlem  16003  binom1dif  16007  isumsplit  16014  climcndslem1  16023  binomrisefac  16213  bpolycl  16223  bpolysum  16224  bpolydiflem  16225  bpoly2  16228  bpoly3  16229  fsumcube  16231  ruclem12  16414  dvdssub2  16476  4sqlem19  17146  vdwapun  17157  vdwapid1  17158  vdwlem5  17168  vdwlem8  17171  vdwnnlem2  17179  ramub1lem2  17210  1259lem4  17317  1259prm  17319  2503prm  17323  4001prm  17328  gsumsgrpccat  19041  sylow1lem1  19817  efgsres  19957  efgredleme  19962  gsummptshft  20155  ablsimpgfindlem1  20328  icccvx  25276  reparphti  25323  ovolunlem1  25823  advlog  26987  cxpaddlelem  27084  ang180lem1  27142  ang180lem3  27144  asinlem2  27202  tanatan  27252  ppiub  27536  perfect1  27560  lgsquad2lem1  27716  rplogsumlem1  27816  selberg2lem  27882  logdivbnd  27888  pntrsumo1  27897  pntrsumbnd2  27899  ax5seglem3  29514  ax5seglem5  29516  axbtwnid  29522  axlowdimlem16  29540  axeuclidlem  29545  axcontlem2  29548  crctcshwlkn0lem6  30409  clwwlknonex2lem2  30704  clwwlknonex2  30705  eucrctshift  30849  cvmliftlem7  36142  nndivsub  37337  ltflcei  38624  itg2addnclem3  38684  mettrifi  38784  irrapxlem1  43922  rmspecsqrtnq  44006  jm2.24nn  44059  jm2.18  44088  jm2.23  44096  jm2.27c  44107  monoord2xrv  46586  itgsinexp  47058  goldpolyfactor  48020  2elfz2melfz  48481  sbgoldbwt  48968  sgoldbeven3prm  48974  evengpop3  48989  evengpoap3  48990  gpg5nbgrvtx13starlem2  49263  zlmodzxzsub  49565  ackval42  49901