Theorem npcan 11454

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11400	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11453	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   + caddc 11091   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  addsubass  11455  npncan  11467  nppcan  11468  nnpcan  11469  subcan2  11471  nnncan  11481  npcand  11561  nn1suc  12246  zlem1lt  12637  zltlem1  12638  peano5uzi  12676  nummac  12752  uzp1  12890  peano2uzr  12918  qbtwnre  13216  fz01en  13571  fzsuc2  13601  fseq1m1p1  13618  predfz  13672  fzoss2  13707  fzoaddel2  13740  fzosplitsnm1  13760  fldiv  13884  modfzo0difsn  13970  seqm1  14046  monoord2  14060  sermono  14061  seqf1olem1  14068  seqf1olem2  14069  seqz  14077  expm1t  14117  expubnd  14205  bcm1k  14342  bcn2  14346  hashfzo  14456  hashbclem  14479  hashf1  14484  seqcoll  14491  swrdfv2  14689  swrdspsleq  14693  swrdlsw  14695  ccatpfx  14728  cshwlen  14826  cshwidxmodr  14831  cshwidxm  14835  swrd2lsw  14979  shftlem  15095  shftfval  15097  seqshft  15112  iserex  15698  serf0  15722  iseralt  15726  sumrblem  15752  fsumm1  15792  mptfzshft  15819  binomlem  15873  binom1dif  15877  isumsplit  15884  climcndslem1  15893  binomrisefac  16086  bpolycl  16096  bpolysum  16097  bpolydiflem  16098  bpoly2  16101  bpoly3  16102  fsumcube  16104  ruclem12  16287  dvdssub2  16349  4sqlem19  17013  vdwapun  17024  vdwapid1  17025  vdwlem5  17035  vdwlem8  17038  vdwnnlem2  17046  ramub1lem2  17077  1259lem4  17184  1259prm  17186  2503prm  17190  4001prm  17195  gsumsgrpccat  18889  sylow1lem1  19659  efgsres  19799  efgredleme  19804  gsummptshft  19997  ablsimpgfindlem1  20170  icccvx  25070  reparphti  25117  ovolunlem1  25617  advlog  26777  cxpaddlelem  26874  ang180lem1  26932  ang180lem3  26934  asinlem2  26992  tanatan  27042  ppiub  27326  perfect1  27350  lgsquad2lem1  27506  rplogsumlem1  27606  selberg2lem  27672  logdivbnd  27678  pntrsumo1  27687  pntrsumbnd2  27689  ax5seglem3  29190  ax5seglem5  29192  axbtwnid  29198  axlowdimlem16  29216  axeuclidlem  29221  axcontlem2  29224  crctcshwlkn0lem6  30073  clwwlknonex2lem2  30368  clwwlknonex2  30369  eucrctshift  30503  cvmliftlem7  35654  nndivsub  36830  ltflcei  38119  itg2addnclem3  38184  mettrifi  38268  irrapxlem1  43411  rmspecsqrtnq  43495  jm2.24nn  43548  jm2.18  43577  jm2.23  43585  jm2.27c  43596  monoord2xrv  46055  itgsinexp  46527  2elfz2melfz  47910  sbgoldbwt  48397  sgoldbeven3prm  48403  evengpop3  48418  evengpoap3  48419  gpg5nbgrvtx13starlem2  48692  zlmodzxzsub  48991  ackval42  49327