MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcan 11417
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 11407 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2 simpr 486 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31, 2addcomd 11364 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
4 pncan3 11416 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
54ancoms 460 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
63, 5eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7362  cc 11056   + caddc 11061  cmin 11392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394
This theorem is referenced by:  addsubass  11418  npncan  11429  nppcan  11430  nnpcan  11431  subcan2  11433  nnncan  11443  npcand  11523  nn1suc  12182  zlem1lt  12562  zltlem1  12563  peano5uzi  12599  nummac  12670  uzp1  12811  peano2uzr  12835  qbtwnre  13125  fz01en  13476  fzsuc2  13506  fseq1m1p1  13523  predfz  13573  fzoss2  13607  fzoaddel2  13635  fzosplitsnm1  13654  fldiv  13772  modfzo0difsn  13855  seqm1  13932  monoord2  13946  sermono  13947  seqf1olem1  13954  seqf1olem2  13955  seqz  13963  expm1t  14003  expubnd  14089  bcm1k  14222  bcn2  14226  hashfzo  14336  hashbclem  14356  hashf1  14363  seqcoll  14370  swrdfv2  14556  swrdspsleq  14560  swrdlsw  14562  addlenrevpfx  14585  ccatpfx  14596  cshwlen  14694  cshwidxmodr  14699  cshwidxm  14703  swrd2lsw  14848  shftlem  14960  shftfval  14962  seqshft  14977  iserex  15548  serf0  15572  iseralt  15576  sumrblem  15603  fsumm1  15643  mptfzshft  15670  binomlem  15721  binom1dif  15725  isumsplit  15732  climcndslem1  15741  binomrisefac  15932  bpolycl  15942  bpolysum  15943  bpolydiflem  15944  bpoly2  15947  bpoly3  15948  fsumcube  15950  ruclem12  16130  dvdssub2  16190  4sqlem19  16842  vdwapun  16853  vdwapid1  16854  vdwlem5  16864  vdwlem8  16867  vdwnnlem2  16875  ramub1lem2  16906  1259lem4  17013  1259prm  17015  2503prm  17019  4001prm  17024  gsumsgrpccat  18657  sylow1lem1  19387  efgsres  19527  efgredleme  19532  gsummptshft  19720  ablsimpgfindlem1  19893  icccvx  24329  reparphti  24376  ovolunlem1  24877  advlog  26025  cxpaddlelem  26120  ang180lem1  26175  ang180lem3  26177  asinlem2  26235  tanatan  26285  ppiub  26568  perfect1  26592  lgsquad2lem1  26748  rplogsumlem1  26848  selberg2lem  26914  logdivbnd  26920  pntrsumo1  26929  pntrsumbnd2  26931  ax5seglem3  27922  ax5seglem5  27924  axbtwnid  27930  axlowdimlem16  27948  axeuclidlem  27953  axcontlem2  27956  crctcshwlkn0lem6  28802  clwwlknonex2lem2  29094  clwwlknonex2  29095  eucrctshift  29229  cvmliftlem7  33925  nndivsub  34958  ltflcei  36095  itg2addnclem3  36160  mettrifi  36245  irrapxlem1  41174  rmspecsqrtnq  41258  jm2.24nn  41312  jm2.18  41341  jm2.23  41349  jm2.27c  41360  monoord2xrv  43793  itgsinexp  44270  2elfz2melfz  45624  sbgoldbwt  46043  sgoldbeven3prm  46049  evengpop3  46064  evengpoap3  46065  zlmodzxzsub  46510  ackval42  46856
  Copyright terms: Public domain W3C validator