Theorem npcan 11400

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11390	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11346	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11399	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   + caddc 11039   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  addsubass  11401  npncan  11413  nppcan  11414  nnpcan  11415  subcan2  11417  nnncan  11427  npcand  11507  nn1suc  12194  zlem1lt  12577  zltlem1  12578  peano5uzi  12616  nummac  12687  uzp1  12823  peano2uzr  12851  qbtwnre  13149  fz01en  13504  fzsuc2  13534  fseq1m1p1  13551  predfz  13605  fzoss2  13640  fzoaddel2  13673  fzosplitsnm1  13693  fldiv  13817  modfzo0difsn  13903  seqm1  13979  monoord2  13993  sermono  13994  seqf1olem1  14001  seqf1olem2  14002  seqz  14010  expm1t  14050  expubnd  14138  bcm1k  14275  bcn2  14279  hashfzo  14389  hashbclem  14412  hashf1  14417  seqcoll  14424  swrdfv2  14622  swrdspsleq  14626  swrdlsw  14628  ccatpfx  14661  cshwlen  14759  cshwidxmodr  14764  cshwidxm  14768  swrd2lsw  14912  shftlem  15028  shftfval  15030  seqshft  15045  iserex  15617  serf0  15641  iseralt  15645  sumrblem  15671  fsumm1  15711  mptfzshft  15738  binomlem  15792  binom1dif  15796  isumsplit  15803  climcndslem1  15812  binomrisefac  16005  bpolycl  16015  bpolysum  16016  bpolydiflem  16017  bpoly2  16020  bpoly3  16021  fsumcube  16023  ruclem12  16206  dvdssub2  16268  4sqlem19  16932  vdwapun  16943  vdwapid1  16944  vdwlem5  16954  vdwlem8  16957  vdwnnlem2  16965  ramub1lem2  16996  1259lem4  17102  1259prm  17104  2503prm  17108  4001prm  17113  gsumsgrpccat  18806  sylow1lem1  19571  efgsres  19711  efgredleme  19716  gsummptshft  19909  ablsimpgfindlem1  20082  icccvx  24942  reparphti  24989  ovolunlem1  25489  advlog  26643  cxpaddlelem  26740  ang180lem1  26798  ang180lem3  26800  asinlem2  26858  tanatan  26908  ppiub  27192  perfect1  27216  lgsquad2lem1  27372  rplogsumlem1  27472  selberg2lem  27538  logdivbnd  27544  pntrsumo1  27553  pntrsumbnd2  27555  ax5seglem3  29025  ax5seglem5  29027  axbtwnid  29033  axlowdimlem16  29051  axeuclidlem  29056  axcontlem2  29059  crctcshwlkn0lem6  29908  clwwlknonex2lem2  30203  clwwlknonex2  30204  eucrctshift  30338  cvmliftlem7  35526  nndivsub  36692  ltflcei  37982  itg2addnclem3  38047  mettrifi  38131  irrapxlem1  43274  rmspecsqrtnq  43358  jm2.24nn  43411  jm2.18  43440  jm2.23  43448  jm2.27c  43459  monoord2xrv  45933  itgsinexp  46405  2elfz2melfz  47788  sbgoldbwt  48275  sgoldbeven3prm  48281  evengpop3  48296  evengpoap3  48297  gpg5nbgrvtx13starlem2  48570  zlmodzxzsub  48858  ackval42  49194