Theorem npcan 11517

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11507	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11516	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  addsubass  11518  npncan  11530  nppcan  11531  nnpcan  11532  subcan2  11534  nnncan  11544  npcand  11624  nn1suc  12288  zlem1lt  12669  zltlem1  12670  peano5uzi  12707  nummac  12778  uzp1  12919  peano2uzr  12945  qbtwnre  13241  fz01en  13592  fzsuc2  13622  fseq1m1p1  13639  predfz  13693  fzoss2  13727  fzoaddel2  13759  fzosplitsnm1  13779  fldiv  13900  modfzo0difsn  13984  seqm1  14060  monoord2  14074  sermono  14075  seqf1olem1  14082  seqf1olem2  14083  seqz  14091  expm1t  14131  expubnd  14217  bcm1k  14354  bcn2  14358  hashfzo  14468  hashbclem  14491  hashf1  14496  seqcoll  14503  swrdfv2  14699  swrdspsleq  14703  swrdlsw  14705  addlenrevpfx  14728  ccatpfx  14739  cshwlen  14837  cshwidxmodr  14842  cshwidxm  14846  swrd2lsw  14991  shftlem  15107  shftfval  15109  seqshft  15124  iserex  15693  serf0  15717  iseralt  15721  sumrblem  15747  fsumm1  15787  mptfzshft  15814  binomlem  15865  binom1dif  15869  isumsplit  15876  climcndslem1  15885  binomrisefac  16078  bpolycl  16088  bpolysum  16089  bpolydiflem  16090  bpoly2  16093  bpoly3  16094  fsumcube  16096  ruclem12  16277  dvdssub2  16338  4sqlem19  17001  vdwapun  17012  vdwapid1  17013  vdwlem5  17023  vdwlem8  17026  vdwnnlem2  17034  ramub1lem2  17065  1259lem4  17171  1259prm  17173  2503prm  17177  4001prm  17182  gsumsgrpccat  18853  sylow1lem1  19616  efgsres  19756  efgredleme  19761  gsummptshft  19954  ablsimpgfindlem1  20127  icccvx  24981  reparphti  25029  reparphtiOLD  25030  ovolunlem1  25532  advlog  26696  cxpaddlelem  26794  ang180lem1  26852  ang180lem3  26854  asinlem2  26912  tanatan  26962  ppiub  27248  perfect1  27272  lgsquad2lem1  27428  rplogsumlem1  27528  selberg2lem  27594  logdivbnd  27600  pntrsumo1  27609  pntrsumbnd2  27611  ax5seglem3  28946  ax5seglem5  28948  axbtwnid  28954  axlowdimlem16  28972  axeuclidlem  28977  axcontlem2  28980  crctcshwlkn0lem6  29835  clwwlknonex2lem2  30127  clwwlknonex2  30128  eucrctshift  30262  cvmliftlem7  35296  nndivsub  36458  ltflcei  37615  itg2addnclem3  37680  mettrifi  37764  irrapxlem1  42833  rmspecsqrtnq  42917  jm2.24nn  42971  jm2.18  43000  jm2.23  43008  jm2.27c  43019  monoord2xrv  45494  itgsinexp  45970  2elfz2melfz  47330  sbgoldbwt  47764  sgoldbeven3prm  47770  evengpop3  47785  evengpoap3  47786  gpg5nbgrvtx13starlem2  48028  zlmodzxzsub  48276  ackval42  48617