Theorem npcan 11469

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11468	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  addsubass  11470  npncan  11481  nppcan  11482  nnpcan  11483  subcan2  11485  nnncan  11495  npcand  11575  nn1suc  12234  zlem1lt  12614  zltlem1  12615  peano5uzi  12651  nummac  12722  uzp1  12863  peano2uzr  12887  qbtwnre  13178  fz01en  13529  fzsuc2  13559  fseq1m1p1  13576  predfz  13626  fzoss2  13660  fzoaddel2  13688  fzosplitsnm1  13707  fldiv  13825  modfzo0difsn  13908  seqm1  13985  monoord2  13999  sermono  14000  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  seqz  14016  expm1t  14056  expubnd  14142  bcm1k  14275  bcn2  14279  hashfzo  14389  hashbclem  14411  hashf1  14418  seqcoll  14425  swrdfv2  14611  swrdspsleq  14615  swrdlsw  14617  addlenrevpfx  14640  ccatpfx  14651  cshwlen  14749  cshwidxmodr  14754  cshwidxm  14758  swrd2lsw  14903  shftlem  15015  shftfval  15017  seqshft  15032  iserex  15603  serf0  15627  iseralt  15631  sumrblem  15657  fsumm1  15697  mptfzshft  15724  binomlem  15775  binom1dif  15779  isumsplit  15786  climcndslem1  15795  binomrisefac  15986  bpolycl  15996  bpolysum  15997  bpolydiflem  15998  bpoly2  16001  bpoly3  16002  fsumcube  16004  ruclem12  16184  dvdssub2  16244  4sqlem19  16896  vdwapun  16907  vdwapid1  16908  vdwlem5  16918  vdwlem8  16921  vdwnnlem2  16929  ramub1lem2  16960  1259lem4  17067  1259prm  17069  2503prm  17073  4001prm  17078  gsumsgrpccat  18721  sylow1lem1  19466  efgsres  19606  efgredleme  19611  gsummptshft  19804  ablsimpgfindlem1  19977  icccvx  24466  reparphti  24513  ovolunlem1  25014  advlog  26162  cxpaddlelem  26259  ang180lem1  26314  ang180lem3  26316  asinlem2  26374  tanatan  26424  ppiub  26707  perfect1  26731  lgsquad2lem1  26887  rplogsumlem1  26987  selberg2lem  27053  logdivbnd  27059  pntrsumo1  27068  pntrsumbnd2  27070  ax5seglem3  28189  ax5seglem5  28191  axbtwnid  28197  axlowdimlem16  28215  axeuclidlem  28220  axcontlem2  28223  crctcshwlkn0lem6  29069  clwwlknonex2lem2  29361  clwwlknonex2  29362  eucrctshift  29496  cvmliftlem7  34282  gg-reparphti  35172  nndivsub  35342  ltflcei  36476  itg2addnclem3  36541  mettrifi  36625  irrapxlem1  41560  rmspecsqrtnq  41644  jm2.24nn  41698  jm2.18  41727  jm2.23  41735  jm2.27c  41746  monoord2xrv  44194  itgsinexp  44671  2elfz2melfz  46026  sbgoldbwt  46445  sgoldbeven3prm  46451  evengpop3  46466  evengpoap3  46467  zlmodzxzsub  47036  ackval42  47382