MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcan 10548
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 10538 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2 simpr 477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31, 2addcomd 10496 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
4 pncan3 10547 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
54ancoms 450 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
63, 5eqtrd 2799 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6846  cc 10191   + caddc 10196  cmin 10524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-ltxr 10337  df-sub 10526
This theorem is referenced by:  addsubass  10549  npncan  10560  nppcan  10561  nnpcan  10562  subcan2  10564  nnncan  10574  npcand  10654  nn1suc  11301  zlem1lt  11681  zltlem1  11682  peano5uzi  11718  nummac  11791  uzp1  11926  peano2uzr  11948  qbtwnre  12237  fz01en  12581  fzsuc2  12610  fseq1m1p1  12627  predfz  12677  fzoss2  12709  fzoaddel2  12737  fzosplitsnm1  12756  fldiv  12872  modfzo0difsn  12955  seqm1  13030  monoord2  13044  sermono  13045  seqf1olem1  13052  seqf1olem2  13053  seqz  13061  expm1t  13100  expubnd  13133  bcm1k  13311  bcn2  13315  hashfzo  13422  hashbclem  13442  hashf1  13447  seqcoll  13454  addlenrevswrdOLD  13648  swrdfv2  13657  swrdspsleq  13661  swrdlsw  13664  addlenrevpfx  13691  cshwlen  13842  cshwidxmod  13846  cshwidxmodr  13847  cshwidxm  13851  swrd2lsw  13995  shftlem  14107  shftfval  14109  seqshft  14124  iserex  14686  serf0  14710  iseralt  14714  sumrblem  14741  fsumm1  14779  mptfzshft  14808  binomlem  14859  binom1dif  14863  isumsplit  14870  climcndslem1  14879  binomrisefac  15069  bpolycl  15079  bpolysum  15080  bpolydiflem  15081  bpoly2  15084  bpoly3  15085  fsumcube  15087  ruclem12  15266  dvdssub2  15322  4sqlem19  15960  vdwapun  15971  vdwapid1  15972  vdwlem5  15982  vdwlem8  15985  vdwnnlem2  15993  ramub1lem2  16024  1259lem4  16128  1259prm  16130  2503prm  16134  4001prm  16139  gsumccat  17658  sylow1lem1  18291  efgsres  18429  efgsresOLD  18430  efgredleme  18435  gsummptshft  18616  icccvx  23042  reparphti  23089  ovolunlem1  23569  advlog  24705  cxpaddlelem  24797  ang180lem1  24844  ang180lem3  24846  asinlem2  24901  tanatan  24951  ppiub  25234  perfect1  25258  lgsquad2lem1  25414  rplogsumlem1  25478  selberg2lem  25544  logdivbnd  25550  pntrsumo1  25559  pntrsumbnd2  25561  ax5seglem3  26116  ax5seglem5  26118  axbtwnid  26124  axlowdimlem16  26142  axeuclidlem  26147  axcontlem2  26150  crctcshwlkn0lem6  27018  clwwlknonex2lem2  27400  clwwlknonex2  27401  eucrctshift  27540  cvmliftlem7  31742  nndivsub  32916  ltflcei  33842  itg2addnclem3  33907  mettrifi  33996  irrapxlem1  38088  rmspecsqrtnq  38172  jm2.24nn  38227  jm2.18  38256  jm2.23  38264  jm2.27c  38275  monoord2xrv  40375  itgsinexp  40832  2elfz2melfz  42086  sbgoldbwt  42365  sgoldbeven3prm  42371  evengpop3  42386  evengpoap3  42387  zlmodzxzsub  42831
  Copyright terms: Public domain W3C validator