Theorem npcan 11593

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11539	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11592	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   + caddc 11230   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-sub 11570

This theorem is used by:  addsubass  11594  npncan  11606  nppcan  11607  nnpcan  11608  subcan2  11610  nnncan  11620  npcand  11700  nn1suc  12384  zlem1lt  12775  zltlem1  12776  peano5uzi  12815  nummac  12891  uzp1  13029  peano2uzr  13057  qbtwnre  13356  fz01en  13713  fzsuc2  13743  fseq1m1p1  13760  predfz  13814  fzoss2  13849  fzoaddel2  13882  fzosplitsnm1  13902  fldiv  14027  modfzo0difsn  14113  seqm1  14189  monoord2  14203  sermono  14204  seqf1olem1  14211  seqf1olem2  14212  seqz  14220  expm1t  14260  expubnd  14348  bcm1k  14486  bcn2  14490  hashfzo  14601  hashbclem  14624  hashf1  14629  seqcoll  14636  swrdfv2  14839  swrdspsleq  14843  swrdlsw  14845  ccatpfx  14878  cshwlen  14978  cshwidxmodr  14983  cshwidxm  14987  swrd2lsw  15134  shftlem  15250  shftfval  15252  seqshft  15267  iserex  15853  serf0  15877  iseralt  15881  sumrblem  15906  fsumm1  15946  mptfzshft  15973  binomlem  16027  binom1dif  16031  isumsplit  16038  climcndslem1  16047  binomrisefac  16237  bpolycl  16247  bpolysum  16248  bpolydiflem  16249  bpoly2  16252  bpoly3  16253  fsumcube  16255  ruclem12  16438  dvdssub2  16500  4sqlem19  17170  vdwapun  17181  vdwapid1  17182  vdwlem5  17192  vdwlem8  17195  vdwnnlem2  17203  ramub1lem2  17234  1259lem4  17341  1259prm  17343  2503prm  17347  4001prm  17352  gsumsgrpccat  19065  sylow1lem1  19842  efgsres  19982  efgredleme  19987  gsummptshft  20180  ablsimpgfindlem1  20353  icccvx  25301  reparphti  25348  ovolunlem1  25848  advlog  27012  cxpaddlelem  27109  ang180lem1  27167  ang180lem3  27169  asinlem2  27227  tanatan  27277  ppiub  27561  perfect1  27585  lgsquad2lem1  27741  rplogsumlem1  27841  selberg2lem  27907  logdivbnd  27913  pntrsumo1  27922  pntrsumbnd2  27924  ax5seglem3  29539  ax5seglem5  29541  axbtwnid  29547  axlowdimlem16  29565  axeuclidlem  29570  axcontlem2  29573  crctcshwlkn0lem6  30434  clwwlknonex2lem2  30729  clwwlknonex2  30730  eucrctshift  30874  cvmliftlem7  36223  nndivsub  37423  ltflcei  38723  itg2addnclem3  38783  mettrifi  38883  irrapxlem1  44022  rmspecsqrtnq  44106  jm2.24nn  44159  jm2.18  44188  jm2.23  44196  jm2.27c  44207  monoord2xrv  46698  itgsinexp  47170  goldpolyfactor  48132  2elfz2melfz  48593  sbgoldbwt  49080  sgoldbeven3prm  49086  evengpop3  49101  evengpoap3  49102  gpg5nbgrvtx13starlem2  49375  zlmodzxzsub  49677  ackval42  50013