Theorem npcan 11436

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11435	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  addsubass  11437  npncan  11449  nppcan  11450  nnpcan  11451  subcan2  11453  nnncan  11463  npcand  11543  nn1suc  12229  zlem1lt  12620  zltlem1  12621  peano5uzi  12659  nummac  12735  uzp1  12873  peano2uzr  12901  qbtwnre  13199  fz01en  13554  fzsuc2  13584  fseq1m1p1  13601  predfz  13655  fzoss2  13690  fzoaddel2  13723  fzosplitsnm1  13743  fldiv  13867  modfzo0difsn  13953  seqm1  14029  monoord2  14043  sermono  14044  seqf1olem1  14051  seqf1olem2  14052  seqz  14060  expm1t  14100  expubnd  14188  bcm1k  14325  bcn2  14329  hashfzo  14439  hashbclem  14462  hashf1  14467  seqcoll  14474  swrdfv2  14672  swrdspsleq  14676  swrdlsw  14678  ccatpfx  14711  cshwlen  14809  cshwidxmodr  14814  cshwidxm  14818  swrd2lsw  14962  shftlem  15078  shftfval  15080  seqshft  15095  iserex  15667  serf0  15691  iseralt  15695  sumrblem  15721  fsumm1  15761  mptfzshft  15788  binomlem  15842  binom1dif  15846  isumsplit  15853  climcndslem1  15862  binomrisefac  16055  bpolycl  16065  bpolysum  16066  bpolydiflem  16067  bpoly2  16070  bpoly3  16071  fsumcube  16073  ruclem12  16256  dvdssub2  16318  4sqlem19  16982  vdwapun  16993  vdwapid1  16994  vdwlem5  17004  vdwlem8  17007  vdwnnlem2  17015  ramub1lem2  17046  1259lem4  17153  1259prm  17155  2503prm  17159  4001prm  17164  gsumsgrpccat  18857  sylow1lem1  19621  efgsres  19761  efgredleme  19766  gsummptshft  19959  ablsimpgfindlem1  20132  icccvx  24992  reparphti  25039  ovolunlem1  25539  advlog  26696  cxpaddlelem  26793  ang180lem1  26851  ang180lem3  26853  asinlem2  26911  tanatan  26961  ppiub  27245  perfect1  27269  lgsquad2lem1  27425  rplogsumlem1  27525  selberg2lem  27591  logdivbnd  27597  pntrsumo1  27606  pntrsumbnd2  27608  ax5seglem3  29078  ax5seglem5  29080  axbtwnid  29086  axlowdimlem16  29104  axeuclidlem  29109  axcontlem2  29112  crctcshwlkn0lem6  29961  clwwlknonex2lem2  30256  clwwlknonex2  30257  eucrctshift  30391  cvmliftlem7  35605  nndivsub  36781  ltflcei  38071  itg2addnclem3  38136  mettrifi  38220  irrapxlem1  43363  rmspecsqrtnq  43447  jm2.24nn  43500  jm2.18  43529  jm2.23  43537  jm2.27c  43548  monoord2xrv  46021  itgsinexp  46493  2elfz2melfz  47876  sbgoldbwt  48363  sgoldbeven3prm  48369  evengpop3  48384  evengpoap3  48385  gpg5nbgrvtx13starlem2  48658  zlmodzxzsub  48946  ackval42  49282