Theorem npcan 11419

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11366	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11418	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℂcc 11058   + caddc 11063   − cmin 11394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-sub 11396

This theorem is referenced by:  addsubass  11420  npncan  11431  nppcan  11432  nnpcan  11433  subcan2  11435  nnncan  11445  npcand  11525  nn1suc  12184  zlem1lt  12564  zltlem1  12565  peano5uzi  12601  nummac  12672  uzp1  12813  peano2uzr  12837  qbtwnre  13128  fz01en  13479  fzsuc2  13509  fseq1m1p1  13526  predfz  13576  fzoss2  13610  fzoaddel2  13638  fzosplitsnm1  13657  fldiv  13775  modfzo0difsn  13858  seqm1  13935  monoord2  13949  sermono  13950  seqf1olem1  13957  seqf1olem2  13958  seqz  13966  expm1t  14006  expubnd  14092  bcm1k  14225  bcn2  14229  hashfzo  14339  hashbclem  14361  hashf1  14368  seqcoll  14375  swrdfv2  14561  swrdspsleq  14565  swrdlsw  14567  addlenrevpfx  14590  ccatpfx  14601  cshwlen  14699  cshwidxmodr  14704  cshwidxm  14708  swrd2lsw  14853  shftlem  14965  shftfval  14967  seqshft  14982  iserex  15553  serf0  15577  iseralt  15581  sumrblem  15607  fsumm1  15647  mptfzshft  15674  binomlem  15725  binom1dif  15729  isumsplit  15736  climcndslem1  15745  binomrisefac  15936  bpolycl  15946  bpolysum  15947  bpolydiflem  15948  bpoly2  15951  bpoly3  15952  fsumcube  15954  ruclem12  16134  dvdssub2  16194  4sqlem19  16846  vdwapun  16857  vdwapid1  16858  vdwlem5  16868  vdwlem8  16871  vdwnnlem2  16879  ramub1lem2  16910  1259lem4  17017  1259prm  17019  2503prm  17023  4001prm  17028  gsumsgrpccat  18664  sylow1lem1  19394  efgsres  19534  efgredleme  19539  gsummptshft  19727  ablsimpgfindlem1  19900  icccvx  24350  reparphti  24397  ovolunlem1  24898  advlog  26046  cxpaddlelem  26141  ang180lem1  26196  ang180lem3  26198  asinlem2  26256  tanatan  26306  ppiub  26589  perfect1  26613  lgsquad2lem1  26769  rplogsumlem1  26869  selberg2lem  26935  logdivbnd  26941  pntrsumo1  26950  pntrsumbnd2  26952  ax5seglem3  27943  ax5seglem5  27945  axbtwnid  27951  axlowdimlem16  27969  axeuclidlem  27974  axcontlem2  27977  crctcshwlkn0lem6  28823  clwwlknonex2lem2  29115  clwwlknonex2  29116  eucrctshift  29250  cvmliftlem7  33972  nndivsub  35005  ltflcei  36139  itg2addnclem3  36204  mettrifi  36289  irrapxlem1  41203  rmspecsqrtnq  41287  jm2.24nn  41341  jm2.18  41370  jm2.23  41378  jm2.27c  41389  monoord2xrv  43839  itgsinexp  44316  2elfz2melfz  45670  sbgoldbwt  46089  sgoldbeven3prm  46095  evengpop3  46110  evengpoap3  46111  zlmodzxzsub  46556  ackval42  46902