Theorem npcan 11402

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11348	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11401	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  addsubass  11403  npncan  11415  nppcan  11416  nnpcan  11417  subcan2  11419  nnncan  11429  npcand  11509  nn1suc  12196  zlem1lt  12579  zltlem1  12580  peano5uzi  12618  nummac  12689  uzp1  12825  peano2uzr  12853  qbtwnre  13151  fz01en  13506  fzsuc2  13536  fseq1m1p1  13553  predfz  13607  fzoss2  13642  fzoaddel2  13675  fzosplitsnm1  13695  fldiv  13819  modfzo0difsn  13905  seqm1  13981  monoord2  13995  sermono  13996  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  seqz  14012  expm1t  14052  expubnd  14140  bcm1k  14277  bcn2  14281  hashfzo  14391  hashbclem  14414  hashf1  14419  seqcoll  14426  swrdfv2  14624  swrdspsleq  14628  swrdlsw  14630  ccatpfx  14663  cshwlen  14761  cshwidxmodr  14766  cshwidxm  14770  swrd2lsw  14914  shftlem  15030  shftfval  15032  seqshft  15047  iserex  15619  serf0  15643  iseralt  15647  sumrblem  15673  fsumm1  15713  mptfzshft  15740  binomlem  15794  binom1dif  15798  isumsplit  15805  climcndslem1  15814  binomrisefac  16007  bpolycl  16017  bpolysum  16018  bpolydiflem  16019  bpoly2  16022  bpoly3  16023  fsumcube  16025  ruclem12  16208  dvdssub2  16270  4sqlem19  16934  vdwapun  16945  vdwapid1  16946  vdwlem5  16956  vdwlem8  16959  vdwnnlem2  16967  ramub1lem2  16998  1259lem4  17104  1259prm  17106  2503prm  17110  4001prm  17115  gsumsgrpccat  18808  sylow1lem1  19573  efgsres  19713  efgredleme  19718  gsummptshft  19911  ablsimpgfindlem1  20084  icccvx  24917  reparphti  24964  ovolunlem1  25464  advlog  26618  cxpaddlelem  26715  ang180lem1  26773  ang180lem3  26775  asinlem2  26833  tanatan  26883  ppiub  27167  perfect1  27191  lgsquad2lem1  27347  rplogsumlem1  27447  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntrsumo1  27528  pntrsumbnd2  27530  ax5seglem3  29000  ax5seglem5  29002  axbtwnid  29008  axlowdimlem16  29026  axeuclidlem  29031  axcontlem2  29034  crctcshwlkn0lem6  29883  clwwlknonex2lem2  30178  clwwlknonex2  30179  eucrctshift  30313  cvmliftlem7  35473  nndivsub  36639  ltflcei  37929  itg2addnclem3  37994  mettrifi  38078  irrapxlem1  43250  rmspecsqrtnq  43334  jm2.24nn  43387  jm2.18  43416  jm2.23  43424  jm2.27c  43435  monoord2xrv  45911  itgsinexp  46383  2elfz2melfz  47766  sbgoldbwt  48253  sgoldbeven3prm  48259  evengpop3  48274  evengpoap3  48275  gpg5nbgrvtx13starlem2  48548  zlmodzxzsub  48836  ackval42  49172