Theorem npcan 10889

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 10879	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 10888	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529   + caddc 10534   − cmin 10864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866

This theorem is referenced by:  addsubass  10890  npncan  10901  nppcan  10902  nnpcan  10903  subcan2  10905  nnncan  10915  npcand  10995  nn1suc  11653  zlem1lt  12028  zltlem1  12029  peano5uzi  12065  nummac  12137  uzp1  12273  peano2uzr  12297  qbtwnre  12586  fz01en  12929  fzsuc2  12959  fseq1m1p1  12976  predfz  13026  fzoss2  13059  fzoaddel2  13087  fzosplitsnm1  13106  fldiv  13222  modfzo0difsn  13305  seqm1  13381  monoord2  13395  sermono  13396  seqf1olem1  13403  seqf1olem2  13404  seqz  13412  expm1t  13451  expubnd  13535  bcm1k  13669  bcn2  13673  hashfzo  13784  hashbclem  13804  hashf1  13809  seqcoll  13816  swrdfv2  14017  swrdspsleq  14021  swrdlsw  14023  addlenrevpfx  14046  ccatpfx  14057  cshwlen  14155  cshwidxmodr  14160  cshwidxm  14164  swrd2lsw  14308  shftlem  14421  shftfval  14423  seqshft  14438  iserex  15007  serf0  15031  iseralt  15035  sumrblem  15062  fsumm1  15100  mptfzshft  15127  binomlem  15178  binom1dif  15182  isumsplit  15189  climcndslem1  15198  binomrisefac  15390  bpolycl  15400  bpolysum  15401  bpolydiflem  15402  bpoly2  15405  bpoly3  15406  fsumcube  15408  ruclem12  15588  dvdssub2  15645  4sqlem19  16293  vdwapun  16304  vdwapid1  16305  vdwlem5  16315  vdwlem8  16318  vdwnnlem2  16326  ramub1lem2  16357  1259lem4  16461  1259prm  16463  2503prm  16467  4001prm  16472  gsumsgrpccat  17998  gsumccatOLD  17999  sylow1lem1  18717  efgsres  18858  efgredleme  18863  gsummptshft  19050  ablsimpgfindlem1  19223  icccvx  23548  reparphti  23595  ovolunlem1  24092  advlog  25231  cxpaddlelem  25326  ang180lem1  25381  ang180lem3  25383  asinlem2  25441  tanatan  25491  ppiub  25774  perfect1  25798  lgsquad2lem1  25954  rplogsumlem1  26054  selberg2lem  26120  logdivbnd  26126  pntrsumo1  26135  pntrsumbnd2  26137  ax5seglem3  26711  ax5seglem5  26713  axbtwnid  26719  axlowdimlem16  26737  axeuclidlem  26742  axcontlem2  26745  crctcshwlkn0lem6  27587  clwwlknonex2lem2  27881  clwwlknonex2  27882  eucrctshift  28016  cvmliftlem7  32533  nndivsub  33800  ltflcei  34874  itg2addnclem3  34939  mettrifi  35026  irrapxlem1  39412  rmspecsqrtnq  39496  jm2.24nn  39549  jm2.18  39578  jm2.23  39586  jm2.27c  39597  monoord2xrv  41752  itgsinexp  42232  2elfz2melfz  43511  sbgoldbwt  43935  sgoldbeven3prm  43941  evengpop3  43956  evengpoap3  43957  zlmodzxzsub  44401