Theorem npcan 11514

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11504	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11513	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   + caddc 11155   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491

This theorem is referenced by:  addsubass  11515  npncan  11527  nppcan  11528  nnpcan  11529  subcan2  11531  nnncan  11541  npcand  11621  nn1suc  12285  zlem1lt  12666  zltlem1  12667  peano5uzi  12704  nummac  12775  uzp1  12916  peano2uzr  12942  qbtwnre  13237  fz01en  13588  fzsuc2  13618  fseq1m1p1  13635  predfz  13689  fzoss2  13723  fzoaddel2  13755  fzosplitsnm1  13775  fldiv  13896  modfzo0difsn  13980  seqm1  14056  monoord2  14070  sermono  14071  seqf1olem1  14078  seqf1olem2  14079  seqz  14087  expm1t  14127  expubnd  14213  bcm1k  14350  bcn2  14354  hashfzo  14464  hashbclem  14487  hashf1  14492  seqcoll  14499  swrdfv2  14695  swrdspsleq  14699  swrdlsw  14701  addlenrevpfx  14724  ccatpfx  14735  cshwlen  14833  cshwidxmodr  14838  cshwidxm  14842  swrd2lsw  14987  shftlem  15103  shftfval  15105  seqshft  15120  iserex  15689  serf0  15713  iseralt  15717  sumrblem  15743  fsumm1  15783  mptfzshft  15810  binomlem  15861  binom1dif  15865  isumsplit  15872  climcndslem1  15881  binomrisefac  16074  bpolycl  16084  bpolysum  16085  bpolydiflem  16086  bpoly2  16089  bpoly3  16090  fsumcube  16092  ruclem12  16273  dvdssub2  16334  4sqlem19  16996  vdwapun  17007  vdwapid1  17008  vdwlem5  17018  vdwlem8  17021  vdwnnlem2  17029  ramub1lem2  17060  1259lem4  17167  1259prm  17169  2503prm  17173  4001prm  17178  gsumsgrpccat  18865  sylow1lem1  19630  efgsres  19770  efgredleme  19775  gsummptshft  19968  ablsimpgfindlem1  20141  icccvx  24994  reparphti  25042  reparphtiOLD  25043  ovolunlem1  25545  advlog  26710  cxpaddlelem  26808  ang180lem1  26866  ang180lem3  26868  asinlem2  26926  tanatan  26976  ppiub  27262  perfect1  27286  lgsquad2lem1  27442  rplogsumlem1  27542  selberg2lem  27608  logdivbnd  27614  pntrsumo1  27623  pntrsumbnd2  27625  ax5seglem3  28960  ax5seglem5  28962  axbtwnid  28968  axlowdimlem16  28986  axeuclidlem  28991  axcontlem2  28994  crctcshwlkn0lem6  29844  clwwlknonex2lem2  30136  clwwlknonex2  30137  eucrctshift  30271  cvmliftlem7  35275  nndivsub  36439  ltflcei  37594  itg2addnclem3  37659  mettrifi  37743  irrapxlem1  42809  rmspecsqrtnq  42893  jm2.24nn  42947  jm2.18  42976  jm2.23  42984  jm2.27c  42995  monoord2xrv  45433  itgsinexp  45910  2elfz2melfz  47267  sbgoldbwt  47701  sgoldbeven3prm  47707  evengpop3  47722  evengpoap3  47723  gpg5nbgrvtx13starlem2  47962  zlmodzxzsub  48204  ackval42  48545