Theorem npcan 11547

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11537	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11546	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   + caddc 11184   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  addsubass  11548  npncan  11560  nppcan  11561  nnpcan  11562  subcan2  11564  nnncan  11574  npcand  11654  nn1suc  12338  zlem1lt  12729  zltlem1  12730  peano5uzi  12769  nummac  12845  uzp1  12983  peano2uzr  13011  qbtwnre  13310  fz01en  13666  fzsuc2  13696  fseq1m1p1  13713  predfz  13767  fzoss2  13802  fzoaddel2  13835  fzosplitsnm1  13855  fldiv  13980  modfzo0difsn  14066  seqm1  14142  monoord2  14156  sermono  14157  seqf1olem1  14164  seqf1olem2  14165  seqz  14173  expm1t  14213  expubnd  14301  bcm1k  14439  bcn2  14443  hashfzo  14554  hashbclem  14577  hashf1  14582  seqcoll  14589  swrdfv2  14791  swrdspsleq  14795  swrdlsw  14797  ccatpfx  14830  cshwlen  14930  cshwidxmodr  14935  cshwidxm  14939  swrd2lsw  15085  shftlem  15201  shftfval  15203  seqshft  15218  iserex  15804  serf0  15828  iseralt  15832  sumrblem  15857  fsumm1  15897  mptfzshft  15924  binomlem  15978  binom1dif  15982  isumsplit  15989  climcndslem1  15998  binomrisefac  16188  bpolycl  16198  bpolysum  16199  bpolydiflem  16200  bpoly2  16203  bpoly3  16204  fsumcube  16206  ruclem12  16389  dvdssub2  16451  4sqlem19  17121  vdwapun  17132  vdwapid1  17133  vdwlem5  17143  vdwlem8  17146  vdwnnlem2  17154  ramub1lem2  17185  1259lem4  17292  1259prm  17294  2503prm  17298  4001prm  17303  gsumsgrpccat  19016  sylow1lem1  19792  efgsres  19932  efgredleme  19937  gsummptshft  20130  ablsimpgfindlem1  20303  icccvx  25251  reparphti  25298  ovolunlem1  25798  advlog  26964  cxpaddlelem  27061  ang180lem1  27119  ang180lem3  27121  asinlem2  27179  tanatan  27229  ppiub  27513  perfect1  27537  lgsquad2lem1  27693  rplogsumlem1  27793  selberg2lem  27859  logdivbnd  27865  pntrsumo1  27874  pntrsumbnd2  27876  ax5seglem3  29491  ax5seglem5  29493  axbtwnid  29499  axlowdimlem16  29517  axeuclidlem  29522  axcontlem2  29525  crctcshwlkn0lem6  30386  clwwlknonex2lem2  30681  clwwlknonex2  30682  eucrctshift  30826  cvmliftlem7  36025  nndivsub  37215  ltflcei  38499  itg2addnclem3  38559  mettrifi  38659  irrapxlem1  43782  rmspecsqrtnq  43866  jm2.24nn  43919  jm2.18  43948  jm2.23  43956  jm2.27c  43967  monoord2xrv  46437  itgsinexp  46909  goldpolyfactor  47871  2elfz2melfz  48332  sbgoldbwt  48819  sgoldbeven3prm  48825  evengpop3  48840  evengpoap3  48841  gpg5nbgrvtx13starlem2  49114  zlmodzxzsub  49416  ackval42  49752