Theorem npcan 11494

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11493	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  addsubass  11495  npncan  11507  nppcan  11508  nnpcan  11509  subcan2  11511  nnncan  11521  npcand  11601  nn1suc  12283  zlem1lt  12674  zltlem1  12675  peano5uzi  12714  nummac  12790  uzp1  12928  peano2uzr  12956  qbtwnre  13255  fz01en  13611  fzsuc2  13641  fseq1m1p1  13658  predfz  13712  fzoss2  13747  fzoaddel2  13780  fzosplitsnm1  13800  fldiv  13925  modfzo0difsn  14011  seqm1  14087  monoord2  14101  sermono  14102  seqf1olem1  14109  seqf1olem2  14110  seqz  14118  expm1t  14158  expubnd  14246  bcm1k  14383  bcn2  14387  hashfzo  14498  hashbclem  14521  hashf1  14526  seqcoll  14533  swrdfv2  14735  swrdspsleq  14739  swrdlsw  14741  ccatpfx  14774  cshwlen  14874  cshwidxmodr  14879  cshwidxm  14883  swrd2lsw  15029  shftlem  15145  shftfval  15147  seqshft  15162  iserex  15748  serf0  15772  iseralt  15776  sumrblem  15801  fsumm1  15841  mptfzshft  15868  binomlem  15922  binom1dif  15926  isumsplit  15933  climcndslem1  15942  binomrisefac  16134  bpolycl  16144  bpolysum  16145  bpolydiflem  16146  bpoly2  16149  bpoly3  16150  fsumcube  16152  ruclem12  16335  dvdssub2  16397  4sqlem19  17061  vdwapun  17072  vdwapid1  17073  vdwlem5  17083  vdwlem8  17086  vdwnnlem2  17094  ramub1lem2  17125  1259lem4  17232  1259prm  17234  2503prm  17238  4001prm  17243  gsumsgrpccat  18955  sylow1lem1  19731  efgsres  19871  efgredleme  19876  gsummptshft  20069  ablsimpgfindlem1  20242  icccvx  25184  reparphti  25231  ovolunlem1  25731  advlog  26899  cxpaddlelem  26996  ang180lem1  27054  ang180lem3  27056  asinlem2  27114  tanatan  27164  ppiub  27448  perfect1  27472  lgsquad2lem1  27628  rplogsumlem1  27728  selberg2lem  27794  logdivbnd  27800  pntrsumo1  27809  pntrsumbnd2  27811  ax5seglem3  29396  ax5seglem5  29398  axbtwnid  29404  axlowdimlem16  29422  axeuclidlem  29427  axcontlem2  29430  crctcshwlkn0lem6  30291  clwwlknonex2lem2  30586  clwwlknonex2  30587  eucrctshift  30731  cvmliftlem7  35878  nndivsub  37084  ltflcei  38370  itg2addnclem3  38430  mettrifi  38515  irrapxlem1  43671  rmspecsqrtnq  43755  jm2.24nn  43808  jm2.18  43837  jm2.23  43845  jm2.27c  43856  monoord2xrv  46319  itgsinexp  46791  goldpolyfactor  47753  2elfz2melfz  48214  sbgoldbwt  48701  sgoldbeven3prm  48707  evengpop3  48722  evengpoap3  48723  gpg5nbgrvtx13starlem2  48996  zlmodzxzsub  49298  ackval42  49634