Theorem npcan 11239

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11238	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878   + caddc 10883   − cmin 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216

This theorem is referenced by:  addsubass  11240  npncan  11251  nppcan  11252  nnpcan  11253  subcan2  11255  nnncan  11265  npcand  11345  nn1suc  12004  zlem1lt  12381  zltlem1  12382  peano5uzi  12418  nummac  12491  uzp1  12628  peano2uzr  12652  qbtwnre  12942  fz01en  13293  fzsuc2  13323  fseq1m1p1  13340  predfz  13390  fzoss2  13424  fzoaddel2  13452  fzosplitsnm1  13471  fldiv  13589  modfzo0difsn  13672  seqm1  13749  monoord2  13763  sermono  13764  seqf1olem1  13771  seqf1olem2  13772  seqz  13780  expm1t  13820  expubnd  13904  bcm1k  14038  bcn2  14042  hashfzo  14153  hashbclem  14173  hashf1  14180  seqcoll  14187  swrdfv2  14383  swrdspsleq  14387  swrdlsw  14389  addlenrevpfx  14412  ccatpfx  14423  cshwlen  14521  cshwidxmodr  14526  cshwidxm  14530  swrd2lsw  14674  shftlem  14788  shftfval  14790  seqshft  14805  iserex  15377  serf0  15401  iseralt  15405  sumrblem  15432  fsumm1  15472  mptfzshft  15499  binomlem  15550  binom1dif  15554  isumsplit  15561  climcndslem1  15570  binomrisefac  15761  bpolycl  15771  bpolysum  15772  bpolydiflem  15773  bpoly2  15776  bpoly3  15777  fsumcube  15779  ruclem12  15959  dvdssub2  16019  4sqlem19  16673  vdwapun  16684  vdwapid1  16685  vdwlem5  16695  vdwlem8  16698  vdwnnlem2  16706  ramub1lem2  16737  1259lem4  16844  1259prm  16846  2503prm  16850  4001prm  16855  gsumsgrpccat  18487  gsumccatOLD  18488  sylow1lem1  19212  efgsres  19353  efgredleme  19358  gsummptshft  19546  ablsimpgfindlem1  19719  icccvx  24122  reparphti  24169  ovolunlem1  24670  advlog  25818  cxpaddlelem  25913  ang180lem1  25968  ang180lem3  25970  asinlem2  26028  tanatan  26078  ppiub  26361  perfect1  26385  lgsquad2lem1  26541  rplogsumlem1  26641  selberg2lem  26707  logdivbnd  26713  pntrsumo1  26722  pntrsumbnd2  26724  ax5seglem3  27308  ax5seglem5  27310  axbtwnid  27316  axlowdimlem16  27334  axeuclidlem  27339  axcontlem2  27342  crctcshwlkn0lem6  28189  clwwlknonex2lem2  28481  clwwlknonex2  28482  eucrctshift  28616  cvmliftlem7  33262  nndivsub  34655  ltflcei  35774  itg2addnclem3  35839  mettrifi  35924  irrapxlem1  40651  rmspecsqrtnq  40735  jm2.24nn  40788  jm2.18  40817  jm2.23  40825  jm2.27c  40836  monoord2xrv  43031  itgsinexp  43503  2elfz2melfz  44821  sbgoldbwt  45240  sgoldbeven3prm  45246  evengpop3  45261  evengpoap3  45262  zlmodzxzsub  45707  ackval42  46053