Theorem npcan 11545

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11535	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11544	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  addsubass  11546  npncan  11557  nppcan  11558  nnpcan  11559  subcan2  11561  nnncan  11571  npcand  11651  nn1suc  12315  zlem1lt  12695  zltlem1  12696  peano5uzi  12732  nummac  12803  uzp1  12944  peano2uzr  12968  qbtwnre  13261  fz01en  13612  fzsuc2  13642  fseq1m1p1  13659  predfz  13710  fzoss2  13744  fzoaddel2  13772  fzosplitsnm1  13791  fldiv  13911  modfzo0difsn  13994  seqm1  14070  monoord2  14084  sermono  14085  seqf1olem1  14092  seqf1olem2  14093  seqz  14101  expm1t  14141  expubnd  14227  bcm1k  14364  bcn2  14368  hashfzo  14478  hashbclem  14501  hashf1  14506  seqcoll  14513  swrdfv2  14709  swrdspsleq  14713  swrdlsw  14715  addlenrevpfx  14738  ccatpfx  14749  cshwlen  14847  cshwidxmodr  14852  cshwidxm  14856  swrd2lsw  15001  shftlem  15117  shftfval  15119  seqshft  15134  iserex  15705  serf0  15729  iseralt  15733  sumrblem  15759  fsumm1  15799  mptfzshft  15826  binomlem  15877  binom1dif  15881  isumsplit  15888  climcndslem1  15897  binomrisefac  16090  bpolycl  16100  bpolysum  16101  bpolydiflem  16102  bpoly2  16105  bpoly3  16106  fsumcube  16108  ruclem12  16289  dvdssub2  16349  4sqlem19  17010  vdwapun  17021  vdwapid1  17022  vdwlem5  17032  vdwlem8  17035  vdwnnlem2  17043  ramub1lem2  17074  1259lem4  17181  1259prm  17183  2503prm  17187  4001prm  17192  gsumsgrpccat  18875  sylow1lem1  19640  efgsres  19780  efgredleme  19785  gsummptshft  19978  ablsimpgfindlem1  20151  icccvx  25000  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  ovolunlem1  25551  advlog  26714  cxpaddlelem  26812  ang180lem1  26870  ang180lem3  26872  asinlem2  26930  tanatan  26980  ppiub  27266  perfect1  27290  lgsquad2lem1  27446  rplogsumlem1  27546  selberg2lem  27612  logdivbnd  27618  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd2  27629  ax5seglem3  28964  ax5seglem5  28966  axbtwnid  28972  axlowdimlem16  28990  axeuclidlem  28995  axcontlem2  28998  crctcshwlkn0lem6  29848  clwwlknonex2lem2  30140  clwwlknonex2  30141  eucrctshift  30275  cvmliftlem7  35259  nndivsub  36423  ltflcei  37568  itg2addnclem3  37633  mettrifi  37717  irrapxlem1  42778  rmspecsqrtnq  42862  jm2.24nn  42916  jm2.18  42945  jm2.23  42953  jm2.27c  42964  monoord2xrv  45399  itgsinexp  45876  2elfz2melfz  47233  sbgoldbwt  47651  sgoldbeven3prm  47657  evengpop3  47672  evengpoap3  47673  zlmodzxzsub  48085  ackval42  48430