Theorem npcan 11401

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11347	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11400	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  addsubass  11402  npncan  11414  nppcan  11415  nnpcan  11416  subcan2  11418  nnncan  11428  npcand  11508  nn1suc  12179  zlem1lt  12555  zltlem1  12556  peano5uzi  12593  nummac  12664  uzp1  12800  peano2uzr  12828  qbtwnre  13126  fz01en  13480  fzsuc2  13510  fseq1m1p1  13527  predfz  13581  fzoss2  13615  fzoaddel2  13648  fzosplitsnm1  13668  fldiv  13792  modfzo0difsn  13878  seqm1  13954  monoord2  13968  sermono  13969  seqf1olem1  13976  seqf1olem2  13977  seqz  13985  expm1t  14025  expubnd  14113  bcm1k  14250  bcn2  14254  hashfzo  14364  hashbclem  14387  hashf1  14392  seqcoll  14399  swrdfv2  14597  swrdspsleq  14601  swrdlsw  14603  ccatpfx  14636  cshwlen  14734  cshwidxmodr  14739  cshwidxm  14743  swrd2lsw  14887  shftlem  15003  shftfval  15005  seqshft  15020  iserex  15592  serf0  15616  iseralt  15620  sumrblem  15646  fsumm1  15686  mptfzshft  15713  binomlem  15764  binom1dif  15768  isumsplit  15775  climcndslem1  15784  binomrisefac  15977  bpolycl  15987  bpolysum  15988  bpolydiflem  15989  bpoly2  15992  bpoly3  15993  fsumcube  15995  ruclem12  16178  dvdssub2  16240  4sqlem19  16903  vdwapun  16914  vdwapid1  16915  vdwlem5  16925  vdwlem8  16928  vdwnnlem2  16936  ramub1lem2  16967  1259lem4  17073  1259prm  17075  2503prm  17079  4001prm  17084  gsumsgrpccat  18777  sylow1lem1  19539  efgsres  19679  efgredleme  19684  gsummptshft  19877  ablsimpgfindlem1  20050  icccvx  24916  reparphti  24964  reparphtiOLD  24965  ovolunlem1  25466  advlog  26631  cxpaddlelem  26729  ang180lem1  26787  ang180lem3  26789  asinlem2  26847  tanatan  26897  ppiub  27183  perfect1  27207  lgsquad2lem1  27363  rplogsumlem1  27463  selberg2lem  27529  logdivbnd  27535  pntrsumo1  27544  pntrsumbnd2  27546  ax5seglem3  29016  ax5seglem5  29018  axbtwnid  29024  axlowdimlem16  29042  axeuclidlem  29047  axcontlem2  29050  crctcshwlkn0lem6  29900  clwwlknonex2lem2  30195  clwwlknonex2  30196  eucrctshift  30330  cvmliftlem7  35504  nndivsub  36670  ltflcei  37853  itg2addnclem3  37918  mettrifi  38002  irrapxlem1  43173  rmspecsqrtnq  43257  jm2.24nn  43310  jm2.18  43339  jm2.23  43347  jm2.27c  43358  monoord2xrv  45835  itgsinexp  46307  2elfz2melfz  47672  sbgoldbwt  48131  sgoldbeven3prm  48137  evengpop3  48152  evengpoap3  48153  gpg5nbgrvtx13starlem2  48426  zlmodzxzsub  48714  ackval42  49050