Theorem npcan 11393

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 11392	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  addsubass  11394  npncan  11406  nppcan  11407  nnpcan  11408  subcan2  11410  nnncan  11420  npcand  11500  nn1suc  12187  zlem1lt  12570  zltlem1  12571  peano5uzi  12609  nummac  12680  uzp1  12816  peano2uzr  12844  qbtwnre  13142  fz01en  13497  fzsuc2  13527  fseq1m1p1  13544  predfz  13598  fzoss2  13633  fzoaddel2  13666  fzosplitsnm1  13686  fldiv  13810  modfzo0difsn  13896  seqm1  13972  monoord2  13986  sermono  13987  seqf1olem1  13994  seqf1olem2  13995  seqz  14003  expm1t  14043  expubnd  14131  bcm1k  14268  bcn2  14272  hashfzo  14382  hashbclem  14405  hashf1  14410  seqcoll  14417  swrdfv2  14615  swrdspsleq  14619  swrdlsw  14621  ccatpfx  14654  cshwlen  14752  cshwidxmodr  14757  cshwidxm  14761  swrd2lsw  14905  shftlem  15021  shftfval  15023  seqshft  15038  iserex  15610  serf0  15634  iseralt  15638  sumrblem  15664  fsumm1  15704  mptfzshft  15731  binomlem  15785  binom1dif  15789  isumsplit  15796  climcndslem1  15805  binomrisefac  15998  bpolycl  16008  bpolysum  16009  bpolydiflem  16010  bpoly2  16013  bpoly3  16014  fsumcube  16016  ruclem12  16199  dvdssub2  16261  4sqlem19  16925  vdwapun  16936  vdwapid1  16937  vdwlem5  16947  vdwlem8  16950  vdwnnlem2  16958  ramub1lem2  16989  1259lem4  17095  1259prm  17097  2503prm  17101  4001prm  17106  gsumsgrpccat  18799  sylow1lem1  19564  efgsres  19704  efgredleme  19709  gsummptshft  19902  ablsimpgfindlem1  20075  icccvx  24927  reparphti  24974  ovolunlem1  25474  advlog  26631  cxpaddlelem  26728  ang180lem1  26786  ang180lem3  26788  asinlem2  26846  tanatan  26896  ppiub  27181  perfect1  27205  lgsquad2lem1  27361  rplogsumlem1  27461  selberg2lem  27527  logdivbnd  27533  pntrsumo1  27542  pntrsumbnd2  27544  ax5seglem3  29014  ax5seglem5  29016  axbtwnid  29022  axlowdimlem16  29040  axeuclidlem  29045  axcontlem2  29048  crctcshwlkn0lem6  29898  clwwlknonex2lem2  30193  clwwlknonex2  30194  eucrctshift  30328  cvmliftlem7  35489  nndivsub  36655  ltflcei  37943  itg2addnclem3  38008  mettrifi  38092  irrapxlem1  43268  rmspecsqrtnq  43352  jm2.24nn  43405  jm2.18  43434  jm2.23  43442  jm2.27c  43453  monoord2xrv  45929  itgsinexp  46401  2elfz2melfz  47778  sbgoldbwt  48265  sgoldbeven3prm  48271  evengpop3  48286  evengpoap3  48287  gpg5nbgrvtx13starlem2  48560  zlmodzxzsub  48848  ackval42  49184