Theorem opnrebl 34436

Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an open ball. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opnrebl	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem opnrebl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 23860	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4	1, 3	tgioo 23865	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5	4	elmopn2 23506	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴))
7		ssel2 3912	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		rpre 12667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
9	1	bl2ioo 23861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
10	8, 9	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
11	10	sseq1d 3948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
12	11	rexbidva 3224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
14	13	ralbidva 3119	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
15	14	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
16	6, 15	bitri 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  ran crn 5581   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805   − cmin 11135  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  abscabs 14873  topGenctg 17065  ∞Metcxmet 20495  ballcbl 20497  MetOpencmopn 20500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-bases 22004

This theorem is referenced by: (None)