Theorem opnrebl 36362

Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an open ball. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opnrebl	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem opnrebl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 24706	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4	1, 3	tgioo 24711	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5	4	elmopn2 24360	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴))
7		ssel2 3924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		rpre 12899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
9	1	bl2ioo 24707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
10	8, 9	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
11	10	sseq1d 3961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
12	11	rexbidva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
14	13	ralbidva 3153	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
15	14	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
16	6, 15	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897   × cxp 5612  ran crn 5615   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   + caddc 11009   − cmin 11344  ℝ⁺crp 12890  (,)cioo 13245  abscabs 15141  topGenctg 17341  ∞Metcxmet 21276  ballcbl 21278  MetOpencmopn 21281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-bases 22861

This theorem is referenced by: (None)