Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnrebl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnrebl 35809
Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an open ball. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
opnrebl (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) βŠ† 𝐴))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem opnrebl
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 24725 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 eqid 2727 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
41, 3tgioo 24730 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
54elmopn2 24369 . . 3 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)))
62, 5ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴))
7 ssel2 3975 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 rpre 13020 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
91bl2ioo 24726 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
108, 9sylan2 591 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
1110sseq1d 4011 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴 ↔ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) βŠ† 𝐴))
1211rexbidva 3172 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) βŠ† 𝐴))
137, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) βŠ† 𝐴))
1413ralbidva 3171 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) βŠ† 𝐴))
1514pm5.32i 573 . 2 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) βŠ† 𝐴))
166, 15bitri 274 1 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5678  ran crn 5681   β†Ύ cres 5682   ∘ ccom 5684  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„cr 11143   + caddc 11147   βˆ’ cmin 11480  β„+crp 13012  (,)cioo 13362  abscabs 15219  topGenctg 17424  βˆžMetcxmet 21269  ballcbl 21271  MetOpencmopn 21274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-topgen 17430  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-bases 22867
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator