Theorem halfnneg2 12495

Description: A number is nonnegative iff its half is nonnegative. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
halfnneg2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 2)))

Proof of Theorem halfnneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12338	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 12367	. 2 ⊢ 0 < 2
3		ge0div 12133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 2)))
4	1, 2, 3	mp3an23 1452	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327

This theorem is referenced by:  facavg  14337  sin2h  37597  cos2h  37598  tan2h  37599  sqrtcval  43631