Theorem ge0div 12110

Description: Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ge0div	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))

Proof of Theorem ge0div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11238	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lediv1 12108	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
4	3	3impb 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
5		recn 11218	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		gt0ne0 11707	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
7		div0 11931	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 / 𝐵) = 0)
8	5, 6, 7	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 / 𝐵) = 0)
9	8	breq1d 5117	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
10	9	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11	4, 10	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   < clt 11271   ≤ cle 11272   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  divge0  12112  halfnneg2  12503  nn0ge0div  12694  ge0divd  13128  odzdvds  16893  pcfaclem  16996  pockthlem  17003  dvge0  26240  nn0oALTV  48620  nn0e  48621  rege1logbrege0  49496  logbge0b  49501  dignnld  49541