Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sin2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin2h 36346
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 11200 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 2re 12270 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 25899 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 11214 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
5 iccssre 13390 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ)
61, 4, 5mp2an 690 . . . . 5 (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ
76sseli 3975 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87rehalfcld 12443 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
98resincld 16070 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10 1re 11198 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 recoscl 16068 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
12 resubcl 11508 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 12443 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
15 cosbnd 16108 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1615simprd 496 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
17 subge0 11711 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1810, 11, 17sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
19 halfnneg2 12427 . . . . . . 7 ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2013, 19syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2118, 20bitr3d 280 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2216, 21mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
2314, 22resqrtcld 15348 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
247, 23syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
251, 4elicc2i 13374 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)))
26 halfnneg2 12427 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 2)))
27 2pos 12299 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
282, 27pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29 ledivmul 12074 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
303, 28, 29mp3an23 1453 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
3130bicomd 222 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (2 · π) ↔ (𝐴 / 2) ≤ π))
3226, 31anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
33 rehalfcl 12422 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3433rexrd 11248 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
35 0xr 11245 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
363rexri 11256 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ*
37 elicc4 13375 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
3835, 36, 37mp3an12 1451 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
4032, 39bitr4d 281 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
4140biimpd 228 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
42413impib 1116 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
4325, 42sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
44 sinq12ge0 25949 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
4543, 44syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
4614, 22sqrtge0d 15351 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
477, 46syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
487recnd 11226 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
49 ax-1cn 11152 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 coscl 16054 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
51 subcl 11443 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
5249, 50, 51sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
5352halfcld 12441 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
5453sqsqrtd 15370 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
55 halfcl 12421 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
56 coscl 16054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
5756sqcld 14093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
58 2cn 12271 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
59 mulcom 11180 . . . . . . . . . . . 12 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6057, 58, 59sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6160oveq2d 7410 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
6258mullidi 11203 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 2) = 2
63 df-2 12259 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtri 2760 . . . . . . . . . . 11 (1 · 2) = (1 + 1)
6564oveq1i 7404 . . . . . . . . . 10 ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6661, 65eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
67 subdir 11632 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
6849, 58, 67mp3an13 1452 . . . . . . . . . 10 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
6957, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
70 mulcl 11178 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
7158, 57, 70sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
72 subsub3 11476 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7349, 49, 72mp3an13 1452 . . . . . . . . . 10 ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7566, 69, 743eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
76 sincl 16053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7776sqcld 14093 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
7877, 57pncand 11556 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
79 sincossq 16103 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = 1)
8079oveq1d 7409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8178, 80eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8281oveq1d 7409 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2))
83 cos2t 16105 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
8483oveq2d 7410 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
8575, 82, 843eqtr4d 2782 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
8655, 85syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
87 2ne0 12300 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
88 divcan2 11864 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
8958, 87, 88mp3an23 1453 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
9089fveq2d 6883 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
9190oveq2d 7410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − (cos‘𝐴)))
9286, 91eqtrd 2772 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘𝐴)))
9392oveq1d 7409 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
9455sincld 16057 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
9594sqcld 14093 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
96 divcan4 11883 . . . . . 6 ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9758, 87, 96mp3an23 1453 . . . . 5 (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9895, 97syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9954, 93, 983eqtr2rd 2779 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
10048, 99syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 14205 1 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wss 3945   class class class wbr 5142  cfv 6533  (class class class)co 7394  cc 11092  cr 11093  0cc0 11094  1c1 11095   + caddc 11097   · cmul 11099  *cxr 11231   < clt 11232  cle 11233  cmin 11428  -cneg 11429   / cdiv 11855  2c2 12251  [,]cicc 13311  cexp 14011  csqrt 15164  sincsin 15991  cosccos 15992  πcpi 15994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172  ax-addf 11173  ax-mulf 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-fi 9390  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-q 12917  df-rp 12959  df-xneg 13076  df-xadd 13077  df-xmul 13078  df-ioo 13312  df-ioc 13313  df-ico 13314  df-icc 13315  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-fl 13741  df-seq 13951  df-exp 14012  df-fac 14218  df-bc 14247  df-hash 14275  df-shft 14998  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-limsup 15399  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15617  df-ef 15995  df-sin 15997  df-cos 15998  df-pi 16000  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17352  df-topn 17353  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-topgen 17373  df-pt 17374  df-prds 17377  df-xrs 17432  df-qtop 17437  df-imas 17438  df-xps 17440  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-mulg 18925  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-psmet 20872  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bl 20875  df-mopn 20876  df-fbas 20877  df-fg 20878  df-cnfld 20881  df-top 22327  df-topon 22344  df-topsp 22366  df-bases 22380  df-cld 22454  df-ntr 22455  df-cls 22456  df-nei 22533  df-lp 22571  df-perf 22572  df-cn 22662  df-cnp 22663  df-haus 22750  df-tx 22997  df-hmeo 23190  df-fil 23281  df-fm 23373  df-flim 23374  df-flf 23375  df-xms 23757  df-ms 23758  df-tms 23759  df-cncf 24325  df-limc 25314  df-dv 25315
This theorem is referenced by:  tan2h  36348
  Copyright terms: Public domain W3C validator