Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sin2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin2h 37597
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 26515 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 11275 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
5 iccssre 13466 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ)
61, 4, 5mp2an 692 . . . . 5 (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ
76sseli 3991 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87rehalfcld 12511 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
98resincld 16176 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10 1re 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 recoscl 16174 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
12 resubcl 11571 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 12511 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
15 cosbnd 16214 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1615simprd 495 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
17 subge0 11774 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1810, 11, 17sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
19 halfnneg2 12495 . . . . . . 7 ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2013, 19syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2118, 20bitr3d 281 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2216, 21mpbid 232 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
2314, 22resqrtcld 15453 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
247, 23syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
251, 4elicc2i 13450 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)))
26 halfnneg2 12495 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 2)))
27 2pos 12367 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
282, 27pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29 ledivmul 12142 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
303, 28, 29mp3an23 1452 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
3130bicomd 223 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (2 · π) ↔ (𝐴 / 2) ≤ π))
3226, 31anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
33 rehalfcl 12490 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3433rexrd 11309 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
35 0xr 11306 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
363rexri 11317 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ*
37 elicc4 13451 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
3835, 36, 37mp3an12 1450 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
4032, 39bitr4d 282 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
4140biimpd 229 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
42413impib 1115 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
4325, 42sylbi 217 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
44 sinq12ge0 26565 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
4543, 44syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
4614, 22sqrtge0d 15456 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
477, 46syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
487recnd 11287 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
49 ax-1cn 11211 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 coscl 16160 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
51 subcl 11505 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
5249, 50, 51sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
5352halfcld 12509 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
5453sqsqrtd 15475 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
55 halfcl 12489 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
56 coscl 16160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
5756sqcld 14181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
58 2cn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
59 mulcom 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6057, 58, 59sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
6258mullidi 11264 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 2) = 2
63 df-2 12327 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtri 2763 . . . . . . . . . . 11 (1 · 2) = (1 + 1)
6564oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6661, 65eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
67 subdir 11695 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
6849, 58, 67mp3an13 1451 . . . . . . . . . 10 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
6957, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
70 mulcl 11237 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
7158, 57, 70sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
72 subsub3 11539 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7349, 49, 72mp3an13 1451 . . . . . . . . . 10 ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7566, 69, 743eqtr4d 2785 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
76 sincl 16159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7776sqcld 14181 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
7877, 57pncand 11619 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
79 sincossq 16209 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = 1)
8079oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8178, 80eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8281oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2))
83 cos2t 16211 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
8483oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
8575, 82, 843eqtr4d 2785 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
8655, 85syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
87 2ne0 12368 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
88 divcan2 11928 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
8958, 87, 88mp3an23 1452 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
9089fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
9190oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − (cos‘𝐴)))
9286, 91eqtrd 2775 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘𝐴)))
9392oveq1d 7446 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
9455sincld 16163 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
9594sqcld 14181 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
96 divcan4 11947 . . . . . 6 ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9758, 87, 96mp3an23 1452 . . . . 5 (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9895, 97syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9954, 93, 983eqtr2rd 2782 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
10048, 99syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 14294 1 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  [,]cicc 13387  cexp 14099  csqrt 15269  sincsin 16096  cosccos 16097  πcpi 16099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  tan2h  37599
  Copyright terms: Public domain W3C validator