Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sin2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin2h 36478
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 11216 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 2re 12286 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 25968 . . . . . . 7 Ο€ ∈ ℝ
42, 3remulcli 11230 . . . . . 6 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
5 iccssre 13406 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ) β†’ (0[,](2 Β· Ο€)) βŠ† ℝ)
61, 4, 5mp2an 691 . . . . 5 (0[,](2 Β· Ο€)) βŠ† ℝ
76sseli 3979 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
87rehalfcld 12459 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
98resincld 16086 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10 1re 11214 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 recoscl 16084 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
12 resubcl 11524 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
1310, 11, 12sylancr 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 12459 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) ∈ ℝ)
15 cosbnd 16124 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (cosβ€˜π΄) ∧ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
1615simprd 497 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ≀ 1)
17 subge0 11727 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
1810, 11, 17sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
19 halfnneg2 12443 . . . . . . 7 ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
2013, 19syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
2118, 20bitr3d 281 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
2216, 21mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))
2314, 22resqrtcld 15364 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)) ∈ ℝ)
247, 23syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)) ∈ ℝ)
251, 4elicc2i 13390 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
26 halfnneg2 12443 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ 0 ≀ (𝐴 / 2)))
27 2pos 12315 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
282, 27pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29 ledivmul 12090 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((𝐴 / 2) ≀ Ο€ ↔ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
303, 28, 29mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 / 2) ≀ Ο€ ↔ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
3130bicomd 222 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 ≀ (2 Β· Ο€) ↔ (𝐴 / 2) ≀ Ο€))
3226, 31anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)) ↔ (0 ≀ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ Ο€)))
33 rehalfcl 12438 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3433rexrd 11264 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
35 0xr 11261 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
363rexri 11272 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ*
37 elicc4 13391 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€) ↔ (0 ≀ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ Ο€)))
3835, 36, 37mp3an12 1452 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€) ↔ (0 ≀ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ Ο€)))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€) ↔ (0 ≀ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ Ο€)))
4032, 39bitr4d 282 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€)))
4140biimpd 228 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€)))
42413impib 1117 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€))
4325, 42sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€))
44 sinq12ge0 26018 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
4543, 44syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
4614, 22sqrtge0d 15367 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
477, 46syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
487recnd 11242 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
49 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 coscl 16070 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
51 subcl 11459 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5249, 50, 51sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5352halfcld 12457 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) ∈ β„‚)
5453sqsqrtd 15386 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))↑2) = ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))
55 halfcl 12437 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
56 coscl 16070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
5756sqcld 14109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚)
58 2cn 12287 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
59 mulcom 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
6057, 58, 59sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
6160oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)) = ((1 Β· 2) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
6258mullidi 11219 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· 2) = 2
63 df-2 12275 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 (1 Β· 2) = (1 + 1)
6564oveq1i 7419 . . . . . . . . . 10 ((1 Β· 2) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
6661, 65eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
67 subdir 11648 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2) = ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)))
6849, 58, 67mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2) = ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)))
6957, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2) = ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)))
70 mulcl 11194 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ β„‚)
7158, 57, 70sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ β„‚)
72 subsub3 11492 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
7349, 49, 72mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
7566, 69, 743eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2) = (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)))
76 sincl 16069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
7776sqcld 14109 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚)
7877, 57pncand 11572 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) + ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2))
79 sincossq 16119 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) + ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) = 1)
8079oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) + ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) = (1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
8178, 80eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) = (1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
8281oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2))
83 cos2t 16121 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1))
8483oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2)))) = (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)))
8575, 82, 843eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (1 βˆ’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2)))))
8655, 85syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (1 βˆ’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2)))))
87 2ne0 12316 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
88 divcan2 11880 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
8958, 87, 88mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
9089fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (cosβ€˜π΄))
9190oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2)))) = (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)))
9286, 91eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)))
9392oveq1d 7424 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) / 2) = ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))
9455sincld 16073 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
9594sqcld 14109 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚)
96 divcan4 11899 . . . . . 6 ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) / 2) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2))
9758, 87, 96mp3an23 1454 . . . . 5 (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) / 2) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2))
9895, 97syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) / 2) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2))
9954, 93, 983eqtr2rd 2780 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) = ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))↑2))
10048, 99syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) = ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))↑2))
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 14221 1 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  [,]cicc 13327  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  tan2h  36480
  Copyright terms: Public domain W3C validator