Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sin2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin2h 37618
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 11264 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 2re 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 26501 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 11278 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
5 iccssre 13470 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ)
61, 4, 5mp2an 692 . . . . 5 (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ
76sseli 3978 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87rehalfcld 12515 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
98resincld 16180 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10 1re 11262 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 recoscl 16178 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
12 resubcl 11574 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 12515 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
15 cosbnd 16218 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1615simprd 495 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
17 subge0 11777 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1810, 11, 17sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
19 halfnneg2 12499 . . . . . . 7 ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2013, 19syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2118, 20bitr3d 281 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2216, 21mpbid 232 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
2314, 22resqrtcld 15457 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
247, 23syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
251, 4elicc2i 13454 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)))
26 halfnneg2 12499 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 2)))
27 2pos 12370 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
282, 27pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29 ledivmul 12145 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
303, 28, 29mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
3130bicomd 223 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (2 · π) ↔ (𝐴 / 2) ≤ π))
3226, 31anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
33 rehalfcl 12495 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3433rexrd 11312 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
35 0xr 11309 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
363rexri 11320 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ*
37 elicc4 13455 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
3835, 36, 37mp3an12 1452 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
4032, 39bitr4d 282 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
4140biimpd 229 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
42413impib 1116 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
4325, 42sylbi 217 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
44 sinq12ge0 26551 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
4543, 44syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
4614, 22sqrtge0d 15460 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
477, 46syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
487recnd 11290 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
49 ax-1cn 11214 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 coscl 16164 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
51 subcl 11508 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
5249, 50, 51sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
5352halfcld 12513 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
5453sqsqrtd 15479 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
55 halfcl 12494 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
56 coscl 16164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
5756sqcld 14185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
58 2cn 12342 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
59 mulcom 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6057, 58, 59sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6160oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
6258mullidi 11267 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 2) = 2
63 df-2 12330 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 (1 · 2) = (1 + 1)
6564oveq1i 7442 . . . . . . . . . 10 ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6661, 65eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
67 subdir 11698 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
6849, 58, 67mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
6957, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
70 mulcl 11240 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
7158, 57, 70sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
72 subsub3 11542 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7349, 49, 72mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7566, 69, 743eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
76 sincl 16163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7776sqcld 14185 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
7877, 57pncand 11622 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
79 sincossq 16213 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = 1)
8079oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8178, 80eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8281oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2))
83 cos2t 16215 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
8483oveq2d 7448 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
8575, 82, 843eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
8655, 85syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
87 2ne0 12371 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
88 divcan2 11931 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
8958, 87, 88mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
9089fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
9190oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − (cos‘𝐴)))
9286, 91eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘𝐴)))
9392oveq1d 7447 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
9455sincld 16167 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
9594sqcld 14185 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
96 divcan4 11950 . . . . . 6 ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9758, 87, 96mp3an23 1454 . . . . 5 (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9895, 97syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9954, 93, 983eqtr2rd 2783 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
10048, 99syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 14298 1 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wss 3950   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  [,]cicc 13391  cexp 14103  csqrt 15273  sincsin 16100  cosccos 16101  πcpi 16103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by:  tan2h  37620
  Copyright terms: Public domain W3C validator