Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sin2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin2h 36097
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 11164 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 25831 . . . . . . 7 Ο€ ∈ ℝ
42, 3remulcli 11178 . . . . . 6 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
5 iccssre 13353 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ) β†’ (0[,](2 Β· Ο€)) βŠ† ℝ)
61, 4, 5mp2an 691 . . . . 5 (0[,](2 Β· Ο€)) βŠ† ℝ
76sseli 3945 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
87rehalfcld 12407 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
98resincld 16032 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10 1re 11162 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 recoscl 16030 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
12 resubcl 11472 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
1310, 11, 12sylancr 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 12407 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) ∈ ℝ)
15 cosbnd 16070 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (cosβ€˜π΄) ∧ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
1615simprd 497 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ≀ 1)
17 subge0 11675 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
1810, 11, 17sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
19 halfnneg2 12391 . . . . . . 7 ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
2013, 19syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
2118, 20bitr3d 281 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
2216, 21mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))
2314, 22resqrtcld 15309 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)) ∈ ℝ)
247, 23syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)) ∈ ℝ)
251, 4elicc2i 13337 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
26 halfnneg2 12391 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ 0 ≀ (𝐴 / 2)))
27 2pos 12263 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
282, 27pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29 ledivmul 12038 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((𝐴 / 2) ≀ Ο€ ↔ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
303, 28, 29mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 / 2) ≀ Ο€ ↔ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
3130bicomd 222 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 ≀ (2 Β· Ο€) ↔ (𝐴 / 2) ≀ Ο€))
3226, 31anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)) ↔ (0 ≀ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ Ο€)))
33 rehalfcl 12386 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3433rexrd 11212 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
35 0xr 11209 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
363rexri 11220 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ*
37 elicc4 13338 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€) ↔ (0 ≀ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ Ο€)))
3835, 36, 37mp3an12 1452 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€) ↔ (0 ≀ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ Ο€)))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€) ↔ (0 ≀ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ Ο€)))
4032, 39bitr4d 282 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€)))
4140biimpd 228 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€)))
42413impib 1117 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€))
4325, 42sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€))
44 sinq12ge0 25881 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]Ο€) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
4543, 44syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
4614, 22sqrtge0d 15312 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
477, 46syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
487recnd 11190 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
49 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 coscl 16016 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
51 subcl 11407 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5249, 50, 51sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5352halfcld 12405 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) ∈ β„‚)
5453sqsqrtd 15331 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))↑2) = ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))
55 halfcl 12385 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
56 coscl 16016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
5756sqcld 14056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚)
58 2cn 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
59 mulcom 11144 . . . . . . . . . . . 12 ((((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
6057, 58, 59sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
6160oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)) = ((1 Β· 2) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
6258mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· 2) = 2
63 df-2 12223 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (1 Β· 2) = (1 + 1)
6564oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((1 Β· 2) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
6661, 65eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
67 subdir 11596 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2) = ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)))
6849, 58, 67mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2) = ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)))
6957, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2) = ((1 Β· 2) βˆ’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2)))
70 mulcl 11142 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ β„‚)
7158, 57, 70sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ β„‚)
72 subsub3 11440 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
7349, 49, 72mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)) = ((1 + 1) βˆ’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2))))
7566, 69, 743eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2) = (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)))
76 sincl 16015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
7776sqcld 14056 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚)
7877, 57pncand 11520 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) + ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2))
79 sincossq 16065 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) + ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) = 1)
8079oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) + ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) = (1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
8178, 80eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) = (1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)))
8281oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = ((1 βˆ’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) Β· 2))
83 cos2t 16067 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1))
8483oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2)))) = (1 βˆ’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1)))
8575, 82, 843eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (1 βˆ’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2)))))
8655, 85syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (1 βˆ’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2)))))
87 2ne0 12264 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
88 divcan2 11828 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
8958, 87, 88mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
9089fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (cosβ€˜π΄))
9190oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2)))) = (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)))
9286, 91eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) = (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)))
9392oveq1d 7377 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) / 2) = ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))
9455sincld 16019 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
9594sqcld 14056 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚)
96 divcan4 11847 . . . . . 6 ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) / 2) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2))
9758, 87, 96mp3an23 1454 . . . . 5 (((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) / 2) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2))
9895, 97syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) Β· 2) / 2) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2))
9954, 93, 983eqtr2rd 2784 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) = ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))↑2))
10048, 99syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2))↑2) = ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))↑2))
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 14168 1 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  [,]cicc 13274  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  sincsin 15953  cosccos 15954  Ο€cpi 15956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  tan2h  36099
  Copyright terms: Public domain W3C validator