Theorem cos2h 35454

Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cos2h	⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 25302	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11104	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ
3		iccssre 12982	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4	2, 1, 3	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3883	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12042	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	recoscld 15668	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
8		1re 10798	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	5	recoscld 15668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
10		readdcl 10777	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12042	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
13		cosbnd 15705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
14	13	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
15		recoscl 15665	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
16		recn 10784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17		recn 10784	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
18		subneg 11092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
19		addcom 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
20	19	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
21	18, 20	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
22	16, 17, 21	syl2an 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
23	22	breq2d 5051	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
24		renegcl 11106	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
25		subge0 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
26	24, 25	sylan2 596	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
27	10	ancoms 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
28		halfnneg2 12026	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
30	23, 26, 29	3bitr3d 312	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
31	15, 8, 30	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
32	14, 31	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
33	5, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
34	12, 33	resqrtcld 14946	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
35	2, 1	elicc2i 12966	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
36		2re 11869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 11898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39		lediv1 11662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
40	2, 38, 39	mp3an13 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
41		picn 25303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
42		2cn 11870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		2ne0 11899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44		divneg 11489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
45	41, 42, 43, 44	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
46	45	breq1i 5046	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2))
47	40, 46	bitr4di 292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ -(π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
48		lediv1 11662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
49	1, 38, 48	mp3an23 1455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	anbi12d 634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
51		rehalfcl 12021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 10848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
53		halfpire 25308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
54	53	renegcli 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
55	54	rexri 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
56	53	rexri 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
57		elicc4 12967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
58	55, 56, 57	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
59	52, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
60	50, 59	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
61	60	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
62	61	3impib 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
63	35, 62	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
64		cosq14ge0 25355	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
65	63, 64	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
66	12, 33	sqrtge0d 14949	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
67	5	recnd 10826	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
68		ax-1cn 10752	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		coscl 15651	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
70		addcl 10776	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12040	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
73	72	sqsqrtd 14968	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
74		divcan2 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
75	42, 43, 74	mp3an23 1455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
76	75	fveq2d 6699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
77		halfcl 12020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
78		cos2t 15702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
80	76, 79	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
81	80	oveq2d 7207	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
82	81	oveq1d 7206	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) = ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2))
83	77	coscld 15655	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
84	83	sqcld 13679	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
85		mulcl 10778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
86	42, 85	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
87		pncan3 11051	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ) → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
88	68, 86, 87	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
89	88	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2))
90		divcan3 11481	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
91	42, 43, 90	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
92	89, 91	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
93	84, 92	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
94	73, 82, 93	3eqtrrd 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
95	67, 94	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
96	7, 34, 65, 66, 95	sq11d 13792	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833   − cmin 11027  -cneg 11028   / cdiv 11454  2c2 11850  [,]cicc 12903  ↑cexp 13600  √csqrt 14761  cosccos 15589  πcpi 15591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ioc 12905  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805  df-bc 13834  df-hash 13862  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-limsup 14997  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-ef 15592  df-sin 15594  df-cos 15595  df-pi 15597  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872  df-nei 21949  df-lp 21987  df-perf 21988  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-haus 22166  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-fil 22697  df-fm 22789  df-flim 22790  df-flf 22791  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cncf 23729  df-limc 24717  df-dv 24718

This theorem is referenced by:  tan2h  35455