Theorem cos2h 35873

Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cos2h	⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 25721	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11383	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ
3		iccssre 13262	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4	2, 1, 3	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12321	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	recoscld 15952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
8		1re 11076	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	5	recoscld 15952	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
10		readdcl 11055	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12321	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
13		cosbnd 15989	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
14	13	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
15		recoscl 15949	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
16		recn 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17		recn 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
18		subneg 11371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
19		addcom 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
20	19	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
21	18, 20	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
22	16, 17, 21	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
23	22	breq2d 5104	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
24		renegcl 11385	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
25		subge0 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
27	10	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
28		halfnneg2 12305	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
30	23, 26, 29	3bitr3d 308	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
31	15, 8, 30	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
32	14, 31	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
33	5, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
34	12, 33	resqrtcld 15228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
35	2, 1	elicc2i 13246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
36		2re 12148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39		lediv1 11941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
40	2, 38, 39	mp3an13 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
41		picn 25722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
42		2cn 12149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		2ne0 12178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44		divneg 11768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
45	41, 42, 43, 44	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
46	45	breq1i 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2))
47	40, 46	bitr4di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ -(π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
48		lediv1 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
49	1, 38, 48	mp3an23 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
51		rehalfcl 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 11126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
53		halfpire 25727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
54	53	renegcli 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
55	54	rexri 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
56	53	rexri 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
57		elicc4 13247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
58	55, 56, 57	mp3an12 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
59	52, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
60	50, 59	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
61	60	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
62	61	3impib 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
63	35, 62	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
64		cosq14ge0 25774	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
65	63, 64	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
66	12, 33	sqrtge0d 15231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
67	5	recnd 11104	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
68		ax-1cn 11030	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		coscl 15935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
70		addcl 11054	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12319	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
73	72	sqsqrtd 15250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
74		divcan2 11742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
75	42, 43, 74	mp3an23 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
76	75	fveq2d 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
77		halfcl 12299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
78		cos2t 15986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
80	76, 79	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
81	80	oveq2d 7353	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
82	81	oveq1d 7352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) = ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2))
83	77	coscld 15939	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
84	83	sqcld 13963	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
85		mulcl 11056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
86	42, 85	mpan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
87		pncan3 11330	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ) → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
88	68, 86, 87	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
89	88	oveq1d 7352	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2))
90		divcan3 11760	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
91	42, 43, 90	mp3an23 1452	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
92	89, 91	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
93	84, 92	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
94	73, 82, 93	3eqtrrd 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
95	67, 94	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
96	7, 34, 65, 66, 95	sq11d 14076	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  ℝcr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977  ℝ^*cxr 11109   < clt 11110   ≤ cle 11111   − cmin 11306  -cneg 11307   / cdiv 11733  2c2 12129  [,]cicc 13183  ↑cexp 13883  √csqrt 15043  cosccos 15873  πcpi 15875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ioc 13185  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-fac 14089  df-bc 14118  df-hash 14146  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879  df-pi 15881  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137

This theorem is referenced by:  tan2h  35874