Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cos2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2h 36982
Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
cos2h (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) = (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h
StepHypRef Expression
1 pire 26333 . . . . . . 7 ฯ€ โˆˆ โ„
21renegcli 11520 . . . . . 6 -ฯ€ โˆˆ โ„
3 iccssre 13407 . . . . . 6 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€[,]ฯ€) โІ โ„)
42, 1, 3mp2an 689 . . . . 5 (-ฯ€[,]ฯ€) โІ โ„
54sseli 3971 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65rehalfcld 12458 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„)
76recoscld 16090 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„)
8 1re 11213 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
95recoscld 16090 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
10 readdcl 11190 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
118, 9, 10sylancr 586 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1211rehalfcld 12458 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) โˆˆ โ„)
13 cosbnd 16127 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) โ‰ค 1))
1413simpld 494 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด))
15 recoscl 16087 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 recn 11197 . . . . . . . . 9 ((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
17 recn 11197 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18 subneg 11508 . . . . . . . . . 10 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
19 addcom 11399 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
2019ancoms 458 . . . . . . . . . 10 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
2118, 20eqtr4d 2767 . . . . . . . . 9 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = (1 + (cosโ€˜๐ด)))
2216, 17, 21syl2an 595 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = (1 + (cosโ€˜๐ด)))
2322breq2d 5151 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” 0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด))))
24 renegcl 11522 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
25 subge0 11726 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง -1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด)))
2624, 25sylan2 592 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด)))
2710ancoms 458 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
28 halfnneg2 12442 . . . . . . . 8 ((1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด)) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด)) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3023, 26, 293bitr3d 309 . . . . . 6 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3115, 8, 30sylancl 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3214, 31mpbid 231 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
335, 32syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
3412, 33resqrtcld 15366 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)) โˆˆ โ„)
352, 1elicc2i 13391 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง -ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€))
36 2re 12285 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
37 2pos 12314 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3836, 37pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
39 lediv1 12078 . . . . . . . . . 10 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
402, 38, 39mp3an13 1448 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
41 picn 26334 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„‚
42 2cn 12286 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
43 2ne0 12315 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
44 divneg 11905 . . . . . . . . . . 11 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ -(ฯ€ / 2) = (-ฯ€ / 2))
4541, 42, 43, 44mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 -(ฯ€ / 2) = (-ฯ€ / 2)
4645breq1i 5146 . . . . . . . . 9 (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2))
4740, 46bitr4di 289 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” -(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
48 lediv1 12078 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐ด โ‰ค ฯ€ โ†” (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
491, 38, 48mp3an23 1449 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค ฯ€ โ†” (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
5047, 49anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
51 rehalfcl 12437 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„)
5251rexrd 11263 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„*)
53 halfpire 26339 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
5453renegcli 11520 . . . . . . . . . 10 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
5554rexri 11271 . . . . . . . . 9 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
5653rexri 11271 . . . . . . . . 9 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
57 elicc4 13392 . . . . . . . . 9 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (๐ด / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
5855, 56, 57mp3an12 1447 . . . . . . . 8 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„* โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
5952, 58syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
6050, 59bitr4d 282 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†” (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2))))
6160biimpd 228 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2))))
62613impib 1113 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
6335, 62sylbi 216 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
64 cosq14ge0 26386 . . 3 ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†’ 0 โ‰ค (cosโ€˜(๐ด / 2)))
6563, 64syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค (cosโ€˜(๐ด / 2)))
6612, 33sqrtge0d 15369 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
675recnd 11241 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
68 ax-1cn 11165 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
69 coscl 16073 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
70 addcl 11189 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7168, 69, 70sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7271halfcld 12456 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) โˆˆ โ„‚)
7372sqsqrtd 15388 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2) = ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
74 divcan2 11879 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ (2 ยท (๐ด / 2)) = ๐ด)
7542, 43, 74mp3an23 1449 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐ด / 2)) = ๐ด)
7675fveq2d 6886 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = (cosโ€˜๐ด))
77 halfcl 12436 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
78 cos2t 16124 . . . . . . . 8 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
8076, 79eqtr3d 2766 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
8180oveq2d 7418 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)))
8281oveq1d 7417 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) = ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2))
8377coscld 16077 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„‚)
8483sqcld 14110 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
85 mulcl 11191 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8642, 85mpan 687 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
87 pncan3 11467 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)))
8868, 86, 87sylancr 586 . . . . . . 7 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)))
8988oveq1d 7417 . . . . . 6 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2))
90 divcan3 11897 . . . . . . 7 ((((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9142, 43, 90mp3an23 1449 . . . . . 6 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9289, 91eqtrd 2764 . . . . 5 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9384, 92syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9473, 82, 933eqtrrd 2769 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2))
9567, 94syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2))
967, 34, 65, 66, 95sq11d 14222 1 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) = (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   โІ wss 3941   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  2c2 12266  [,]cicc 13328  โ†‘cexp 14028  โˆšcsqrt 15182  cosccos 16010  ฯ€cpi 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740
This theorem is referenced by:  tan2h  36983
  Copyright terms: Public domain W3C validator