Theorem cos2h 35777

Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cos2h	⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 25624	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11291	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ
3		iccssre 13170	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4	2, 1, 3	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3918	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	recoscld 15862	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
8		1re 10984	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	5	recoscld 15862	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
10		readdcl 10963	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
13		cosbnd 15899	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
14	13	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
15		recoscl 15859	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
16		recn 10970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17		recn 10970	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
18		subneg 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
19		addcom 11170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
20	19	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
21	18, 20	eqtr4d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
22	16, 17, 21	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
23	22	breq2d 5087	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
24		renegcl 11293	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
25		subge0 11497	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
27	10	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
28		halfnneg2 12213	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
30	23, 26, 29	3bitr3d 309	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
31	15, 8, 30	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
32	14, 31	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
33	5, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
34	12, 33	resqrtcld 15138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
35	2, 1	elicc2i 13154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
36		2re 12056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39		lediv1 11849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
40	2, 38, 39	mp3an13 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
41		picn 25625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
42		2cn 12057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		2ne0 12086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44		divneg 11676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
45	41, 42, 43, 44	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
46	45	breq1i 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2))
47	40, 46	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ -(π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
48		lediv1 11849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
49	1, 38, 48	mp3an23 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
51		rehalfcl 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 11034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
53		halfpire 25630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
54	53	renegcli 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
55	54	rexri 11042	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
56	53	rexri 11042	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
57		elicc4 13155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
58	55, 56, 57	mp3an12 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
59	52, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
60	50, 59	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
61	60	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
62	61	3impib 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
63	35, 62	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
64		cosq14ge0 25677	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
65	63, 64	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
66	12, 33	sqrtge0d 15141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
67	5	recnd 11012	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
68		ax-1cn 10938	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		coscl 15845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
70		addcl 10962	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
73	72	sqsqrtd 15160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
74		divcan2 11650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
75	42, 43, 74	mp3an23 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
76	75	fveq2d 6787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
77		halfcl 12207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
78		cos2t 15896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
80	76, 79	eqtr3d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
81	80	oveq2d 7300	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
82	81	oveq1d 7299	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) = ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2))
83	77	coscld 15849	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
84	83	sqcld 13871	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
85		mulcl 10964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
86	42, 85	mpan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
87		pncan3 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ) → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
88	68, 86, 87	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
89	88	oveq1d 7299	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2))
90		divcan3 11668	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
91	42, 43, 90	mp3an23 1452	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
92	89, 91	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
93	84, 92	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
94	73, 82, 93	3eqtrrd 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
95	67, 94	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
96	7, 34, 65, 66, 95	sq11d 13984	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944   ⊆ wss 3888   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  ℝ^*cxr 11017   < clt 11018   ≤ cle 11019   − cmin 11214  -cneg 11215   / cdiv 11641  2c2 12037  [,]cicc 13091  ↑cexp 13791  √csqrt 14953  cosccos 15783  πcpi 15785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-pi 15791  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040

This theorem is referenced by:  tan2h  35778