Theorem cos2h 37598

Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cos2h	⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26515	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11568	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ
3		iccssre 13466	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4	2, 1, 3	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3991	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12511	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	recoscld 16177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
8		1re 11259	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	5	recoscld 16177	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
10		readdcl 11236	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12511	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
13		cosbnd 16214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
14	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
15		recoscl 16174	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
16		recn 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17		recn 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
18		subneg 11556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
19		addcom 11445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
20	19	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
21	18, 20	eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
22	16, 17, 21	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
23	22	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
24		renegcl 11570	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
25		subge0 11774	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
27	10	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
28		halfnneg2 12495	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
30	23, 26, 29	3bitr3d 309	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
31	15, 8, 30	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
32	14, 31	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
33	5, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
34	12, 33	resqrtcld 15453	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
35	2, 1	elicc2i 13450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
36		2re 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39		lediv1 12131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
40	2, 38, 39	mp3an13 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
41		picn 26516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
42		2cn 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		2ne0 12368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44		divneg 11957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
45	41, 42, 43, 44	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
46	45	breq1i 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2))
47	40, 46	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ -(π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
48		lediv1 12131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
49	1, 38, 48	mp3an23 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
51		rehalfcl 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
53		halfpire 26521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
54	53	renegcli 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
55	54	rexri 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
56	53	rexri 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
57		elicc4 13451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
58	55, 56, 57	mp3an12 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
59	52, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
60	50, 59	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
61	60	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
62	61	3impib 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
63	35, 62	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
64		cosq14ge0 26568	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
65	63, 64	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
66	12, 33	sqrtge0d 15456	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
67	5	recnd 11287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
68		ax-1cn 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		coscl 16160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
70		addcl 11235	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12509	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
73	72	sqsqrtd 15475	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
74		divcan2 11928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
75	42, 43, 74	mp3an23 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
76	75	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
77		halfcl 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
78		cos2t 16211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
80	76, 79	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
81	80	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
82	81	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) = ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2))
83	77	coscld 16164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
84	83	sqcld 14181	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
85		mulcl 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
86	42, 85	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
87		pncan3 11514	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ) → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
88	68, 86, 87	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
89	88	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2))
90		divcan3 11946	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
91	42, 43, 90	mp3an23 1452	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
92	89, 91	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
93	84, 92	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
94	73, 82, 93	3eqtrrd 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
95	67, 94	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
96	7, 34, 65, 66, 95	sq11d 14294	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  [,]cicc 13387  ↑cexp 14099  √csqrt 15269  cosccos 16097  πcpi 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  tan2h  37599