Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cos2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2h 34360
Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
cos2h (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h
StepHypRef Expression
1 pire 24715 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
21renegcli 10784 . . . . . 6 -π ∈ ℝ
3 iccssre 12657 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
42, 1, 3mp2an 688 . . . . 5 (-π[,]π) ⊆ ℝ
54sseli 3880 . . . 4 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
65rehalfcld 11721 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76recoscld 15318 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
8 1re 10476 . . . . 5 1 ∈ ℝ
95recoscld 15318 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
10 readdcl 10455 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1211rehalfcld 11721 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
13 cosbnd 15355 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1413simpld 495 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
15 recoscl 15315 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
16 recn 10462 . . . . . . . . 9 ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17 recn 10462 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
18 subneg 10772 . . . . . . . . . 10 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
19 addcom 10662 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
2019ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) + 1))
2118, 20eqtr4d 2832 . . . . . . . . 9 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
2216, 17, 21syl2an 595 . . . . . . . 8 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
2322breq2d 4968 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
24 renegcl 10786 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
25 subge0 10990 . . . . . . . 8 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
2624, 25sylan2 592 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
2710ancoms 459 . . . . . . . 8 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
28 halfnneg2 11705 . . . . . . . 8 ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
3023, 26, 293bitr3d 310 . . . . . 6 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
3115, 8, 30sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
3214, 31mpbid 233 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
335, 32syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
3412, 33resqrtcld 14599 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
352, 1elicc2i 12641 . . . 4 (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
36 2re 11548 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
37 2pos 11577 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3836, 37pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39 lediv1 11342 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
402, 38, 39mp3an13 1442 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
41 picn 24716 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
42 2cn 11549 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
43 2ne0 11578 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
44 divneg 11169 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
4541, 42, 43, 44mp3an 1451 . . . . . . . . . 10 -(π / 2) = (-π / 2)
4645breq1i 4963 . . . . . . . . 9 (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) ≤ (𝐴 / 2))
4740, 46syl6bbr 290 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-π ≤ 𝐴 ↔ -(π / 2) ≤ (𝐴 / 2)))
48 lediv1 11342 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
491, 38, 48mp3an23 1443 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2)))
5047, 49anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
51 rehalfcl 11700 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
5251rexrd 10526 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
53 halfpire 24721 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
5453renegcli 10784 . . . . . . . . . 10 -(π / 2) ∈ ℝ
5554rexri 10535 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ*
5653rexri 10535 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ*
57 elicc4 12642 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
5855, 56, 57mp3an12 1441 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
5952, 58syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (-(π / 2) ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ (π / 2))))
6050, 59bitr4d 283 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
6160biimpd 230 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))))
62613impib 1107 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
6335, 62sylbi 218 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
64 cosq14ge0 24768 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
6563, 64syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
6612, 33sqrtge0d 14602 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
675recnd 10504 . . 3 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
68 ax-1cn 10430 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
69 coscl 15301 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
70 addcl 10454 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
7168, 69, 70sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
7271halfcld 11719 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
7372sqsqrtd 14621 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))
74 divcan2 11143 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7542, 43, 74mp3an23 1443 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7675fveq2d 6534 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
77 halfcl 11699 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
78 cos2t 15352 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
8076, 79eqtr3d 2831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
8180oveq2d 7023 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
8281oveq1d 7022 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) = ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2))
8377coscld 15305 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
8483sqcld 13346 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
85 mulcl 10456 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
8642, 85mpan 686 . . . . . . . 8 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
87 pncan3 10730 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ) → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8868, 86, 87sylancr 587 . . . . . . 7 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → (1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8988oveq1d 7022 . . . . . 6 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2))
90 divcan3 11161 . . . . . . 7 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
9142, 43, 90mp3an23 1443 . . . . . 6 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
9289, 91eqtrd 2829 . . . . 5 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
9384, 92syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) / 2) = ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))
9473, 82, 933eqtrrd 2834 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
9567, 94syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
967, 34, 65, 66, 95sq11d 13459 1 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wss 3854   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  *cxr 10509   < clt 10510  cle 10511  cmin 10706  -cneg 10707   / cdiv 11134  2c2 11529  [,]cicc 12580  cexp 13267  csqrt 14414  cosccos 15239  πcpi 15241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-ioc 12582  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-fac 13472  df-bc 13501  df-hash 13529  df-shft 14248  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-limsup 14650  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-ef 15242  df-sin 15244  df-cos 15245  df-pi 15247  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cld 21299  df-ntr 21300  df-cls 21301  df-nei 21378  df-lp 21416  df-perf 21417  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-haus 21595  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-fil 22126  df-fm 22218  df-flim 22219  df-flf 22220  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603  df-cncf 23157  df-limc 24135  df-dv 24136
This theorem is referenced by:  tan2h  34361
  Copyright terms: Public domain W3C validator