Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cos2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2h 37084
Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
cos2h (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) = (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h
StepHypRef Expression
1 pire 26392 . . . . . . 7 ฯ€ โˆˆ โ„
21renegcli 11551 . . . . . 6 -ฯ€ โˆˆ โ„
3 iccssre 13438 . . . . . 6 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€[,]ฯ€) โІ โ„)
42, 1, 3mp2an 691 . . . . 5 (-ฯ€[,]ฯ€) โІ โ„
54sseli 3976 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65rehalfcld 12489 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„)
76recoscld 16120 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„)
8 1re 11244 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
95recoscld 16120 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
10 readdcl 11221 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
118, 9, 10sylancr 586 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1211rehalfcld 12489 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) โˆˆ โ„)
13 cosbnd 16157 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) โ‰ค 1))
1413simpld 494 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด))
15 recoscl 16117 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 recn 11228 . . . . . . . . 9 ((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
17 recn 11228 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18 subneg 11539 . . . . . . . . . 10 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
19 addcom 11430 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
2019ancoms 458 . . . . . . . . . 10 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
2118, 20eqtr4d 2771 . . . . . . . . 9 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = (1 + (cosโ€˜๐ด)))
2216, 17, 21syl2an 595 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = (1 + (cosโ€˜๐ด)))
2322breq2d 5160 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” 0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด))))
24 renegcl 11553 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
25 subge0 11757 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง -1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด)))
2624, 25sylan2 592 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด)))
2710ancoms 458 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
28 halfnneg2 12473 . . . . . . . 8 ((1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด)) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด)) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3023, 26, 293bitr3d 309 . . . . . 6 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3115, 8, 30sylancl 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3214, 31mpbid 231 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
335, 32syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
3412, 33resqrtcld 15396 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)) โˆˆ โ„)
352, 1elicc2i 13422 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง -ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€))
36 2re 12316 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
37 2pos 12345 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3836, 37pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
39 lediv1 12109 . . . . . . . . . 10 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
402, 38, 39mp3an13 1449 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
41 picn 26393 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„‚
42 2cn 12317 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
43 2ne0 12346 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
44 divneg 11936 . . . . . . . . . . 11 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ -(ฯ€ / 2) = (-ฯ€ / 2))
4541, 42, 43, 44mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 -(ฯ€ / 2) = (-ฯ€ / 2)
4645breq1i 5155 . . . . . . . . 9 (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2))
4740, 46bitr4di 289 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” -(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
48 lediv1 12109 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐ด โ‰ค ฯ€ โ†” (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
491, 38, 48mp3an23 1450 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค ฯ€ โ†” (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
5047, 49anbi12d 631 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
51 rehalfcl 12468 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„)
5251rexrd 11294 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„*)
53 halfpire 26398 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
5453renegcli 11551 . . . . . . . . . 10 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
5554rexri 11302 . . . . . . . . 9 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
5653rexri 11302 . . . . . . . . 9 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
57 elicc4 13423 . . . . . . . . 9 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (๐ด / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
5855, 56, 57mp3an12 1448 . . . . . . . 8 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„* โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
5952, 58syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
6050, 59bitr4d 282 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†” (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2))))
6160biimpd 228 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2))))
62613impib 1114 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
6335, 62sylbi 216 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
64 cosq14ge0 26445 . . 3 ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†’ 0 โ‰ค (cosโ€˜(๐ด / 2)))
6563, 64syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค (cosโ€˜(๐ด / 2)))
6612, 33sqrtge0d 15399 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
675recnd 11272 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
68 ax-1cn 11196 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
69 coscl 16103 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
70 addcl 11220 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7168, 69, 70sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7271halfcld 12487 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) โˆˆ โ„‚)
7372sqsqrtd 15418 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2) = ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
74 divcan2 11910 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ (2 ยท (๐ด / 2)) = ๐ด)
7542, 43, 74mp3an23 1450 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐ด / 2)) = ๐ด)
7675fveq2d 6901 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = (cosโ€˜๐ด))
77 halfcl 12467 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
78 cos2t 16154 . . . . . . . 8 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
8076, 79eqtr3d 2770 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
8180oveq2d 7436 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)))
8281oveq1d 7435 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) = ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2))
8377coscld 16107 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„‚)
8483sqcld 14140 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
85 mulcl 11222 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8642, 85mpan 689 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
87 pncan3 11498 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)))
8868, 86, 87sylancr 586 . . . . . . 7 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)))
8988oveq1d 7435 . . . . . 6 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2))
90 divcan3 11928 . . . . . . 7 ((((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9142, 43, 90mp3an23 1450 . . . . . 6 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9289, 91eqtrd 2768 . . . . 5 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9384, 92syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9473, 82, 933eqtrrd 2773 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2))
9567, 94syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2))
967, 34, 65, 66, 95sq11d 14252 1 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) = (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   โІ wss 3947   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  โ„*cxr 11277   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  2c2 12297  [,]cicc 13359  โ†‘cexp 14058  โˆšcsqrt 15212  cosccos 16040  ฯ€cpi 16042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795
This theorem is referenced by:  tan2h  37085
  Copyright terms: Public domain W3C validator