Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cos2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2h 36098
Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
cos2h (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) = (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))

Proof of Theorem cos2h
StepHypRef Expression
1 pire 25831 . . . . . . 7 ฯ€ โˆˆ โ„
21renegcli 11469 . . . . . 6 -ฯ€ โˆˆ โ„
3 iccssre 13353 . . . . . 6 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€[,]ฯ€) โŠ† โ„)
42, 1, 3mp2an 691 . . . . 5 (-ฯ€[,]ฯ€) โŠ† โ„
54sseli 3945 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65rehalfcld 12407 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„)
76recoscld 16033 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„)
8 1re 11162 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
95recoscld 16033 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
10 readdcl 11141 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
118, 9, 10sylancr 588 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1211rehalfcld 12407 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) โˆˆ โ„)
13 cosbnd 16070 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) โ‰ค 1))
1413simpld 496 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด))
15 recoscl 16030 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 recn 11148 . . . . . . . . 9 ((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
17 recn 11148 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18 subneg 11457 . . . . . . . . . 10 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
19 addcom 11348 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
2019ancoms 460 . . . . . . . . . 10 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = ((cosโ€˜๐ด) + 1))
2118, 20eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = (1 + (cosโ€˜๐ด)))
2216, 17, 21syl2an 597 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) = (1 + (cosโ€˜๐ด)))
2322breq2d 5122 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” 0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด))))
24 renegcl 11471 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
25 subge0 11675 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง -1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด)))
2624, 25sylan2 594 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ -1) โ†” -1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด)))
2710ancoms 460 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
28 halfnneg2 12391 . . . . . . . 8 ((1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด)) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 + (cosโ€˜๐ด)) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3023, 26, 293bitr3d 309 . . . . . 6 (((cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3115, 8, 30sylancl 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค (cosโ€˜๐ด) โ†” 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
3214, 31mpbid 231 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
335, 32syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
3412, 33resqrtcld 15309 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)) โˆˆ โ„)
352, 1elicc2i 13337 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง -ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€))
36 2re 12234 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
37 2pos 12263 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3836, 37pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
39 lediv1 12027 . . . . . . . . . 10 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
402, 38, 39mp3an13 1453 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
41 picn 25832 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„‚
42 2cn 12235 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
43 2ne0 12264 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
44 divneg 11854 . . . . . . . . . . 11 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ -(ฯ€ / 2) = (-ฯ€ / 2))
4541, 42, 43, 44mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 -(ฯ€ / 2) = (-ฯ€ / 2)
4645breq1i 5117 . . . . . . . . 9 (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โ†” (-ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2))
4740, 46bitr4di 289 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-ฯ€ โ‰ค ๐ด โ†” -(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2)))
48 lediv1 12027 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐ด โ‰ค ฯ€ โ†” (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
491, 38, 48mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค ฯ€ โ†” (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
5047, 49anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
51 rehalfcl 12386 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„)
5251rexrd 11212 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„*)
53 halfpire 25837 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
5453renegcli 11469 . . . . . . . . . 10 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
5554rexri 11220 . . . . . . . . 9 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
5653rexri 11220 . . . . . . . . 9 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
57 elicc4 13338 . . . . . . . . 9 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (๐ด / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
5855, 56, 57mp3an12 1452 . . . . . . . 8 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„* โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
5952, 58syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (๐ด / 2) โˆง (๐ด / 2) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
6050, 59bitr4d 282 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†” (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2))))
6160biimpd 228 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2))))
62613impib 1117 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -ฯ€ โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
6335, 62sylbi 216 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
64 cosq14ge0 25884 . . 3 ((๐ด / 2) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†’ 0 โ‰ค (cosโ€˜(๐ด / 2)))
6563, 64syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค (cosโ€˜(๐ด / 2)))
6612, 33sqrtge0d 15312 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
675recnd 11190 . . 3 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
68 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
69 coscl 16016 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
70 addcl 11140 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7168, 69, 70sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7271halfcld 12405 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) โˆˆ โ„‚)
7372sqsqrtd 15331 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2) = ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))
74 divcan2 11828 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ (2 ยท (๐ด / 2)) = ๐ด)
7542, 43, 74mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐ด / 2)) = ๐ด)
7675fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = (cosโ€˜๐ด))
77 halfcl 12385 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
78 cos2t 16067 . . . . . . . 8 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
8076, 79eqtr3d 2779 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1))
8180oveq2d 7378 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (cosโ€˜๐ด)) = (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)))
8281oveq1d 7377 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2) = ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2))
8377coscld 16020 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„‚)
8483sqcld 14056 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
85 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8642, 85mpan 689 . . . . . . . 8 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
87 pncan3 11416 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)))
8868, 86, 87sylancr 588 . . . . . . 7 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) = (2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)))
8988oveq1d 7377 . . . . . 6 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2))
90 divcan3 11846 . . . . . . 7 ((((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9142, 43, 90mp3an23 1454 . . . . . 6 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9289, 91eqtrd 2777 . . . . 5 (((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9384, 92syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ((2 ยท ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2)) โˆ’ 1)) / 2) = ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2))
9473, 82, 933eqtrrd 2782 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2))
9567, 94syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ ((cosโ€˜(๐ด / 2))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2))โ†‘2))
967, 34, 65, 66, 95sq11d 14168 1 (๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€) โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) = (โˆšโ€˜((1 + (cosโ€˜๐ด)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  [,]cicc 13274  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125  cosccos 15954  ฯ€cpi 15956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  tan2h  36099
  Copyright terms: Public domain W3C validator