MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facavg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facavg 14265
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0readdcl 12542 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„)
21rehalfcld 12463 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„)
3 flle 13768 . . . . 5 (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
5 reflcl 13765 . . . . . 6 (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„)
7 nn0re 12485 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
87adantr 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
9 letr 11312 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
106, 2, 8, 9syl3anc 1371 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
114, 10mpand 693 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
12 nn0addcl 12511 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1312nn0ge0d 12539 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘))
14 halfnneg2 12447 . . . . . . 7 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)))
151, 14syl 17 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)))
1613, 15mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
17 flge0nn0 13789 . . . . 5 ((((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0)
182, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0)
19 simpl 483 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
20 facwordi 14253 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
21203exp 1119 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))))
2218, 19, 21sylc 65 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
23 faccl 14247 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
2423nncnd 12232 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2524mulridd 11235 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) = (!โ€˜๐‘€))
2625adantr 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) = (!โ€˜๐‘€))
27 faccl 14247 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2827nnred 12231 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
2928adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
3023nnred 12231 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
3123nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
3231nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
3330, 32jca 512 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
3527nnge1d 12264 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
3635adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
37 1re 11218 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
38 lemul2a 12073 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
3937, 38mp3anl1 1455 . . . . . 6 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4029, 34, 36, 39syl21anc 836 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4126, 40eqbrtrrd 5172 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4218faccld 14248 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„•)
4342nnred 12231 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„)
4430adantr 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
45 remulcl 11197 . . . . . 6 (((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
4630, 28, 45syl2an 596 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
47 letr 11312 . . . . 5 (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โˆง (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
4843, 44, 46, 47syl3anc 1371 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โˆง (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
4941, 48mpan2d 692 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
5011, 22, 493syld 60 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
51 nn0re 12485 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5251adantl 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
53 letr 11312 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
546, 2, 52, 53syl3anc 1371 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
554, 54mpand 693 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
56 simpr 485 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
57 facwordi 14253 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
58573exp 1119 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘))))
5918, 56, 58sylc 65 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6027nncnd 12232 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6160mullidd 11236 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) = (!โ€˜๐‘))
6261adantl 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) = (!โ€˜๐‘))
6327nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
6463nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
6528, 64jca 512 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6665adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6723nnge1d 12264 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
6867adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
69 lemul1a 12072 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7037, 69mp3anl1 1455 . . . . . 6 ((((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7144, 66, 68, 70syl21anc 836 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7262, 71eqbrtrrd 5172 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
73 letr 11312 . . . . 5 (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7443, 29, 46, 73syl3anc 1371 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7572, 74mpan2d 692 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7655, 59, 753syld 60 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
77 avgle 12458 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โˆจ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘))
787, 51, 77syl2an 596 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โˆจ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘))
7950, 76, 78mpjaod 858 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โŒŠcfl 13759  !cfa 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13761  df-seq 13971  df-fac 14238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator