MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facavg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facavg 14261
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0readdcl 12538 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„)
21rehalfcld 12459 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„)
3 flle 13764 . . . . 5 (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
5 reflcl 13761 . . . . . 6 (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„)
7 nn0re 12481 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
87adantr 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
9 letr 11308 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
106, 2, 8, 9syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
114, 10mpand 694 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
12 nn0addcl 12507 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1312nn0ge0d 12535 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘))
14 halfnneg2 12443 . . . . . . 7 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)))
151, 14syl 17 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)))
1613, 15mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
17 flge0nn0 13785 . . . . 5 ((((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0)
182, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0)
19 simpl 484 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
20 facwordi 14249 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
21203exp 1120 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))))
2218, 19, 21sylc 65 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
23 faccl 14243 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
2423nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2524mulridd 11231 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) = (!โ€˜๐‘€))
2625adantr 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) = (!โ€˜๐‘€))
27 faccl 14243 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2827nnred 12227 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
2928adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
3023nnred 12227 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
3123nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
3231nn0ge0d 12535 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
3330, 32jca 513 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
3527nnge1d 12260 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
3635adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
37 1re 11214 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
38 lemul2a 12069 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
3937, 38mp3anl1 1456 . . . . . 6 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4029, 34, 36, 39syl21anc 837 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4126, 40eqbrtrrd 5173 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4218faccld 14244 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„•)
4342nnred 12227 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„)
4430adantr 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
45 remulcl 11195 . . . . . 6 (((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
4630, 28, 45syl2an 597 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
47 letr 11308 . . . . 5 (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โˆง (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
4843, 44, 46, 47syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โˆง (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
4941, 48mpan2d 693 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
5011, 22, 493syld 60 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
51 nn0re 12481 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5251adantl 483 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
53 letr 11308 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
546, 2, 52, 53syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
554, 54mpand 694 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
56 simpr 486 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
57 facwordi 14249 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
58573exp 1120 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘))))
5918, 56, 58sylc 65 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6027nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6160mullidd 11232 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) = (!โ€˜๐‘))
6261adantl 483 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) = (!โ€˜๐‘))
6327nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
6463nn0ge0d 12535 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
6528, 64jca 513 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6665adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6723nnge1d 12260 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
6867adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
69 lemul1a 12068 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7037, 69mp3anl1 1456 . . . . . 6 ((((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7144, 66, 68, 70syl21anc 837 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7262, 71eqbrtrrd 5173 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
73 letr 11308 . . . . 5 (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7443, 29, 46, 73syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7572, 74mpan2d 693 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7655, 59, 753syld 60 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
77 avgle 12454 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โˆจ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘))
787, 51, 77syl2an 597 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โˆจ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘))
7950, 76, 78mpjaod 859 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โŒŠcfl 13755  !cfa 14233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fl 13757  df-seq 13967  df-fac 14234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator