MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facavg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facavg 14207
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0readdcl 12484 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„)
21rehalfcld 12405 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„)
3 flle 13710 . . . . 5 (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
5 reflcl 13707 . . . . . 6 (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„)
7 nn0re 12427 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
87adantr 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
9 letr 11254 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
106, 2, 8, 9syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
114, 10mpand 694 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
12 nn0addcl 12453 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1312nn0ge0d 12481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘))
14 halfnneg2 12389 . . . . . . 7 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)))
151, 14syl 17 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)))
1613, 15mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
17 flge0nn0 13731 . . . . 5 ((((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0)
182, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0)
19 simpl 484 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
20 facwordi 14195 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
21203exp 1120 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))))
2218, 19, 21sylc 65 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
23 faccl 14189 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
2423nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2524mulid1d 11177 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) = (!โ€˜๐‘€))
2625adantr 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) = (!โ€˜๐‘€))
27 faccl 14189 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2827nnred 12173 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
2928adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
3023nnred 12173 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
3123nnnn0d 12478 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
3231nn0ge0d 12481 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
3330, 32jca 513 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
3527nnge1d 12206 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
3635adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
37 1re 11160 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
38 lemul2a 12015 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
3937, 38mp3anl1 1456 . . . . . 6 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4029, 34, 36, 39syl21anc 837 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4126, 40eqbrtrrd 5130 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4218faccld 14190 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„•)
4342nnred 12173 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„)
4430adantr 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
45 remulcl 11141 . . . . . 6 (((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
4630, 28, 45syl2an 597 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
47 letr 11254 . . . . 5 (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โˆง (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
4843, 44, 46, 47syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โˆง (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
4941, 48mpan2d 693 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
5011, 22, 493syld 60 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
51 nn0re 12427 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5251adantl 483 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
53 letr 11254 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
546, 2, 52, 53syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
554, 54mpand 694 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
56 simpr 486 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
57 facwordi 14195 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
58573exp 1120 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘))))
5918, 56, 58sylc 65 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6027nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6160mulid2d 11178 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) = (!โ€˜๐‘))
6261adantl 483 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) = (!โ€˜๐‘))
6327nnnn0d 12478 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
6463nn0ge0d 12481 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
6528, 64jca 513 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6665adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6723nnge1d 12206 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
6867adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
69 lemul1a 12014 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7037, 69mp3anl1 1456 . . . . . 6 ((((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7144, 66, 68, 70syl21anc 837 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7262, 71eqbrtrrd 5130 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
73 letr 11254 . . . . 5 (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7443, 29, 46, 73syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7572, 74mpan2d 693 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7655, 59, 753syld 60 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
77 avgle 12400 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โˆจ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘))
787, 51, 77syl2an 597 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โˆจ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘))
7950, 76, 78mpjaod 859 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โŒŠcfl 13701  !cfa 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fl 13703  df-seq 13913  df-fac 14180
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator