Theorem halfpos 11868

Description: A positive number is greater than its half. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
halfpos	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))

Proof of Theorem halfpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpos2 11867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
2		rehalfcl 11864	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	2, 2	ltaddposd 11224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 / 2) ↔ (𝐴 / 2) < ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2))))
4		recn 10627	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		2halves 11866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7	6	breq2d 5078	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) < ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))
8	1, 3, 7	3bitrd 307	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537   + caddc 10540   < clt 10675   / cdiv 11297  2c2 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701

This theorem is referenced by:  nominpos  11875  rphalflt  12419  ssblex  23038  stoweidlem52  42357  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515