Theorem ssblex 24753

Description: A nested ball exists whose radius is less than any desired amount. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ssblex	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ssblex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2	1	rphalfcld 13180	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
3		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ifcld 4528	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13168	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ)
6	2	rpred 13168	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
7	1	rpred 13168	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8	3	rpred 13168	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		min1 13323	. . . 4 ⊢ (((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ (𝑅 / 2))
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ (𝑅 / 2))
11	1	rpgt0d 13171	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
12		halfpos 12580	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (0 < 𝑅 ↔ (𝑅 / 2) < 𝑅))
13	7, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (0 < 𝑅 ↔ (𝑅 / 2) < 𝑅))
14	11, 13	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) < 𝑅)
15	5, 6, 7, 10, 14	lelttrd 11472	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅)
16		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
17	4	rpxrd 13169	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ*)
18	3	rpxrd 13169	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
19		min2 13324	. . . 4 ⊢ (((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆)
20	6, 8, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆)
21		ssbl 24748	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
22	16, 17, 18, 20, 21	syl121anc 1402	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
23		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → (𝑥 < 𝑅 ↔ if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅))
24		oveq2 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) = (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)))
25	24	sseq1d 3939	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
26	23, 25	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → ((𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))))
27	26	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ+ ∧ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
28	4, 15, 22, 27	syl12anc 850	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348   / cdiv 11977  2c2 12401  ℝ⁺crp 13124  ∞Metcxmet 21669  ballcbl 21671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-bl 21679

This theorem is used by:  mopni3  24819