Theorem ssblex 22453

Description: A nested ball exists whose radius is less than any desired amount. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ssblex	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ssblex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 746	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2	1	rphalfcld 12087	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
3		simprr 748	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ifcld 4270	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12075	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ)
6	2	rpred 12075	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
7	1	rpred 12075	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8	3	rpred 12075	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		min1 12225	. . . 4 ⊢ (((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ (𝑅 / 2))
10	6, 8, 9	syl2anc 565	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ (𝑅 / 2))
11	1	rpgt0d 12078	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
12		halfpos 11464	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (0 < 𝑅 ↔ (𝑅 / 2) < 𝑅))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (0 < 𝑅 ↔ (𝑅 / 2) < 𝑅))
14	11, 13	mpbid 222	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) < 𝑅)
15	5, 6, 7, 10, 14	lelttrd 10397	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅)
16		simpl 468	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
17	4	rpxrd 12076	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ*)
18	3	rpxrd 12076	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
19		min2 12226	. . . 4 ⊢ (((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆)
20	6, 8, 19	syl2anc 565	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆)
21		ssbl 22448	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
22	16, 17, 18, 20, 21	syl121anc 1481	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
23		breq1 4789	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → (𝑥 < 𝑅 ↔ if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅))
24		oveq2 6801	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) = (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)))
25	24	sseq1d 3781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
26	23, 25	anbi12d 608	. . 3 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → ((𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))))
27	26	rspcev 3460	. 2 ⊢ ((if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ+ ∧ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
28	4, 15, 22, 27	syl12anc 1474	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3723  ifcif 4225   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  0cc0 10138  ℝ^*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277   / cdiv 10886  2c2 11272  ℝ⁺crp 12035  ∞Metcxmt 19946  ballcbl 19948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956

This theorem is referenced by:  mopni3  22519