Theorem ssblex 24780

Description: A nested ball exists whose radius is less than any desired amount. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ssblex	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ssblex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2	1	rphalfcld 13206	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
3		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ifcld 4532	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13194	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ)
6	2	rpred 13194	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
7	1	rpred 13194	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8	3	rpred 13194	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		min1 13349	. . . 4 ⊢ (((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ (𝑅 / 2))
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ (𝑅 / 2))
11	1	rpgt0d 13197	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
12		halfpos 12606	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (0 < 𝑅 ↔ (𝑅 / 2) < 𝑅))
13	7, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (0 < 𝑅 ↔ (𝑅 / 2) < 𝑅))
14	11, 13	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) < 𝑅)
15	5, 6, 7, 10, 14	lelttrd 11498	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅)
16		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
17	4	rpxrd 13195	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ*)
18	3	rpxrd 13195	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
19		min2 13350	. . . 4 ⊢ (((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆)
20	6, 8, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆)
21		ssbl 24775	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
22	16, 17, 18, 20, 21	syl121anc 1403	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
23		breq1 5109	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → (𝑥 < 𝑅 ↔ if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅))
24		oveq2 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) = (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)))
25	24	sseq1d 3944	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
26	23, 25	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → ((𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))))
27	26	rspcev 3580	. 2 ⊢ ((if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ+ ∧ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
28	4, 15, 22, 27	syl12anc 850	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374   / cdiv 12003  2c2 12427  ℝ⁺crp 13150  ∞Metcxmet 21696  ballcbl 21698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-bl 21706

This theorem is used by:  mopni3  24846