Theorem ssblex 24341

Description: A nested ball exists whose radius is less than any desired amount. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ssblex	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ssblex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2	1	rphalfcld 12943	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
3		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ifcld 4522	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12931	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ)
6	2	rpred 12931	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
7	1	rpred 12931	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8	3	rpred 12931	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		min1 13085	. . . 4 ⊢ (((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ (𝑅 / 2))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ (𝑅 / 2))
11	1	rpgt0d 12934	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
12		halfpos 12348	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (0 < 𝑅 ↔ (𝑅 / 2) < 𝑅))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (0 < 𝑅 ↔ (𝑅 / 2) < 𝑅))
14	11, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑅 / 2) < 𝑅)
15	5, 6, 7, 10, 14	lelttrd 11268	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅)
16		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
17	4	rpxrd 12932	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ*)
18	3	rpxrd 12932	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
19		min2 13086	. . . 4 ⊢ (((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆)
20	6, 8, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆)
21		ssbl 24336	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ≤ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
22	16, 17, 18, 20, 21	syl121anc 1377	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
23		breq1 5094	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → (𝑥 < 𝑅 ↔ if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅))
24		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) = (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)))
25	24	sseq1d 3966	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
26	23, 25	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) → ((𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))))
27	26	rspcev 3577	. 2 ⊢ ((if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) ∈ ℝ+ ∧ (if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆) < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)if((𝑅 / 2) ≤ 𝑆, (𝑅 / 2), 𝑆)) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
28	4, 15, 22, 27	syl12anc 836	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑅 ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  ifcif 4475   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144   / cdiv 11771  2c2 12177  ℝ⁺crp 12887  ∞Metcxmet 21274  ballcbl 21276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-bl 21284

This theorem is referenced by:  mopni3  24407