MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nominpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nominpos 12474
Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nominpos ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nominpos
StepHypRef Expression
1 rehalfcl 12463 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2 2re 12311 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 2pos 12340 . . . . . . 7 0 < 2
4 divgt0 12107 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑥 / 2))
52, 3, 4mpanr12 704 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 0 < (𝑥 / 2))
65ex 412 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 0 < (𝑥 / 2)))
7 halfpos 12467 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
87biimpd 228 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (𝑥 / 2) < 𝑥))
96, 8jcad 512 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
10 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑥 / 2)))
11 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
1210, 11anbi12d 631 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
1312rspcev 3608 . . . 4 (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
141, 9, 13syl6an 683 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
15 iman 401 . . 3 ((0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)) ↔ ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
1614, 15sylib 217 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
1716nrex 3070 1 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3066   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cr 11132  0cc0 11133   < clt 11273   / cdiv 11896  2c2 12292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-2 12300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator