MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nominpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nominpos 12453
Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nominpos ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nominpos
StepHypRef Expression
1 rehalfcl 12442 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2 2re 12290 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 2pos 12319 . . . . . . 7 0 < 2
4 divgt0 12086 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑥 / 2))
52, 3, 4mpanr12 702 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 0 < (𝑥 / 2))
65ex 412 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 0 < (𝑥 / 2)))
7 halfpos 12446 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
87biimpd 228 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (𝑥 / 2) < 𝑥))
96, 8jcad 512 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
10 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑥 / 2)))
11 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
1210, 11anbi12d 630 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
1312rspcev 3606 . . . 4 (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
141, 9, 13syl6an 681 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
15 iman 401 . . 3 ((0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)) ↔ ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
1614, 15sylib 217 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
1716nrex 3068 1 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  cr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   / cdiv 11875  2c2 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator