MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nominpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nominpos 11863
Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nominpos ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nominpos
StepHypRef Expression
1 rehalfcl 11852 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2 2re 11700 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 2pos 11729 . . . . . . 7 0 < 2
4 divgt0 11497 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑥 / 2))
52, 3, 4mpanr12 701 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 0 < (𝑥 / 2))
65ex 413 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 0 < (𝑥 / 2)))
7 halfpos 11856 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
87biimpd 230 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (𝑥 / 2) < 𝑥))
96, 8jcad 513 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
10 breq2 5062 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑥 / 2)))
11 breq1 5061 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
1210, 11anbi12d 630 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
1312rspcev 3622 . . . 4 (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
141, 9, 13syl6an 680 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
15 iman 402 . . 3 ((0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)) ↔ ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
1614, 15sylib 219 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
1716nrex 3269 1 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3139   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  cr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   / cdiv 11286  2c2 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator