Theorem nominpos 12448

Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nominpos	⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nominpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcl 12437	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2		2re 12285	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2pos 12314	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
4		divgt0 12081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑥 / 2))
5	2, 3, 4	mpanr12 703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 0 < (𝑥 / 2))
6	5	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 0 < (𝑥 / 2)))
7		halfpos 12441	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
8	7	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (𝑥 / 2) < 𝑥))
9	6, 8	jcad 513	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
10		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑥 / 2)))
11		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
12	10, 11	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
13	12	rspcev 3612	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))
14	1, 9, 13	syl6an 682	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
15		iman 402	. . 3 ⊢ ((0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)) ↔ ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
16	14, 15	sylib 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
17	16	nrex 3074	1 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109   < clt 11247   / cdiv 11870  2c2 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274

This theorem is referenced by: (None)