![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > leop3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Operator ordering in terms of a positive operator. Definition of operator ordering in [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
leop3 | โข ((๐ โ HrmOp โง ๐ โ HrmOp) โ (๐ โคop ๐ โ 0hop โคop (๐ โop ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | leop 30951 | . 2 โข ((๐ โ HrmOp โง ๐ โ HrmOp) โ (๐ โคop ๐ โ โ๐ฅ โ โ 0 โค (((๐ โop ๐)โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ))) | |
2 | 0hmop 30811 | . . . 4 โข 0hop โ HrmOp | |
3 | hmopd 30850 | . . . . 5 โข ((๐ โ HrmOp โง ๐ โ HrmOp) โ (๐ โop ๐) โ HrmOp) | |
4 | 3 | ancoms 459 | . . . 4 โข ((๐ โ HrmOp โง ๐ โ HrmOp) โ (๐ โop ๐) โ HrmOp) |
5 | leop2 30952 | . . . 4 โข (( 0hop โ HrmOp โง (๐ โop ๐) โ HrmOp) โ ( 0hop โคop (๐ โop ๐) โ โ๐ฅ โ โ (( 0hop โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) โค (((๐ โop ๐)โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ))) | |
6 | 2, 4, 5 | sylancr 587 | . . 3 โข ((๐ โ HrmOp โง ๐ โ HrmOp) โ ( 0hop โคop (๐ โop ๐) โ โ๐ฅ โ โ (( 0hop โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) โค (((๐ โop ๐)โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ))) |
7 | ho0val 30578 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โ โ ( 0hop โ๐ฅ) = 0โ) | |
8 | 7 | oveq1d 7368 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ (( 0hop โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) = (0โ ยทih ๐ฅ)) |
9 | hi01 29924 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ (0โ ยทih ๐ฅ) = 0) | |
10 | 8, 9 | eqtrd 2776 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ โ (( 0hop โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) = 0) |
11 | 10 | breq1d 5113 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โ โ ((( 0hop โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) โค (((๐ โop ๐)โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) โ 0 โค (((๐ โop ๐)โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ))) |
12 | 11 | ralbiia 3092 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ โ (( 0hop โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) โค (((๐ โop ๐)โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) โ โ๐ฅ โ โ 0 โค (((๐ โop ๐)โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ)) |
13 | 6, 12 | bitr2di 287 | . 2 โข ((๐ โ HrmOp โง ๐ โ HrmOp) โ (โ๐ฅ โ โ 0 โค (((๐ โop ๐)โ๐ฅ) ยทih ๐ฅ) โ 0hop โคop (๐ โop ๐))) |
14 | 1, 13 | bitrd 278 | 1 โข ((๐ โ HrmOp โง ๐ โ HrmOp) โ (๐ โคop ๐ โ 0hop โคop (๐ โop ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 โ wcel 2106 โwral 3062 class class class wbr 5103 โcfv 6493 (class class class)co 7353 0cc0 11047 โค cle 11186 โchba 29747 ยทih csp 29750 0โc0v 29752 โop chod 29768 0hop ch0o 29771 HrmOpcho 29778 โคop cleo 29786 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5240 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7668 ax-inf2 9573 ax-cc 10367 ax-cnex 11103 ax-resscn 11104 ax-1cn 11105 ax-icn 11106 ax-addcl 11107 ax-addrcl 11108 ax-mulcl 11109 ax-mulrcl 11110 ax-mulcom 11111 ax-addass 11112 ax-mulass 11113 ax-distr 11114 ax-i2m1 11115 ax-1ne0 11116 ax-1rid 11117 ax-rnegex 11118 ax-rrecex 11119 ax-cnre 11120 ax-pre-lttri 11121 ax-pre-lttrn 11122 ax-pre-ltadd 11123 ax-pre-mulgt0 11124 ax-pre-sup 11125 ax-addf 11126 ax-mulf 11127 ax-hilex 29827 ax-hfvadd 29828 ax-hvcom 29829 ax-hvass 29830 ax-hv0cl 29831 ax-hvaddid 29832 ax-hfvmul 29833 ax-hvmulid 29834 ax-hvmulass 29835 ax-hvdistr1 29836 ax-hvdistr2 29837 ax-hvmul0 29838 ax-hfi 29907 ax-his1 29910 ax-his2 29911 ax-his3 29912 ax-his4 29913 ax-hcompl 30030 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3927 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4864 df-int 4906 df-iun 4954 df-iin 4955 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-tr 5221 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-se 5587 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6251 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6445 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-isom 6502 df-riota 7309 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-of 7613 df-om 7799 df-1st 7917 df-2nd 7918 df-supp 8089 df-frecs 8208 df-wrecs 8239 df-recs 8313 df-rdg 8352 df-1o 8408 df-2o 8409 df-oadd 8412 df-omul 8413 df-er 8644 df-map 8763 df-pm 8764 df-ixp 8832 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-fsupp 9302 df-fi 9343 df-sup 9374 df-inf 9375 df-oi 9442 df-card 9871 df-acn 9874 df-pnf 11187 df-mnf 11188 df-xr 11189 df-ltxr 11190 df-le 11191 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11809 df-nn 12150 df-2 12212 df-3 12213 df-4 12214 df-5 12215 df-6 12216 df-7 12217 df-8 12218 df-9 12219 df-n0 12410 df-z 12496 df-dec 12615 df-uz 12760 df-q 12866 df-rp 12908 df-xneg 13025 df-xadd 13026 df-xmul 13027 df-ioo 13260 df-ico 13262 df-icc 13263 df-fz 13417 df-fzo 13560 df-fl 13689 df-seq 13899 df-exp 13960 df-hash 14223 df-cj 14976 df-re 14977 df-im 14978 df-sqrt 15112 df-abs 15113 df-clim 15362 df-rlim 15363 df-sum 15563 df-struct 17011 df-sets 17028 df-slot 17046 df-ndx 17058 df-base 17076 df-ress 17105 df-plusg 17138 df-mulr 17139 df-starv 17140 df-sca 17141 df-vsca 17142 df-ip 17143 df-tset 17144 df-ple 17145 df-ds 17147 df-unif 17148 df-hom 17149 df-cco 17150 df-rest 17296 df-topn 17297 df-0g 17315 df-gsum 17316 df-topgen 17317 df-pt 17318 df-prds 17321 df-xrs 17376 df-qtop 17381 df-imas 17382 df-xps 17384 df-mre 17458 df-mrc 17459 df-acs 17461 df-mgm 18489 df-sgrp 18538 df-mnd 18549 df-submnd 18594 df-mulg 18864 df-cntz 19088 df-cmn 19555 df-psmet 20773 df-xmet 20774 df-met 20775 df-bl 20776 df-mopn 20777 df-fbas 20778 df-fg 20779 df-cnfld 20782 df-top 22227 df-topon 22244 df-topsp 22266 df-bases 22280 df-cld 22354 df-ntr 22355 df-cls 22356 df-nei 22433 df-cn 22562 df-cnp 22563 df-lm 22564 df-haus 22650 df-tx 22897 df-hmeo 23090 df-fil 23181 df-fm 23273 df-flim 23274 df-flf 23275 df-xms 23657 df-ms 23658 df-tms 23659 df-cfil 24603 df-cau 24604 df-cmet 24605 df-grpo 29321 df-gid 29322 df-ginv 29323 df-gdiv 29324 df-ablo 29373 df-vc 29387 df-nv 29420 df-va 29423 df-ba 29424 df-sm 29425 df-0v 29426 df-vs 29427 df-nmcv 29428 df-ims 29429 df-dip 29529 df-ssp 29550 df-ph 29641 df-cbn 29691 df-hnorm 29796 df-hba 29797 df-hvsub 29799 df-hlim 29800 df-hcau 29801 df-sh 30035 df-ch 30049 df-oc 30080 df-ch0 30081 df-shs 30136 df-pjh 30223 df-hosum 30558 df-homul 30559 df-hodif 30560 df-h0op 30576 df-hmop 30672 df-leop 30680 |
This theorem is referenced by: leopmul2i 30963 opsqrlem6 30973 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |