HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leop3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leop3 30953
Description: Operator ordering in terms of a positive operator. Definition of operator ordering in [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leop3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ โ‰คop ๐‘ˆ โ†” 0hop โ‰คop (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)))

Proof of Theorem leop3
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leop 30951 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ โ‰คop ๐‘ˆ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
2 0hmop 30811 . . . 4 0hop โˆˆ HrmOp
3 hmopd 30850 . . . . 5 ((๐‘ˆ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp)
43ancoms 459 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp)
5 leop2 30952 . . . 4 (( 0hop โˆˆ HrmOp โˆง (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp) โ†’ ( 0hop โ‰คop (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (( 0hop โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
62, 4, 5sylancr 587 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ ( 0hop โ‰คop (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (( 0hop โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
7 ho0val 30578 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
87oveq1d 7368 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( 0hop โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ))
9 hi01 29924 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฅ) = 0)
108, 9eqtrd 2776 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( 0hop โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = 0)
1110breq1d 5113 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((( 0hop โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
1211ralbiia 3092 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (( 0hop โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))
136, 12bitr2di 287 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0hop โ‰คop (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)))
141, 13bitrd 278 1 ((๐‘‡ โˆˆ HrmOp โˆง ๐‘ˆ โˆˆ HrmOp) โ†’ (๐‘‡ โ‰คop ๐‘ˆ โ†” 0hop โ‰คop (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062   class class class wbr 5103  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  0cc0 11047   โ‰ค cle 11186   โ„‹chba 29747   ยทih csp 29750  0โ„Žc0v 29752   โˆ’op chod 29768   0hop ch0o 29771  HrmOpcho 29778   โ‰คop cleo 29786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cc 10367  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127  ax-hilex 29827  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvmulass 29835  ax-hvdistr1 29836  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913  ax-hcompl 30030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-acn 9874  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-lm 22564  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cfil 24603  df-cau 24604  df-cmet 24605  df-grpo 29321  df-gid 29322  df-ginv 29323  df-gdiv 29324  df-ablo 29373  df-vc 29387  df-nv 29420  df-va 29423  df-ba 29424  df-sm 29425  df-0v 29426  df-vs 29427  df-nmcv 29428  df-ims 29429  df-dip 29529  df-ssp 29550  df-ph 29641  df-cbn 29691  df-hnorm 29796  df-hba 29797  df-hvsub 29799  df-hlim 29800  df-hcau 29801  df-sh 30035  df-ch 30049  df-oc 30080  df-ch0 30081  df-shs 30136  df-pjh 30223  df-hosum 30558  df-homul 30559  df-hodif 30560  df-h0op 30576  df-hmop 30672  df-leop 30680
This theorem is referenced by:  leopmul2i  30963  opsqrlem6  30973
  Copyright terms: Public domain W3C validator