Theorem leop3 31356

Description: Operator ordering in terms of a positive operator. Definition of operator ordering in [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leop3	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇)))

Proof of Theorem leop3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leop 31354	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2		0hmop 31214	. . . 4 ⊢ 0hop ∈ HrmOp
3		hmopd 31253	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝑈 −op 𝑇) ∈ HrmOp)
4	3	ancoms 460	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑈 −op 𝑇) ∈ HrmOp)
5		leop2 31355	. . . 4 ⊢ (( 0hop ∈ HrmOp ∧ (𝑈 −op 𝑇) ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (( 0hop ‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
6	2, 4, 5	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ( 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (( 0hop ‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
7		ho0val 30981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
8	7	oveq1d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( 0hop ‘𝑥) ·ih 𝑥) = (0ℎ ·ih 𝑥))
9		hi01 30327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝑥) = 0)
10	8, 9	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( 0hop ‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
11	10	breq1d 5157	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((( 0hop ‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
12	11	ralbiia 3092	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (( 0hop ‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥))
13	6, 12	bitr2di 288	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ (((𝑈 −op 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇)))
14	1, 13	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ 0hop ≤op (𝑈 −op 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  0cc0 11106   ≤ cle 11245   ℋchba 30150   ·_ih csp 30153  0_ℎc0v 30155   −_op chod 30171   0_hop ch0o 30174  HrmOpcho 30181   ≤_op cleo 30189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-lm 22715  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-dip 29932  df-ssp 29953  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-shs 30539  df-pjh 30626  df-hosum 30961  df-homul 30962  df-hodif 30963  df-h0op 30979  df-hmop 31075  df-leop 31083

This theorem is referenced by:  leopmul2i  31366  opsqrlem6  31376