![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > normgt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
normgt0 | โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0โ โ 0 < (normโโ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | hiidrcl 30925 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยทih ๐ด) โ โ) | |
2 | 1 | adantr 479 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0โ) โ (๐ด ยทih ๐ด) โ โ) |
3 | ax-his4 30915 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0โ) โ 0 < (๐ด ยทih ๐ด)) | |
4 | sqrtgt0 15245 | . . . . 5 โข (((๐ด ยทih ๐ด) โ โ โง 0 < (๐ด ยทih ๐ด)) โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) | |
5 | 2, 3, 4 | syl2anc 582 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0โ) โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) |
6 | 5 | ex 411 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0โ โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
7 | oveq1 7433 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด = 0โ โ (๐ด ยทih ๐ด) = (0โ ยทih ๐ด)) | |
8 | hi01 30926 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ โ (0โ ยทih ๐ด) = 0) | |
9 | 7, 8 | sylan9eqr 2790 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด = 0โ) โ (๐ด ยทih ๐ด) = 0) |
10 | 9 | fveq2d 6906 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด = 0โ) โ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = (โโ0)) |
11 | sqrt0 15228 | . . . . . . 7 โข (โโ0) = 0 | |
12 | 10, 11 | eqtrdi 2784 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด = 0โ) โ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0) |
13 | 12 | ex 411 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐ด = 0โ โ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0)) |
14 | hiidge0 30928 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โ โ 0 โค (๐ด ยทih ๐ด)) | |
15 | 1, 14 | resqrtcld 15404 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) โ โ) |
16 | 0re 11254 | . . . . . . 7 โข 0 โ โ | |
17 | lttri3 11335 | . . . . . . 7 โข (((โโ(๐ด ยทih ๐ด)) โ โ โง 0 โ โ) โ ((โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ (ยฌ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โง ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))))) | |
18 | 15, 16, 17 | sylancl 584 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ (ยฌ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โง ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))))) |
19 | simpr 483 | . . . . . 6 โข ((ยฌ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โง ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) โ ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) | |
20 | 18, 19 | biimtrdi 252 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
21 | 13, 20 | syld 47 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด = 0โ โ ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
22 | 21 | necon2ad 2952 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) โ ๐ด โ 0โ)) |
23 | 6, 22 | impbid 211 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0โ โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
24 | normval 30954 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (normโโ๐ด) = (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) | |
25 | 24 | breq2d 5164 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (0 < (normโโ๐ด) โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
26 | 23, 25 | bitr4d 281 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0โ โ 0 < (normโโ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2937 class class class wbr 5152 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โcr 11145 0cc0 11146 < clt 11286 โcsqrt 15220 โchba 30749 ยทih csp 30752 normโcno 30753 0โc0v 30754 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 ax-hv0cl 30833 ax-hvmul0 30840 ax-hfi 30909 ax-his1 30912 ax-his3 30914 ax-his4 30915 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-sup 9473 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13015 df-seq 14007 df-exp 14067 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-hnorm 30798 |
This theorem is referenced by: norm-i 30959 norm1 31079 nmlnop0iALT 31825 nmbdoplbi 31854 nmcoplbi 31858 nmbdfnlbi 31879 nmcfnlbi 31882 branmfn 31935 strlem1 32080 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |