Theorem normgt0 31552

Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem normgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hiidrcl 31520	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-his4 31510	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4		sqrtgt0 15335	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
6	5	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
7		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
8		hi01 31521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
9	7, 8	sylan9eqr 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
10	9	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = (√‘0))
11		sqrt0 15318	. . . . . . 7 ⊢ (√‘0) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0)
13	12	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0))
14		hiidge0 31523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
15	1, 14	resqrtcld 15495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
16		0re 11227	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		lttri3 11310	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))) → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
20	18, 19	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
21	13, 20	syld 48	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
22	21	necon2ad 2975	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0ℎ))
23	6, 22	impbid 215	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
24		normval 31549	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
25	24	breq2d 5123	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
26	23, 25	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117   < clt 11260  √csqrt 15310   ℋchba 31344   ·_ih csp 31347  norm_ℎcno 31348  0_ℎc0v 31349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-hv0cl 31428  ax-hvmul0 31435  ax-hfi 31504  ax-his1 31507  ax-his3 31509  ax-his4 31510

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-hnorm 31393

This theorem is used by:  norm-i  31554  norm1  31674  nmlnop0iALT  32420  nmbdoplbi  32449  nmcoplbi  32453  nmbdfnlbi  32474  nmcfnlbi  32477  branmfn  32530  strlem1  32675