HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normgt0 31146
Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normgt0 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))

Proof of Theorem normgt0
StepHypRef Expression
1 hiidrcl 31114 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
3 ax-his4 31104 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4 sqrtgt0 15297 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
65ex 412 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
7 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴))
8 hi01 31115 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
97, 8sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
109fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = (√‘0))
11 sqrt0 15280 . . . . . . 7 (√‘0) = 0
1210, 11eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0)
1312ex 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0))
14 hiidge0 31117 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
151, 14resqrtcld 15456 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
16 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
17 lttri3 11344 . . . . . . 7 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
19 simpr 484 . . . . . 6 ((¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))) → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
2018, 19biimtrdi 253 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
2113, 20syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
2221necon2ad 2955 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0))
236, 22impbid 212 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
24 normval 31143 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
2524breq2d 5155 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (norm𝐴) ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
2623, 25bitr4d 282 1 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  csqrt 15272  chba 30938   ·ih csp 30941  normcno 30942  0c0v 30943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hv0cl 31022  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his3 31103  ax-his4 31104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-hnorm 30987
This theorem is referenced by:  norm-i  31148  norm1  31268  nmlnop0iALT  32014  nmbdoplbi  32043  nmcoplbi  32047  nmbdfnlbi  32068  nmcfnlbi  32071  branmfn  32124  strlem1  32269
  Copyright terms: Public domain W3C validator