HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normgt0 29240
Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normgt0 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))

Proof of Theorem normgt0
StepHypRef Expression
1 hiidrcl 29208 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
3 ax-his4 29198 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4 sqrtgt0 14855 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
65ex 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
7 oveq1 7242 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴))
8 hi01 29209 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
97, 8sylan9eqr 2802 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
109fveq2d 6743 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = (√‘0))
11 sqrt0 14838 . . . . . . 7 (√‘0) = 0
1210, 11eqtrdi 2796 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0)
1312ex 416 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0))
14 hiidge0 29211 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
151, 14resqrtcld 15014 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
16 0re 10865 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
17 lttri3 10946 . . . . . . 7 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
1815, 16, 17sylancl 589 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
19 simpr 488 . . . . . 6 ((¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))) → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
2018, 19syl6bi 256 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
2113, 20syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
2221necon2ad 2958 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0))
236, 22impbid 215 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
24 normval 29237 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
2524breq2d 5082 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (norm𝐴) ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
2623, 25bitr4d 285 1 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2943   class class class wbr 5070  cfv 6401  (class class class)co 7235  cr 10758  0cc0 10759   < clt 10897  csqrt 14829  chba 29032   ·ih csp 29035  normcno 29036  0c0v 29037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836  ax-pre-sup 10837  ax-hv0cl 29116  ax-hvmul0 29123  ax-hfi 29192  ax-his1 29195  ax-his3 29197  ax-his4 29198
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-om 7667  df-2nd 7784  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-sup 9088  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-div 11520  df-nn 11861  df-2 11923  df-3 11924  df-n0 12121  df-z 12207  df-uz 12469  df-rp 12617  df-seq 13607  df-exp 13668  df-cj 14695  df-re 14696  df-im 14697  df-sqrt 14831  df-hnorm 29081
This theorem is referenced by:  norm-i  29242  norm1  29362  nmlnop0iALT  30108  nmbdoplbi  30137  nmcoplbi  30141  nmbdfnlbi  30162  nmcfnlbi  30165  branmfn  30218  strlem1  30363
  Copyright terms: Public domain W3C validator