Theorem normgt0 31216

Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem normgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hiidrcl 31184	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-his4 31174	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4		sqrtgt0 15214	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
7		oveq1 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
8		hi01 31185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
9	7, 8	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
10	9	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = (√‘0))
11		sqrt0 15197	. . . . . . 7 ⊢ (√‘0) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0)
13	12	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0))
14		hiidge0 31187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
15	1, 14	resqrtcld 15374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
16		0re 11140	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		lttri3 11223	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
18	15, 16, 17	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))) → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
20	18, 19	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
21	13, 20	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
22	21	necon2ad 2948	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0ℎ))
23	6, 22	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
24		normval 31213	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
25	24	breq2d 5098	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
26	23, 25	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032   < clt 11173  √csqrt 15189   ℋchba 31008   ·_ih csp 31011  norm_ℎcno 31012  0_ℎc0v 31013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-hv0cl 31092  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-hnorm 31057

This theorem is referenced by:  norm-i  31218  norm1  31338  nmlnop0iALT  32084  nmbdoplbi  32113  nmcoplbi  32117  nmbdfnlbi  32138  nmcfnlbi  32141  branmfn  32194  strlem1  32339