Theorem normgt0 31202

Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem normgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hiidrcl 31170	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-his4 31160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4		sqrtgt0 15181	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
7		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
8		hi01 31171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
9	7, 8	sylan9eqr 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
10	9	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = (√‘0))
11		sqrt0 15164	. . . . . . 7 ⊢ (√‘0) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0)
13	12	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0))
14		hiidge0 31173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
15	1, 14	resqrtcld 15341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
16		0re 11134	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		lttri3 11216	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))) → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
20	18, 19	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
21	13, 20	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
22	21	necon2ad 2947	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0ℎ))
23	6, 22	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
24		normval 31199	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
25	24	breq2d 5110	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
26	23, 25	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166  √csqrt 15156   ℋchba 30994   ·_ih csp 30997  norm_ℎcno 30998  0_ℎc0v 30999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-hv0cl 31078  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-hnorm 31043

This theorem is referenced by:  norm-i  31204  norm1  31324  nmlnop0iALT  32070  nmbdoplbi  32099  nmcoplbi  32103  nmbdfnlbi  32124  nmcfnlbi  32127  branmfn  32180  strlem1  32325