![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > normgt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
normgt0 | โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0โ โ 0 < (normโโ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | hiidrcl 30852 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยทih ๐ด) โ โ) | |
2 | 1 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0โ) โ (๐ด ยทih ๐ด) โ โ) |
3 | ax-his4 30842 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0โ) โ 0 < (๐ด ยทih ๐ด)) | |
4 | sqrtgt0 15208 | . . . . 5 โข (((๐ด ยทih ๐ด) โ โ โง 0 < (๐ด ยทih ๐ด)) โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) | |
5 | 2, 3, 4 | syl2anc 583 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0โ) โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) |
6 | 5 | ex 412 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0โ โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
7 | oveq1 7411 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด = 0โ โ (๐ด ยทih ๐ด) = (0โ ยทih ๐ด)) | |
8 | hi01 30853 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ โ (0โ ยทih ๐ด) = 0) | |
9 | 7, 8 | sylan9eqr 2788 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด = 0โ) โ (๐ด ยทih ๐ด) = 0) |
10 | 9 | fveq2d 6888 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด = 0โ) โ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = (โโ0)) |
11 | sqrt0 15191 | . . . . . . 7 โข (โโ0) = 0 | |
12 | 10, 11 | eqtrdi 2782 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด = 0โ) โ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0) |
13 | 12 | ex 412 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐ด = 0โ โ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0)) |
14 | hiidge0 30855 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โ โ 0 โค (๐ด ยทih ๐ด)) | |
15 | 1, 14 | resqrtcld 15367 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) โ โ) |
16 | 0re 11217 | . . . . . . 7 โข 0 โ โ | |
17 | lttri3 11298 | . . . . . . 7 โข (((โโ(๐ด ยทih ๐ด)) โ โ โง 0 โ โ) โ ((โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ (ยฌ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โง ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))))) | |
18 | 15, 16, 17 | sylancl 585 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ (ยฌ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โง ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))))) |
19 | simpr 484 | . . . . . 6 โข ((ยฌ (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โง ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) โ ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) | |
20 | 18, 19 | syl6bi 253 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((โโ(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
21 | 13, 20 | syld 47 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด = 0โ โ ยฌ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
22 | 21 | necon2ad 2949 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)) โ ๐ด โ 0โ)) |
23 | 6, 22 | impbid 211 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0โ โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
24 | normval 30881 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (normโโ๐ด) = (โโ(๐ด ยทih ๐ด))) | |
25 | 24 | breq2d 5153 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (0 < (normโโ๐ด) โ 0 < (โโ(๐ด ยทih ๐ด)))) |
26 | 23, 25 | bitr4d 282 | 1 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0โ โ 0 < (normโโ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 class class class wbr 5141 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โcr 11108 0cc0 11109 < clt 11249 โcsqrt 15183 โchba 30676 ยทih csp 30679 normโcno 30680 0โc0v 30681 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 ax-hv0cl 30760 ax-hvmul0 30767 ax-hfi 30836 ax-his1 30839 ax-his3 30841 ax-his4 30842 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-sup 9436 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-rp 12978 df-seq 13970 df-exp 14030 df-cj 15049 df-re 15050 df-im 15051 df-sqrt 15185 df-hnorm 30725 |
This theorem is referenced by: norm-i 30886 norm1 31006 nmlnop0iALT 31752 nmbdoplbi 31781 nmcoplbi 31785 nmbdfnlbi 31806 nmcfnlbi 31809 branmfn 31862 strlem1 32007 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |