HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normgt0 30957
Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normgt0 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem normgt0
StepHypRef Expression
1 hiidrcl 30925 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„)
21adantr 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„)
3 ax-his4 30915 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (๐ด ยทih ๐ด))
4 sqrtgt0 15245 . . . . 5 (((๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด ยทih ๐ด)) โ†’ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))
65ex 411 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
7 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) = (0โ„Ž ยทih ๐ด))
8 hi01 30926 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐ด) = 0)
97, 8sylan9eqr 2790 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) = 0)
109fveq2d 6906 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด = 0โ„Ž) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = (โˆšโ€˜0))
11 sqrt0 15228 . . . . . . 7 (โˆšโ€˜0) = 0
1210, 11eqtrdi 2784 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด = 0โ„Ž) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0)
1312ex 411 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0))
14 hiidge0 30928 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทih ๐ด))
151, 14resqrtcld 15404 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„)
16 0re 11254 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
17 lttri3 11335 . . . . . . 7 (((โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ†” (ยฌ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โˆง ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))))
1815, 16, 17sylancl 584 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ†” (ยฌ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โˆง ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))))
19 simpr 483 . . . . . 6 ((ยฌ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โˆง ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))) โ†’ ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))
2018, 19biimtrdi 252 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ†’ ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
2113, 20syld 47 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
2221necon2ad 2952 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0โ„Ž))
236, 22impbid 211 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
24 normval 30954 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))
2524breq2d 5164 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 < (normโ„Žโ€˜๐ด) โ†” 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
2623, 25bitr4d 281 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146   < clt 11286  โˆšcsqrt 15220   โ„‹chba 30749   ยทih csp 30752  normโ„Žcno 30753  0โ„Žc0v 30754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hv0cl 30833  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his3 30914  ax-his4 30915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-hnorm 30798
This theorem is referenced by:  norm-i  30959  norm1  31079  nmlnop0iALT  31825  nmbdoplbi  31854  nmcoplbi  31858  nmbdfnlbi  31879  nmcfnlbi  31882  branmfn  31935  strlem1  32080
  Copyright terms: Public domain W3C validator