HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normgt0 30884
Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normgt0 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem normgt0
StepHypRef Expression
1 hiidrcl 30852 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„)
21adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„)
3 ax-his4 30842 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (๐ด ยทih ๐ด))
4 sqrtgt0 15208 . . . . 5 (((๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด ยทih ๐ด)) โ†’ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))
65ex 412 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
7 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) = (0โ„Ž ยทih ๐ด))
8 hi01 30853 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐ด) = 0)
97, 8sylan9eqr 2788 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด = 0โ„Ž) โ†’ (๐ด ยทih ๐ด) = 0)
109fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด = 0โ„Ž) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = (โˆšโ€˜0))
11 sqrt0 15191 . . . . . . 7 (โˆšโ€˜0) = 0
1210, 11eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด = 0โ„Ž) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0)
1312ex 412 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0))
14 hiidge0 30855 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทih ๐ด))
151, 14resqrtcld 15367 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„)
16 0re 11217 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
17 lttri3 11298 . . . . . . 7 (((โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ†” (ยฌ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โˆง ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))))
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ†” (ยฌ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โˆง ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))))
19 simpr 484 . . . . . 6 ((ยฌ (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) < 0 โˆง ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))) โ†’ ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))
2018, 19syl6bi 253 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) = 0 โ†’ ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
2113, 20syld 47 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ยฌ 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
2221necon2ad 2949 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0โ„Ž))
236, 22impbid 211 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
24 normval 30881 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))
2524breq2d 5153 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 < (normโ„Žโ€˜๐ด) โ†” 0 < (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
2623, 25bitr4d 282 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109   < clt 11249  โˆšcsqrt 15183   โ„‹chba 30676   ยทih csp 30679  normโ„Žcno 30680  0โ„Žc0v 30681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hv0cl 30760  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his1 30839  ax-his3 30841  ax-his4 30842
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-hnorm 30725
This theorem is referenced by:  norm-i  30886  norm1  31006  nmlnop0iALT  31752  nmbdoplbi  31781  nmcoplbi  31785  nmbdfnlbi  31806  nmcfnlbi  31809  branmfn  31862  strlem1  32007
  Copyright terms: Public domain W3C validator