Theorem normgt0 31151

Description: The norm of nonzero vector is positive. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem normgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hiidrcl 31119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
3		ax-his4 31109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4		sqrtgt0 15179	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
7		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
8		hi01 31120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
9	7, 8	sylan9eqr 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
10	9	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = (√‘0))
11		sqrt0 15162	. . . . . . 7 ⊢ (√‘0) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0)
13	12	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0))
14		hiidge0 31122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
15	1, 14	resqrtcld 15339	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
16		0re 11132	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		lttri3 11214	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 ↔ (¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) < 0 ∧ ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))) → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
20	18, 19	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) = 0 → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
21	13, 20	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ¬ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
22	21	necon2ad 2945	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0ℎ))
23	6, 22	impbid 212	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
24		normval 31148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
25	24	breq2d 5108	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ 0 < (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
26	23, 25	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024   < clt 11164  √csqrt 15154   ℋchba 30943   ·_ih csp 30946  norm_ℎcno 30947  0_ℎc0v 30948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-hv0cl 31027  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his3 31108  ax-his4 31109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-hnorm 30992

This theorem is referenced by:  norm-i  31153  norm1  31273  nmlnop0iALT  32019  nmbdoplbi  32048  nmcoplbi  32052  nmbdfnlbi  32073  nmcfnlbi  32076  branmfn  32129  strlem1  32274