Theorem norm0 30636

Description: The norm of a zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm0	⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0

Proof of Theorem norm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30511	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		normval 30632	. . 3 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (normℎ‘0ℎ) = (√‘(0ℎ ·ih 0ℎ)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = (√‘(0ℎ ·ih 0ℎ))
4		hi01 30604	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 0ℎ) = 0)
5	4	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (√‘(0ℎ ·ih 0ℎ)) = (√‘0))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(0ℎ ·ih 0ℎ)) = (√‘0)
7		sqrt0 15192	. 2 ⊢ (√‘0) = 0
8	3, 6, 7	3eqtri 2764	1 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  √csqrt 15184   ℋchba 30427   ·_ih csp 30430  norm_ℎcno 30431  0_ℎc0v 30432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hv0cl 30511  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his3 30592

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-hnorm 30476

This theorem is referenced by:  nmopsetn0  31373  nmfnsetn0  31386  nmopge0  31419  nmfnge0  31435  0cnop  31487  nmop0  31494  nmfn0  31495  nmbdoplbi  31532  nmcexi  31534  nmcopexi  31535  nmcoplbi  31536  nmbdfnlbi  31557  nmcfnlbi  31560  nmopcoi  31603  branmfn  31613  cdj3lem1  31942