Theorem norm0 31041

Description: The norm of a zero vector. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm0	⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0

Proof of Theorem norm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30916	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		normval 31037	. . 3 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (normℎ‘0ℎ) = (√‘(0ℎ ·ih 0ℎ)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = (√‘(0ℎ ·ih 0ℎ))
4		hi01 31009	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 0ℎ) = 0)
5	4	fveq2d 6876	. . 3 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (√‘(0ℎ ·ih 0ℎ)) = (√‘0))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(0ℎ ·ih 0ℎ)) = (√‘0)
7		sqrt0 15247	. 2 ⊢ (√‘0) = 0
8	3, 6, 7	3eqtri 2761	1 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  0cc0 11121  √csqrt 15239   ℋchba 30832   ·_ih csp 30835  norm_ℎcno 30836  0_ℎc0v 30837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-hv0cl 30916  ax-hvmul0 30923  ax-hfi 30992  ax-his3 30997

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 13001  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-hnorm 30881

This theorem is referenced by:  nmopsetn0  31778  nmfnsetn0  31791  nmopge0  31824  nmfnge0  31840  0cnop  31892  nmop0  31899  nmfn0  31900  nmbdoplbi  31937  nmcexi  31939  nmcopexi  31940  nmcoplbi  31941  nmbdfnlbi  31962  nmcfnlbi  31965  nmopcoi  32008  branmfn  32018  cdj3lem1  32347