HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hiidge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hiidge0 30901
Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hiidge0 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0
StepHypRef Expression
1 pm2.1 895 . . 3 𝐴 = 0𝐴 = 0)
2 df-ne 2937 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
3 ax-his4 30888 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
42, 3sylan2br 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
54ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0 → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴))
7 hi01 30899 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
86, 7sylan9eqr 2790 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
98eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
109ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
115, 10orim12d 963 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0𝐴 = 0) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
121, 11mpi 20 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13 0re 11240 . . 3 0 ∈ ℝ
14 hiidrcl 30898 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15 leloe 11324 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
1613, 14, 15sylancr 586 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
1712, 16mpbird 257 1 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11131  0cc0 11132   < clt 11272  cle 11273  chba 30722   ·ih csp 30725  0c0v 30727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-hv0cl 30806  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his1 30885  ax-his3 30887  ax-his4 30888
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-2 12299  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074
This theorem is referenced by:  normlem5  30917  normlem6  30918  normlem7  30919  normf  30926  normge0  30929  normgt0  30930  normsqi  30935  norm-ii-i  30940  norm-iii-i  30942  bcsiALT  30982  pjhthlem1  31194  cnlnadjlem7  31876  branmfn  31908  leopsq  31932  idleop  31934
  Copyright terms: Public domain W3C validator