Theorem hiidge0 31757

Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hiidge0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 910	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ)
2		df-ne 2960	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℎ)
3		ax-his4 31744	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4	2, 3	sylan2br 607	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
5	4	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7		hi01 31755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
8	6, 7	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
9	8	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
10	9	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
11	5, 10	orim12d 979	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
12	1, 11	mpi 21	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13		0re 11349	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		hiidrcl 31754	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15		leloe 11435	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
16	13, 14, 15	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
17	12, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383   ℋchba 31578   ·_ih csp 31581  0_ℎc0v 31583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-hv0cl 31662  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311

This theorem is used by:  normlem5  31773  normlem6  31774  normlem7  31775  normf  31782  normge0  31785  normgt0  31786  normsqi  31791  norm-ii-i  31796  norm-iii-i  31798  bcsiALT  31838  pjhthlem1  32050  cnlnadjlem7  32732  branmfn  32764  leopsq  32788  idleop  32790