Theorem hiidge0 29460

Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hiidge0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 894	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ)
2		df-ne 2944	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℎ)
3		ax-his4 29447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4	2, 3	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
5	4	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7		hi01 29458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
8	6, 7	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
9	8	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
10	9	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
11	5, 10	orim12d 962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
12	1, 11	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13		0re 10977	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		hiidrcl 29457	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15		leloe 11061	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
16	13, 14, 15	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
17	12, 16	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284  0_ℎc0v 29286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hv0cl 29365  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812

This theorem is referenced by:  normlem5  29476  normlem6  29477  normlem7  29478  normf  29485  normge0  29488  normgt0  29489  normsqi  29494  norm-ii-i  29499  norm-iii-i  29501  bcsiALT  29541  pjhthlem1  29753  cnlnadjlem7  30435  branmfn  30467  leopsq  30491  idleop  30493