HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hiidge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hiidge0 28887
Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hiidge0 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0
StepHypRef Expression
1 pm2.1 894 . . 3 𝐴 = 0𝐴 = 0)
2 df-ne 3015 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
3 ax-his4 28874 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
42, 3sylan2br 597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
54ex 416 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0 → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴))
7 hi01 28885 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
86, 7sylan9eqr 2881 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
98eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
109ex 416 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
115, 10orim12d 962 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0𝐴 = 0) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
121, 11mpi 20 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13 0re 10642 . . 3 0 ∈ ℝ
14 hiidrcl 28884 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15 leloe 10726 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
1613, 14, 15sylancr 590 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
1712, 16mpbird 260 1 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  (class class class)co 7150  cr 10535  0cc0 10536   < clt 10674  cle 10675  chba 28708   ·ih csp 28711  0c0v 28713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-hv0cl 28792  ax-hvmul0 28799  ax-hfi 28868  ax-his1 28871  ax-his3 28873  ax-his4 28874
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11700  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463
This theorem is referenced by:  normlem5  28903  normlem6  28904  normlem7  28905  normf  28912  normge0  28915  normgt0  28916  normsqi  28921  norm-ii-i  28926  norm-iii-i  28928  bcsiALT  28968  pjhthlem1  29180  cnlnadjlem7  29862  branmfn  29894  leopsq  29918  idleop  29920
  Copyright terms: Public domain W3C validator