HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hiidge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hiidge0 28802
Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hiidge0 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0
StepHypRef Expression
1 pm2.1 890 . . 3 𝐴 = 0𝐴 = 0)
2 df-ne 3014 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
3 ax-his4 28789 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
42, 3sylan2br 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
54ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0 → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴))
7 hi01 28800 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
86, 7sylan9eqr 2875 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
98eqcomd 2824 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
109ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
115, 10orim12d 958 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0𝐴 = 0) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
121, 11mpi 20 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13 0re 10631 . . 3 0 ∈ ℝ
14 hiidrcl 28799 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15 leloe 10715 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
1613, 14, 15sylancr 587 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
1712, 16mpbird 258 1 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663  cle 10664  chba 28623   ·ih csp 28626  0c0v 28628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-hv0cl 28707  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his3 28788  ax-his4 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448
This theorem is referenced by:  normlem5  28818  normlem6  28819  normlem7  28820  normf  28827  normge0  28830  normgt0  28831  normsqi  28836  norm-ii-i  28841  norm-iii-i  28843  bcsiALT  28883  pjhthlem1  29095  cnlnadjlem7  29777  branmfn  29809  leopsq  29833  idleop  29835
  Copyright terms: Public domain W3C validator