Theorem hsmex2 9844

Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 9040. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hsmex2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑠,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem hsmex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unir1 9226	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
2	1	rabeqi 3429	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
3		rabab 3470	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
4	2, 3	eqtr2i 2822	. 2 ⊢ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
5		hsmex 9843	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2894	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441  {csn 4525  ∪ cuni 4800   class class class wbr 5030   “ cima 5522  Oncon0 6159  ‘cfv 6324   ≼ cdom 8490  TCctc 9162  𝑅₁cr1 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-reg 9040  ax-inf2 9088

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-smo 7966  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-oi 8958  df-har 9005  df-wdom 9013  df-tc 9163  df-r1 9177  df-rank 9178

This theorem is referenced by:  hsmex3  9845