Theorem hsmex2 10473

Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 9632. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hsmex2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑠,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem hsmex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unir1 9853	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
2	1	rabeqi 3450	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
3		rabab 3512	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
4	2, 3	eqtr2i 2766	. 2 ⊢ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
5		hsmex 10472	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  {csn 4626  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143   “ cima 5688  Oncon0 6384  ‘cfv 6561   ≼ cdom 8983  TCctc 9776  𝑅₁cr1 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-smo 8386  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-oi 9550  df-har 9597  df-wdom 9605  df-tc 9777  df-r1 9804  df-rank 9805

This theorem is referenced by:  hsmex3  10474