MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsmex2 10470
Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 9629. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
hsmex2 (𝑋𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋} ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝑠,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem hsmex2
StepHypRef Expression
1 unir1 9850 . . . 4 (𝑅1 “ On) = V
21rabeqi 3446 . . 3 {𝑠 (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋} = {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋}
3 rabab 3509 . . 3 {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋} = {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋}
42, 3eqtr2i 2763 . 2 {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋} = {𝑠 (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋}
5 hsmex 10469 . 2 (𝑋𝑉 → {𝑠 (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋} ∈ V)
64, 5eqeltrid 2842 1 (𝑋𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥𝑋} ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  {cab 2711  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477  {csn 4630   cuni 4911   class class class wbr 5147  cima 5691  Oncon0 6385  cfv 6562  cdom 8981  TCctc 9773  𝑅1cr1 9799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-smo 8384  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-oi 9547  df-har 9594  df-wdom 9602  df-tc 9774  df-r1 9801  df-rank 9802
This theorem is referenced by:  hsmex3  10471
  Copyright terms: Public domain W3C validator