Theorem hsmex2 10412

Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 9550. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hsmex2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑠,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem hsmex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unir1 9781	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
2	1	rabeqi 3429	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
3		rabab 3485	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
4	2, 3	eqtr2i 2787	. 2 ⊢ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
5		hsmex 10411	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455  {csn 4589  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   “ cima 5664  Oncon0 6360  ‘cfv 6536   ≼ cdom 8937  TCctc 9699  𝑅₁cr1 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-smo 8329  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-oi 9468  df-har 9515  df-wdom 9523  df-tc 9700  df-r1 9732  df-rank 9733

This theorem is referenced by:  hsmex3  10413