Theorem hsmex2 10502

Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 9661. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hsmex2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑠,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem hsmex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unir1 9882	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
2	1	rabeqi 3457	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
3		rabab 3520	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
4	2, 3	eqtr2i 2769	. 2 ⊢ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
5		hsmex 10501	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   “ cima 5703  Oncon0 6395  ‘cfv 6573   ≼ cdom 9001  TCctc 9805  𝑅₁cr1 9831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-smo 8402  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-oi 9579  df-har 9626  df-wdom 9634  df-tc 9806  df-r1 9833  df-rank 9834

This theorem is referenced by:  hsmex3  10503