Theorem hsmex2 10432

Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 9591. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hsmex2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑠,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem hsmex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unir1 9812	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
2	1	rabeqi 3443	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
3		rabab 3501	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ V ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
4	2, 3	eqtr2i 2759	. 2 ⊢ {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} = {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋}
5		hsmex 10431	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)
6	4, 5	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∣ ∀𝑥 ∈ (TC‘{𝑠})𝑥 ≼ 𝑋} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  {cab 2707  ∀wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472  {csn 4629  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149   “ cima 5680  Oncon0 6365  ‘cfv 6544   ≼ cdom 8941  TCctc 9735  𝑅₁cr1 9761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-reg 9591  ax-inf2 9640

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-smo 8350  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-oi 9509  df-har 9556  df-wdom 9564  df-tc 9736  df-r1 9763  df-rank 9764

This theorem is referenced by:  hsmex3  10433