HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddeq0 29840
Description: If the sum of two vectors is zero, one is the negative of the other. (Contributed by NM, 10-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddeq0 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0𝐴 = (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddeq0
StepHypRef Expression
1 hvaddsubval 29804 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 (-1 · 𝐵)))
21eqeq1d 2739 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 (-1 · 𝐵)) = 0))
3 neg1cn 12225 . . . 4 -1 ∈ ℂ
4 hvmulcl 29784 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
53, 4mpan 688 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
6 hvsubeq0 29839 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 (-1 · 𝐵)) = 0𝐴 = (-1 · 𝐵)))
75, 6sylan2 593 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 (-1 · 𝐵)) = 0𝐴 = (-1 · 𝐵)))
82, 7bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0𝐴 = (-1 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351  cc 11007  1c1 11010  -cneg 11344  chba 29690   + cva 29691   · csm 29692  0c0v 29695   cmv 29696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-hvcom 29772  ax-hvass 29773  ax-hv0cl 29774  ax-hvaddid 29775  ax-hfvmul 29776  ax-hvmulid 29777  ax-hvmulass 29778  ax-hvdistr2 29780  ax-hvmul0 29781
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-sub 11345  df-neg 11346  df-hvsub 29742
This theorem is referenced by:  superpos  31125
  Copyright terms: Public domain W3C validator