Theorem pjsslem 31702

Description: Lemma for subset relationships of projections. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjsslem	⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Proof of Theorem pjsslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjidm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		pjo 31694	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
5		pjsslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
6		pjo 31694	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
7	5, 2, 6	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))
8	4, 7	oveq12i 7457	. . 3 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = ((((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) −ℎ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
9		helch 31266	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
10	9, 2	pjclii 31444	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ
11	1, 2	pjhclii 31445	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
12	5, 2	pjhclii 31445	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
13	10, 11, 10, 12	hvsubsub4i 31082	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) −ℎ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) = ((((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
14		hvsubid 31049	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ → (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ)
15	10, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ
16	15	oveq1i 7455	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) = (0ℎ −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
17	8, 13, 16	3eqtri 2766	. 2 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (0ℎ −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
18	11, 12	hvsubcli 31044	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ∈ ℋ
19	18	hv2negi 31054	. 2 ⊢ (0ℎ −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) = (-1 ·ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
20	11, 12	hvnegdii 31085	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) = (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
21	17, 19, 20	3eqtri 2766	1 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  1c1 11181  -cneg 11517   ℋchba 30942   ·_ℎ csm 30944  0_ℎc0v 30947   −_ℎ cmv 30948   C_ℋ cch 30952  ⊥cort 30953  proj_ℎcpjh 30960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cc 10500  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260  ax-hilex 31022  ax-hfvadd 31023  ax-hvcom 31024  ax-hvass 31025  ax-hv0cl 31026  ax-hvaddid 31027  ax-hfvmul 31028  ax-hvmulid 31029  ax-hvmulass 31030  ax-hvdistr1 31031  ax-hvdistr2 31032  ax-hvmul0 31033  ax-hfi 31102  ax-his1 31105  ax-his2 31106  ax-his3 31107  ax-his4 31108  ax-hcompl 31225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-omul 8523  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-card 10004  df-acn 10007  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sum 15731  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-mulg 19103  df-cntz 19352  df-cmn 19819  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-cld 23041  df-ntr 23042  df-cls 23043  df-nei 23120  df-cn 23249  df-cnp 23250  df-lm 23251  df-haus 23337  df-tx 23584  df-hmeo 23777  df-fil 23868  df-fm 23960  df-flim 23961  df-flf 23962  df-xms 24344  df-ms 24345  df-tms 24346  df-cfil 25301  df-cau 25302  df-cmet 25303  df-grpo 30516  df-gid 30517  df-ginv 30518  df-gdiv 30519  df-ablo 30568  df-vc 30582  df-nv 30615  df-va 30618  df-ba 30619  df-sm 30620  df-0v 30621  df-vs 30622  df-nmcv 30623  df-ims 30624  df-dip 30724  df-ssp 30745  df-ph 30836  df-cbn 30886  df-hnorm 30991  df-hba 30992  df-hvsub 30994  df-hlim 30995  df-hcau 30996  df-sh 31230  df-ch 31244  df-oc 31275  df-ch0 31276  df-shs 31331  df-pjh 31418

This theorem is referenced by:  pjss2i  31703  pjssmii  31704