Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjsslem 29566
 Description: Lemma for subset relationships of projections. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1 𝐻C
pjidm.2 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1 𝐺C
Assertion
Ref Expression
pjsslem (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))

Proof of Theorem pjsslem
StepHypRef Expression
1 pjidm.1 . . . . 5 𝐻C
2 pjidm.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
3 pjo 29558 . . . . 5 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)))
41, 2, 3mp2an 691 . . . 4 ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))
5 pjsslem.1 . . . . 5 𝐺C
6 pjo 29558 . . . . 5 ((𝐺C𝐴 ∈ ℋ) → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) = (((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴)))
75, 2, 6mp2an 691 . . . 4 ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) = (((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴))
84, 7oveq12i 7167 . . 3 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = ((((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) − (((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴)))
9 helch 29130 . . . . 5 ℋ ∈ C
109, 2pjclii 29308 . . . 4 ((proj‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ
111, 2pjhclii 29309 . . . 4 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
125, 2pjhclii 29309 . . . 4 ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
1310, 11, 10, 12hvsubsub4i 28946 . . 3 ((((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) − (((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴))) = ((((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj‘ ℋ)‘𝐴)) − (((proj𝐻)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴)))
14 hvsubid 28913 . . . . 5 (((proj‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ → (((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj‘ ℋ)‘𝐴)) = 0)
1510, 14ax-mp 5 . . . 4 (((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj‘ ℋ)‘𝐴)) = 0
1615oveq1i 7165 . . 3 ((((proj‘ ℋ)‘𝐴) − ((proj‘ ℋ)‘𝐴)) − (((proj𝐻)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴))) = (0 (((proj𝐻)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴)))
178, 13, 163eqtri 2785 . 2 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (0 (((proj𝐻)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴)))
1811, 12hvsubcli 28908 . . 3 (((proj𝐻)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴)) ∈ ℋ
1918hv2negi 28918 . 2 (0 (((proj𝐻)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴))) = (-1 · (((proj𝐻)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴)))
2011, 12hvnegdii 28949 . 2 (-1 · (((proj𝐻)‘𝐴) − ((proj𝐺)‘𝐴))) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))
2117, 19, 203eqtri 2785 1 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  1c1 10581  -cneg 10914   ℋchba 28806   ·ℎ csm 28808  0ℎc0v 28811   −ℎ cmv 28812   Cℋ cch 28816  ⊥cort 28817  projℎcpjh 28824 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cc 9900  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660  ax-hilex 28886  ax-hfvadd 28887  ax-hvcom 28888  ax-hvass 28889  ax-hv0cl 28890  ax-hvaddid 28891  ax-hfvmul 28892  ax-hvmulid 28893  ax-hvmulass 28894  ax-hvdistr1 28895  ax-hvdistr2 28896  ax-hvmul0 28897  ax-hfi 28966  ax-his1 28969  ax-his2 28970  ax-his3 28971  ax-his4 28972  ax-hcompl 29089 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-acn 9409  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-lm 21934  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cfil 23960  df-cau 23961  df-cmet 23962  df-grpo 28380  df-gid 28381  df-ginv 28382  df-gdiv 28383  df-ablo 28432  df-vc 28446  df-nv 28479  df-va 28482  df-ba 28483  df-sm 28484  df-0v 28485  df-vs 28486  df-nmcv 28487  df-ims 28488  df-dip 28588  df-ssp 28609  df-ph 28700  df-cbn 28750  df-hnorm 28855  df-hba 28856  df-hvsub 28858  df-hlim 28859  df-hcau 28860  df-sh 29094  df-ch 29108  df-oc 29139  df-ch0 29140  df-shs 29195  df-pjh 29282 This theorem is referenced by:  pjss2i  29567  pjssmii  29568
 Copyright terms: Public domain W3C validator