Theorem pjsslem 31713

Description: Lemma for subset relationships of projections. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjsslem	⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Proof of Theorem pjsslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjidm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		pjo 31705	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
5		pjsslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
6		pjo 31705	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
7	5, 2, 6	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))
8	4, 7	oveq12i 7462	. . 3 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = ((((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) −ℎ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
9		helch 31277	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
10	9, 2	pjclii 31455	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ
11	1, 2	pjhclii 31456	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
12	5, 2	pjhclii 31456	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
13	10, 11, 10, 12	hvsubsub4i 31093	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) −ℎ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) = ((((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
14		hvsubid 31060	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ → (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ)
15	10, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ
16	15	oveq1i 7460	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) = (0ℎ −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
17	8, 13, 16	3eqtri 2772	. 2 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (0ℎ −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
18	11, 12	hvsubcli 31055	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ∈ ℋ
19	18	hv2negi 31065	. 2 ⊢ (0ℎ −ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) = (-1 ·ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
20	11, 12	hvnegdii 31096	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) = (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
21	17, 19, 20	3eqtri 2772	1 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  1c1 11187  -cneg 11523   ℋchba 30953   ·_ℎ csm 30955  0_ℎc0v 30958   −_ℎ cmv 30959   C_ℋ cch 30963  ⊥cort 30964  proj_ℎcpjh 30971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cc 10506  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-addf 11265  ax-mulf 11266  ax-hilex 31033  ax-hfvadd 31034  ax-hvcom 31035  ax-hvass 31036  ax-hv0cl 31037  ax-hvaddid 31038  ax-hfvmul 31039  ax-hvmulid 31040  ax-hvmulass 31041  ax-hvdistr1 31042  ax-hvdistr2 31043  ax-hvmul0 31044  ax-hfi 31113  ax-his1 31116  ax-his2 31117  ax-his3 31118  ax-his4 31119  ax-hcompl 31236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-oadd 8528  df-omul 8529  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-fi 9482  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-card 10010  df-acn 10013  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ioo 13413  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-fl 13845  df-seq 14055  df-exp 14115  df-hash 14382  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536  df-rlim 15537  df-sum 15737  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17484  df-topn 17485  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-topgen 17505  df-pt 17506  df-prds 17509  df-xrs 17564  df-qtop 17569  df-imas 17570  df-xps 17572  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-mulg 19110  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-fbas 21386  df-fg 21387  df-cnfld 21390  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22976  df-cld 23050  df-ntr 23051  df-cls 23052  df-nei 23129  df-cn 23258  df-cnp 23259  df-lm 23260  df-haus 23346  df-tx 23593  df-hmeo 23786  df-fil 23877  df-fm 23969  df-flim 23970  df-flf 23971  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cfil 25310  df-cau 25311  df-cmet 25312  df-grpo 30527  df-gid 30528  df-ginv 30529  df-gdiv 30530  df-ablo 30579  df-vc 30593  df-nv 30626  df-va 30629  df-ba 30630  df-sm 30631  df-0v 30632  df-vs 30633  df-nmcv 30634  df-ims 30635  df-dip 30735  df-ssp 30756  df-ph 30847  df-cbn 30897  df-hnorm 31002  df-hba 31003  df-hvsub 31005  df-hlim 31006  df-hcau 31007  df-sh 31241  df-ch 31255  df-oc 31286  df-ch0 31287  df-shs 31342  df-pjh 31429

This theorem is referenced by:  pjss2i  31714  pjssmii  31715