Theorem onssnum 10023

Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onssnum	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onssnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7738	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		ssorduni 7777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord ∪ 𝐴)
3		elong 6369	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ On ↔ Ord ∪ 𝐴))
4	3	biimpar 482	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ V ∧ Ord ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ On)
5	1, 2, 4	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → ∪ 𝐴 ∈ On)
6		onsuc 7808	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ On → suc ∪ 𝐴 ∈ On)
7		onenon 9934	. . 3 ⊢ (suc ∪ 𝐴 ∈ On → suc ∪ 𝐴 ∈ dom card)
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → suc ∪ 𝐴 ∈ dom card)
9		onsucuni 7823	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
10	9	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
11		ssnum 10022	. 2 ⊢ ((suc ∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
12	8, 10, 11	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4876  dom cdm 5662  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363  cardccrd 9920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-card 9924

This theorem is referenced by:  dfac12lem3  10128  cfeq0  10239  cfsuc  10240  cff1  10241  cfflb  10242  cflim2  10246  cfss  10248  cfslb  10249