MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssnum 9142
Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
onssnum ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onssnum
StepHypRef Expression
1 uniexg 7181 . . . 4 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2 ssorduni 7211 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → Ord 𝐴)
3 elong 5944 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
43biimpar 465 . . . 4 (( 𝐴 ∈ V ∧ Ord 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
51, 2, 4syl2an 585 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ On)
6 suceloni 7239 . . 3 ( 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
7 onenon 9054 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ dom card)
85, 6, 73syl 18 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → suc 𝐴 ∈ dom card)
9 onsucuni 7254 . . 3 (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
109adantl 469 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
11 ssnum 9141 . 2 ((suc 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ suc 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
128, 10, 11syl2anc 575 1 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 2156  Vcvv 3391  wss 3769   cuni 4630  dom cdm 5311  Ord word 5935  Oncon0 5936  suc csuc 5938  cardccrd 9040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-card 9044
This theorem is referenced by:  dfac12lem3  9248  cfeq0  9359  cfsuc  9360  cff1  9361  cfflb  9362  cflim2  9366  cfss  9368  cfslb  9369
  Copyright terms: Public domain W3C validator