Theorem onssnum 10112

Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onssnum	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onssnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7755	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		ssorduni 7791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord ∪ 𝐴)
3		elong 6369	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ On ↔ Ord ∪ 𝐴))
4	3	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ V ∧ Ord ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ On)
5	1, 2, 4	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → ∪ 𝐴 ∈ On)
6		onsuc 7822	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ On → suc ∪ 𝐴 ∈ On)
7		onenon 10023	. . 3 ⊢ (suc ∪ 𝐴 ∈ On → suc ∪ 𝐴 ∈ dom card)
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → suc ∪ 𝐴 ∈ dom card)
9		onsucuni 7837	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
11		ssnum 10111	. 2 ⊢ ((suc ∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
12	8, 10, 11	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  dom cdm 5651  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363  cardccrd 10009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-card 10013

This theorem is used by:  dfac12lem3  10217  cfeq0  10327  cfsuc  10328  cff1  10329  cfflb  10330  cflim2  10334  cfss  10336  cfslb  10337