Theorem onssnum 10078

Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onssnum	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onssnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7759	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		ssorduni 7798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord ∪ 𝐴)
3		elong 6394	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ On ↔ Ord ∪ 𝐴))
4	3	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ V ∧ Ord ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ On)
5	1, 2, 4	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → ∪ 𝐴 ∈ On)
6		onsuc 7831	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ On → suc ∪ 𝐴 ∈ On)
7		onenon 9987	. . 3 ⊢ (suc ∪ 𝐴 ∈ On → suc ∪ 𝐴 ∈ dom card)
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → suc ∪ 𝐴 ∈ dom card)
9		onsucuni 7848	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
11		ssnum 10077	. 2 ⊢ ((suc ∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
12	8, 10, 11	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  dom cdm 5689  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388  cardccrd 9973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-card 9977

This theorem is referenced by:  dfac12lem3  10184  cfeq0  10294  cfsuc  10295  cff1  10296  cfflb  10297  cflim2  10301  cfss  10303  cfslb  10304