Theorem onssnum 10037

Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onssnum	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onssnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7732	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		ssorduni 7768	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ On → Ord ∪ 𝐴)
3		elong 6372	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ On ↔ Ord ∪ 𝐴))
4	3	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ V ∧ Ord ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ On)
5	1, 2, 4	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → ∪ 𝐴 ∈ On)
6		onsuc 7801	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ On → suc ∪ 𝐴 ∈ On)
7		onenon 9946	. . 3 ⊢ (suc ∪ 𝐴 ∈ On → suc ∪ 𝐴 ∈ dom card)
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → suc ∪ 𝐴 ∈ dom card)
9		onsucuni 7818	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
10	9	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴)
11		ssnum 10036	. 2 ⊢ ((suc ∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ suc ∪ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
12	8, 10, 11	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  cardccrd 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-card 9936

This theorem is referenced by:  dfac12lem3  10142  cfeq0  10253  cfsuc  10254  cff1  10255  cfflb  10256  cflim2  10260  cfss  10262  cfslb  10263