Theorem uzindi 13204

Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
uzindi.b	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
uzindi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
uzindi.d	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindi.e	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindi.f	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
uzindi.g	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
uzindi	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐿   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥   𝑦,𝑅   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uzindi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindi.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
2		eluzfz2 12769	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
4		uzindi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fzofi 13196	. . . 4 ⊢ (𝐿..^𝑇) ∈ Fin
6		finnum 9230	. . . 4 ⊢ ((𝐿..^𝑇) ∈ Fin → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
8		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜑)
9		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇))
10		elfzuz3 12759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
12		fzoss2 12919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿..^𝑇))
13		fzossfz 12910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿..^𝑇) ⊆ (𝐿...𝑇)
14	12, 13	syl6ss 3907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
16	15	sselda 3895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇))
17		fzofi 13196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿..^𝑅) ∈ Fin
18		elfzofz 12907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
20		elfzuz3 12759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑅) → 𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆))
21		fzoss2 12919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
23		fzonel 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)
24	23	jctr 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
26		ssnelpss 4015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅) → ((𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)))
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅))
28		php3 8557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑅) ∈ Fin ∧ (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
29	17, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
31	30	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
32	16, 29, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒))
33	32	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
34	33	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
35	34	alimdv 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
36	35	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
37	36	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
38	37	imp31 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))
39		uzindi.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
40	8, 9, 38, 39	syl3anc 1364	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜓)
41	40	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
42	41	3adant2 1124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿..^𝑅) ≼ (𝐿..^𝑇) ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
43		uzindi.f	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
44	43	eleq1d 2869	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇)))
45		uzindi.d	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
46	44, 45	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
47		uzindi.g	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)
48	47	eleq1d 2869	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇)))
49		uzindi.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
50	48, 49	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃)))
51	43	oveq2d 7039	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑆))
52	47	oveq2d 7039	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑇))
53	4, 7, 42, 46, 50, 51, 52	indcardi 9320	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃))
54	3, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080  ∀wal 1523   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ⊆ wss 3865   ⊊ wpss 3866   class class class wbr 4968  dom cdm 5450  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ≼ cdom 8362   ≺ csdm 8363  Fincfn 8364  cardccrd 9217  ℤ_≥cuz 12097  ...cfz 12746  ..^cfzo 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888

This theorem is referenced by:  psgnunilem4  18360