Theorem uzindi 13947

Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
uzindi.b	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
uzindi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
uzindi.d	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindi.e	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindi.f	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
uzindi.g	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
uzindi	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐿   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥   𝑦,𝑅   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uzindi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindi.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
2		eluzfz2 13509	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
4		uzindi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fzofi 13939	. . . 4 ⊢ (𝐿..^𝑇) ∈ Fin
6		finnum 9943	. . . 4 ⊢ ((𝐿..^𝑇) ∈ Fin → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
8		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜑)
9		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇))
10		elfzuz3 13498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
11	10	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
12		fzoss2 13660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿..^𝑇))
13		fzossfz 13651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿..^𝑇) ⊆ (𝐿...𝑇)
14	12, 13	sstrdi 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
16	15	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇))
17		fzofi 13939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿..^𝑅) ∈ Fin
18		elfzofz 13648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
19	18	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
20		elfzuz3 13498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑅) → 𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆))
21		fzoss2 13660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
23		fzonel 13646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)
24	23	jctr 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
25	24	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
26		ssnelpss 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅) → ((𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)))
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅))
28		php3 9212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑅) ∈ Fin ∧ (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
29	17, 27, 28	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
31	30	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
32	16, 29, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒))
33	32	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
34	33	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
35	34	alimdv 1920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
36	35	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
37	36	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
38	37	imp31 419	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))
39		uzindi.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
40	8, 9, 38, 39	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜓)
41	40	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
42	41	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿..^𝑅) ≼ (𝐿..^𝑇) ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
43		uzindi.f	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
44	43	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇)))
45		uzindi.d	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
46	44, 45	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
47		uzindi.g	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)
48	47	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇)))
49		uzindi.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
50	48, 49	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃)))
51	43	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑆))
52	47	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑇))
53	4, 7, 42, 46, 50, 51, 52	indcardi 10036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃))
54	3, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949   ⊊ wpss 3950   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939  cardccrd 9930  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628

This theorem is referenced by:  psgnunilem4  19365