Theorem uzindi 14018

Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
uzindi.b	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
uzindi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
uzindi.d	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindi.e	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindi.f	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
uzindi.g	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
uzindi	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐿   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥   𝑦,𝑅   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uzindi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindi.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
2		eluzfz2 13559	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
4		uzindi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fzofi 14010	. . . 4 ⊢ (𝐿..^𝑇) ∈ Fin
6		finnum 9933	. . . 4 ⊢ ((𝐿..^𝑇) ∈ Fin → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
7	5, 6	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
8		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜑)
9		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇))
10		elfzuz3 13548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
11	10	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
12		fzoss2 13716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿..^𝑇))
13		fzossfz 13707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿..^𝑇) ⊆ (𝐿...𝑇)
14	12, 13	sstrdi 3948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
15	11, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
16	15	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇))
17		fzofi 14010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿..^𝑅) ∈ Fin
18		elfzofz 13704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
20		elfzuz3 13548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑅) → 𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆))
21		fzoss2 13716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
22	19, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
23		fzonel 13702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)
24	23	jctr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
25	24	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
26		ssnelpss 4068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅) → ((𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)))
27	22, 25, 26	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅))
28		php3 9192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑅) ∈ Fin ∧ (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
29	17, 27, 28	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
30		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
31	30	com13 89	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
32	16, 29, 31	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒))
33	32	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
34	33	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
35	34	alimdv 1944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
36	35	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
37	36	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
38	37	imp31 422	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))
39		uzindi.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
40	8, 9, 38, 39	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜓)
41	40	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
42	41	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿..^𝑅) ≼ (𝐿..^𝑇) ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
43		uzindi.f	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
44	43	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇)))
45		uzindi.d	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
46	44, 45	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
47		uzindi.g	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)
48	47	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇)))
49		uzindi.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
50	48, 49	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃)))
51	43	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑆))
52	47	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑇))
53	4, 7, 42, 46, 50, 51, 52	indcardi 10024	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃))
54	3, 53	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1566   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905   class class class wbr 5108  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≼ cdom 8940   ≺ csdm 8941  Fincfn 8942  cardccrd 9920  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  psgnunilem4  19566