MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzindi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzindi 13951
Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uzindi.a (𝜑𝐴𝑉)
uzindi.b (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐿))
uzindi.c ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
uzindi.d (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
uzindi.e (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜃))
uzindi.f (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑆)
uzindi.g (𝑥 = 𝐴𝑅 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
uzindi (𝜑𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐿   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥   𝑦,𝑅   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uzindi
StepHypRef Expression
1 uzindi.b . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐿))
2 eluzfz2 13513 . . 3 (𝑇 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
4 uzindi.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 fzofi 13943 . . . 4 (𝐿..^𝑇) ∈ Fin
6 finnum 9945 . . . 4 ((𝐿..^𝑇) ∈ Fin → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
75, 6mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
8 simpll 765 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜑)
9 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇))
10 elfzuz3 13502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝑅))
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑇 ∈ (ℤ𝑅))
12 fzoss2 13664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (ℤ𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿..^𝑇))
13 fzossfz 13655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿..^𝑇) ⊆ (𝐿...𝑇)
1412, 13sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (ℤ𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
1615sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇))
17 fzofi 13943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿..^𝑅) ∈ Fin
18 elfzofz 13652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
20 elfzuz3 13502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (𝐿...𝑅) → 𝑅 ∈ (ℤ𝑆))
21 fzoss2 13664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (ℤ𝑆) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
23 fzonel 13650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)
2423jctr 525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
26 ssnelpss 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅) → ((𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)))
2722, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅))
28 php3 9214 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿..^𝑅) ∈ Fin ∧ (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
2917, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
3130com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
3216, 29, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒))
3332ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
3433com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
3534alimdv 1919 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
3635ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
3736com23 86 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
3837imp31 418 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))
39 uzindi.c . . . . . 6 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
408, 9, 38, 39syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜓)
4140ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
42413adant2 1131 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿..^𝑅) ≼ (𝐿..^𝑇) ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
43 uzindi.f . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑆)
4443eleq1d 2818 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇)))
45 uzindi.d . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
4644, 45imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
47 uzindi.g . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑅 = 𝑇)
4847eleq1d 2818 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇)))
49 uzindi.e . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜃))
5048, 49imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃)))
5143oveq2d 7427 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑆))
5247oveq2d 7427 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑇))
534, 7, 42, 46, 50, 51, 52indcardi 10038 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃))
543, 53mpd 15 1 (𝜑𝜃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3948  wpss 3949   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  cfv 6543  (class class class)co 7411  cdom 8939  csdm 8940  Fincfn 8941  cardccrd 9932  cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  19406
  Copyright terms: Public domain W3C validator