Theorem uzindi 13520

Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
uzindi.b	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
uzindi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
uzindi.d	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindi.e	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindi.f	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
uzindi.g	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
uzindi	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐿   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥   𝑦,𝑅   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uzindi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindi.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
2		eluzfz2 13085	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
4		uzindi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fzofi 13512	. . . 4 ⊢ (𝐿..^𝑇) ∈ Fin
6		finnum 9529	. . . 4 ⊢ ((𝐿..^𝑇) ∈ Fin → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
8		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜑)
9		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇))
10		elfzuz3 13074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
11	10	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
12		fzoss2 13235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿..^𝑇))
13		fzossfz 13226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿..^𝑇) ⊆ (𝐿...𝑇)
14	12, 13	sstrdi 3899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
16	15	sselda 3887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇))
17		fzofi 13512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿..^𝑅) ∈ Fin
18		elfzofz 13223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
19	18	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
20		elfzuz3 13074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑅) → 𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆))
21		fzoss2 13235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
23		fzonel 13221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)
24	23	jctr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
25	24	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
26		ssnelpss 4012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅) → ((𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)))
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅))
28		php3 8810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑅) ∈ Fin ∧ (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
29	17, 27, 28	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
31	30	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
32	16, 29, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒))
33	32	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
34	33	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
35	34	alimdv 1924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
36	35	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
37	36	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
38	37	imp31 421	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))
39		uzindi.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
40	8, 9, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜓)
41	40	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
42	41	3adant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿..^𝑅) ≼ (𝐿..^𝑇) ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
43		uzindi.f	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
44	43	eleq1d 2815	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇)))
45		uzindi.d	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
46	44, 45	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
47		uzindi.g	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)
48	47	eleq1d 2815	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇)))
49		uzindi.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
50	48, 49	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃)))
51	43	oveq2d 7207	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑆))
52	47	oveq2d 7207	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑇))
53	4, 7, 42, 46, 50, 51, 52	indcardi 9620	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃))
54	3, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089  ∀wal 1541   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853   ⊊ wpss 3854   class class class wbr 5039  dom cdm 5536  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ≼ cdom 8602   ≺ csdm 8603  Fincfn 8604  cardccrd 9516  ℤ_≥cuz 12403  ...cfz 13060  ..^cfzo 13203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204

This theorem is referenced by:  psgnunilem4  18843