MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzindi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzindi 12999
Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uzindi.a (𝜑𝐴𝑉)
uzindi.b (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐿))
uzindi.c ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
uzindi.d (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
uzindi.e (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜃))
uzindi.f (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑆)
uzindi.g (𝑥 = 𝐴𝑅 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
uzindi (𝜑𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐿   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥   𝑦,𝑅   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uzindi
StepHypRef Expression
1 uzindi.b . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐿))
2 eluzfz2 12566 . . 3 (𝑇 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
4 uzindi.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 fzofi 12991 . . . 4 (𝐿..^𝑇) ∈ Fin
6 finnum 9051 . . . 4 ((𝐿..^𝑇) ∈ Fin → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
75, 6mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
8 simpll 774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜑)
9 simpr 473 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇))
10 elfzuz3 12556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝑅))
1110adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑇 ∈ (ℤ𝑅))
12 fzoss2 12714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (ℤ𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿..^𝑇))
13 fzossfz 12706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿..^𝑇) ⊆ (𝐿...𝑇)
1412, 13syl6ss 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (ℤ𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
1615sselda 3792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇))
17 fzofi 12991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿..^𝑅) ∈ Fin
18 elfzofz 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
1918adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
20 elfzuz3 12556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (𝐿...𝑅) → 𝑅 ∈ (ℤ𝑆))
21 fzoss2 12714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (ℤ𝑆) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
23 fzonel 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)
2423jctr 516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
2524adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
26 ssnelpss 3910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅) → ((𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)))
2722, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅))
28 php3 8379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿..^𝑅) ∈ Fin ∧ (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
2917, 27, 28sylancr 577 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
3130com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
3216, 29, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒))
3332ex 399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
3433com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
3534alimdv 2007 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
3635ex 399 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
3736com23 86 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
3837imp31 406 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))
39 uzindi.c . . . . . 6 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
408, 9, 38, 39syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜓)
4140ex 399 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
42413adant2 1154 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿..^𝑅) ≼ (𝐿..^𝑇) ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
43 uzindi.f . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑆)
4443eleq1d 2866 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇)))
45 uzindi.d . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
4644, 45imbi12d 335 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
47 uzindi.g . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑅 = 𝑇)
4847eleq1d 2866 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇)))
49 uzindi.e . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜃))
5048, 49imbi12d 335 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃)))
5143oveq2d 6884 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑆))
5247oveq2d 6884 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑇))
534, 7, 42, 46, 50, 51, 52indcardi 9141 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃))
543, 53mpd 15 1 (𝜑𝜃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100  wal 1635   = wceq 1637  wcel 2155  wss 3763  wpss 3764   class class class wbr 4837  dom cdm 5305  cfv 6095  (class class class)co 6868  cdom 8184  csdm 8185  Fincfn 8186  cardccrd 9038  cuz 11898  ...cfz 12543  ..^cfzo 12683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-card 9042  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-fz 12544  df-fzo 12684
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  18112
  Copyright terms: Public domain W3C validator