Theorem uzindi 14152

Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
uzindi.b	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
uzindi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
uzindi.d	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindi.e	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindi.f	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
uzindi.g	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
uzindi	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐿   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥   𝑦,𝑅   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem uzindi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindi.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
2		eluzfz2 13692	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
4		uzindi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fzofi 14144	. . . 4 ⊢ (𝐿..^𝑇) ∈ Fin
6		finnum 10056	. . . 4 ⊢ ((𝐿..^𝑇) ∈ Fin → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
7	5, 6	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
8		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜑)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇))
10		elfzuz3 13680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅))
12		fzoss2 13849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿..^𝑇))
13		fzossfz 13840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿..^𝑇) ⊆ (𝐿...𝑇)
14	12, 13	sstrdi 3925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
15	11, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
16	15	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇))
17		fzofi 14144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿..^𝑅) ∈ Fin
18		elfzofz 13837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
20		elfzuz3 13680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑅) → 𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆))
21		fzoss2 13849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ (ℤ≥‘𝑆) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
22	19, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
23		fzonel 13835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)
24	23	jctr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
26		ssnelpss 4045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅) → ((𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)))
27	22, 25, 26	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅))
28		php3 9252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑅) ∈ Fin ∧ (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
29	17, 27, 28	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
30		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
31	30	com13 89	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
32	16, 29, 31	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒))
33	32	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
34	33	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
35	34	alimdv 1951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
36	35	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
37	36	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
38	37	imp31 423	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))
39		uzindi.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
40	8, 9, 38, 39	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜓)
41	40	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
42	41	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿..^𝑅) ≼ (𝐿..^𝑇) ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
43		uzindi.f	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
44	43	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇)))
45		uzindi.d	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
46	44, 45	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
47		uzindi.g	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝑇)
48	47	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇)))
49		uzindi.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
50	48, 49	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃)))
51	43	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑆))
52	47	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑇))
53	4, 7, 42, 46, 50, 51, 52	indcardi 10147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃))
54	3, 53	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ≼ cdom 8999   ≺ csdm 9000  Fincfn 9001  cardccrd 10043  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666  ..^cfzo 13815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816

This theorem is used by:  psgnunilem4  19741