MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcvgaux1i 15821
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15820. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3 𝑍𝑋
infcvg.4 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
Assertion
Ref Expression
infcvgaux1i (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux1i
StepHypRef Expression
1 infcvg.1 . . 3 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
2 infcvg.2 . . . . . . 7 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
32renegcld 11657 . . . . . 6 (𝑦𝑋 → -𝐴 ∈ ℝ)
4 eleq1 2816 . . . . . 6 (𝑥 = -𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
53, 4syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (𝑥 = -𝐴𝑥 ∈ ℝ))
65rexlimiv 3143 . . . 4 (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴𝑥 ∈ ℝ)
76abssi 4063 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴} ⊆ ℝ
81, 7eqsstri 4012 . 2 𝑅 ⊆ ℝ
9 infcvg.3 . . . . . 6 𝑍𝑋
10 eqid 2727 . . . . . 6 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴
1110nfth 1796 . . . . . . 7 𝑦-𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴
12 csbeq1a 3903 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑍𝐴 = 𝑍 / 𝑦𝐴)
1312negeqd 11470 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑍 → -𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴)
1413eqeq2d 2738 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑍 → (-𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴 ↔ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴))
1511, 14rspce 3596 . . . . . 6 ((𝑍𝑋 ∧ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴) → ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴)
169, 10, 15mp2an 691 . . . . 5 𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴
17 negex 11474 . . . . . 6 -𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ V
18 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . 9 𝑦𝑍 / 𝑦𝐴
1918nfneg 11472 . . . . . . . 8 𝑦-𝑍 / 𝑦𝐴
2019nfeq2 2915 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴
21 eqeq1 2731 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴))
2220, 21rexbid 3266 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴 → (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴))
2317, 22elab 3665 . . . . 5 (-𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴} ↔ ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴)
2416, 23mpbir 230 . . . 4 -𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
2524, 1eleqtrri 2827 . . 3 -𝑍 / 𝑦𝐴𝑅
2625ne0ii 4333 . 2 𝑅 ≠ ∅
27 infcvg.4 . 2 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
288, 26, 273pm3.2i 1337 1 (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2704  wne 2935  wral 3056  wrex 3065  csb 3889  wss 3944  c0 4318   class class class wbr 5142  cr 11123  cle 11265  -cneg 11461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269  df-sub 11462  df-neg 11463
This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  15822
  Copyright terms: Public domain W3C validator