Theorem infcvgaux1i 15799

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15798. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2	⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3	⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
infcvg.4	⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux1i	⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
2		infcvg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11581	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → -𝐴 ∈ ℝ)
4		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
5	3, 4	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑥 = -𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
6	5	rexlimiv 3127	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	abssi 4029	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴} ⊆ ℝ
8	1, 7	eqsstri 3990	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
9		infcvg.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
11	10	nfth 1801	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
12		csbeq1a 3873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → 𝐴 = ⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴)
13	12	negeqd 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → -𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴)
14	13	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴 ↔ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴))
15	11, 14	rspce 3574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑋 ∧ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴)
16	9, 10, 15	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴
17		negex 11395	. . . . . 6 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ V
18		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
19	18	nfneg 11393	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
20	19	nfeq2 2909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
21		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴))
22	20, 21	rexbid 3249	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴))
23	17, 22	elab 3643	. . . . 5 ⊢ (-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴)
24	16, 23	mpbir 231	. . . 4 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
25	24, 1	eleqtrri 2827	. . 3 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ 𝑅
26	25	ne0ii 4303	. 2 ⊢ 𝑅 ≠ ∅
27		infcvg.4	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
28	8, 26, 27	3pm3.2i 1340	1 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ⦋csb 3859   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   ≤ cle 11185  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  15800