Theorem infcvgaux1i 15497

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15496. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2	⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3	⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
infcvg.4	⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux1i	⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
2		infcvg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → -𝐴 ∈ ℝ)
4		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
5	3, 4	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑥 = -𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
6	5	rexlimiv 3208	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	abssi 3999	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴} ⊆ ℝ
8	1, 7	eqsstri 3951	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
9		infcvg.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
11	10	nfth 1805	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
12		csbeq1a 3842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → 𝐴 = ⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴)
13	12	negeqd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → -𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴)
14	13	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴 ↔ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴))
15	11, 14	rspce 3540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑋 ∧ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴)
16	9, 10, 15	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴
17		negex 11149	. . . . . 6 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ V
18		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
19	18	nfneg 11147	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
20	19	nfeq2 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
21		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴))
22	20, 21	rexbid 3248	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴))
23	17, 22	elab 3602	. . . . 5 ⊢ (-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴)
24	16, 23	mpbir 230	. . . 4 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
25	24, 1	eleqtrri 2838	. . 3 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ 𝑅
26	25	ne0ii 4268	. 2 ⊢ 𝑅 ≠ ∅
27		infcvg.4	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
28	8, 26, 27	3pm3.2i 1337	1 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ⦋csb 3828   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  15498