Theorem infcvgaux1i 15907

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15906. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2	⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3	⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
infcvg.4	⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux1i	⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
2		infcvg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11636	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → -𝐴 ∈ ℝ)
4		eleq1 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
5	3, 4	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑥 = -𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
6	5	rexlimiv 3159	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	abssi 4022	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴} ⊆ ℝ
8	1, 7	eqsstri 3983	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
9		infcvg.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
11	10	nfth 1831	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
12		csbeq1a 3867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → 𝐴 = ⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴)
13	12	negeqd 11446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → -𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴)
14	13	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴 ↔ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴))
15	11, 14	rspce 3570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑋 ∧ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴)
16	9, 10, 15	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴
17		negex 11450	. . . . . 6 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ V
18		nfcsb1v 3877	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
19	18	nfneg 11448	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
20	19	nfeq2 2942	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
21		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴))
22	20, 21	rexbid 3279	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴))
23	17, 22	elab 3638	. . . . 5 ⊢ (-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴)
24	16, 23	mpbir 234	. . . 4 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
25	24, 1	eleqtrri 2862	. . 3 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ 𝑅
26	25	ne0ii 4297	. 2 ⊢ 𝑅 ≠ ∅
27		infcvg.4	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
28	8, 26, 27	3pm3.2i 1358	1 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ⦋csb 3853   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   ≤ cle 11239  -cneg 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  15908