MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcvgaux1i 15799
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15798. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3 𝑍𝑋
infcvg.4 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
Assertion
Ref Expression
infcvgaux1i (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux1i
StepHypRef Expression
1 infcvg.1 . . 3 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
2 infcvg.2 . . . . . . 7 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
32renegcld 11637 . . . . . 6 (𝑦𝑋 → -𝐴 ∈ ℝ)
4 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑥 = -𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
53, 4syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (𝑥 = -𝐴𝑥 ∈ ℝ))
65rexlimiv 3149 . . . 4 (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴𝑥 ∈ ℝ)
76abssi 4066 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴} ⊆ ℝ
81, 7eqsstri 4015 . 2 𝑅 ⊆ ℝ
9 infcvg.3 . . . . . 6 𝑍𝑋
10 eqid 2733 . . . . . 6 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴
1110nfth 1804 . . . . . . 7 𝑦-𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴
12 csbeq1a 3906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑍𝐴 = 𝑍 / 𝑦𝐴)
1312negeqd 11450 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑍 → -𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴)
1413eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑍 → (-𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴 ↔ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴))
1511, 14rspce 3601 . . . . . 6 ((𝑍𝑋 ∧ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴) → ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴)
169, 10, 15mp2an 691 . . . . 5 𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴
17 negex 11454 . . . . . 6 -𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ V
18 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . 9 𝑦𝑍 / 𝑦𝐴
1918nfneg 11452 . . . . . . . 8 𝑦-𝑍 / 𝑦𝐴
2019nfeq2 2921 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴
21 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴))
2220, 21rexbid 3272 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴 → (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴))
2317, 22elab 3667 . . . . 5 (-𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴} ↔ ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴)
2416, 23mpbir 230 . . . 4 -𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
2524, 1eleqtrri 2833 . . 3 -𝑍 / 𝑦𝐴𝑅
2625ne0ii 4336 . 2 𝑅 ≠ ∅
27 infcvg.4 . 2 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
288, 26, 273pm3.2i 1340 1 (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  csb 3892  wss 3947  c0 4321   class class class wbr 5147  cr 11105  cle 11245  -cneg 11441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443
This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  15800
  Copyright terms: Public domain W3C validator