Theorem infcvgaux1i 15890

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15889. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2	⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3	⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
infcvg.4	⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux1i	⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
2		infcvg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11688	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → -𝐴 ∈ ℝ)
4		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
5	3, 4	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑥 = -𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
6	5	rexlimiv 3146	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	abssi 4080	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴} ⊆ ℝ
8	1, 7	eqsstri 4030	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
9		infcvg.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
11	10	nfth 1798	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
12		csbeq1a 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → 𝐴 = ⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴)
13	12	negeqd 11500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → -𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴)
14	13	eqeq2d 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑍 → (-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴 ↔ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴))
15	11, 14	rspce 3611	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑋 ∧ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴)
16	9, 10, 15	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴
17		negex 11504	. . . . . 6 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ V
18		nfcsb1v 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
19	18	nfneg 11502	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
20	19	nfeq2 2921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴
21		eqeq1 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴))
22	20, 21	rexbid 3272	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴))
23	17, 22	elab 3681	. . . . 5 ⊢ (-⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 = -𝐴)
24	16, 23	mpbir 231	. . . 4 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = -𝐴}
25	24, 1	eleqtrri 2838	. . 3 ⊢ -⦋𝑍 / 𝑦⦌𝐴 ∈ 𝑅
26	25	ne0ii 4350	. 2 ⊢ 𝑅 ≠ ∅
27		infcvg.4	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧
28	8, 26, 27	3pm3.2i 1338	1 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑤 ≤ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ⦋csb 3908   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   ≤ cle 11294  -cneg 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  15891