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Theorem itgexpif 34174
Description: The basis for the circle method in the form of trigonometric sums. Proposition of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
itgexpif (𝑁 ∈ β„€ β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, 1, 0))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑁

Proof of Theorem itgexpif
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
21oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯)))
32fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯))))
4 ioossre 13409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)1) βŠ† ℝ
5 ax-resscn 11187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
64, 5sstri 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) βŠ† β„‚
76sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
87mul02d 11434 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
98oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 0))
10 ax-icn 11189 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ β„‚
11 2cn 12309 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„‚
12 picn 26381 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ β„‚
1311, 12mulcli 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 Β· Ο€) ∈ β„‚
1410, 13mulcli 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚
1514mul01i 11426 . . . . . . . . . . . 12 ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 0) = 0
169, 15eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯)) = 0)
1716fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯))) = (expβ€˜0))
18 ef0 16059 . . . . . . . . . 10 (expβ€˜0) = 1
1917, 18eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯))) = 1)
203, 19sylan9eq 2787 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) = 1)
2120ralrimiva 3141 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) = 1)
22 itgeq2 25694 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) = 1 β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)1 dπ‘₯)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑁 = 0 β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)1 dπ‘₯)
24 ioombl 25481 . . . . . . . 8 (0(,)1) ∈ dom vol
25 0re 11238 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
26 1re 11236 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
27 ioovolcl 25486 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(0(,)1)) ∈ ℝ)
2825, 26, 27mp2an 691 . . . . . . . 8 (volβ€˜(0(,)1)) ∈ ℝ
29 ax-1cn 11188 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
30 itgconst 25735 . . . . . . . 8 (((0(,)1) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ∫(0(,)1)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)1))))
3124, 28, 29, 30mp3an 1458 . . . . . . 7 ∫(0(,)1)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)1)))
32 0le1 11759 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
33 volioo 25485 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) β†’ (volβ€˜(0(,)1)) = (1 βˆ’ 0))
3425, 26, 32, 33mp3an 1458 . . . . . . . . 9 (volβ€˜(0(,)1)) = (1 βˆ’ 0)
3529subid1i 11554 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 0) = 1
3634, 35eqtri 2755 . . . . . . . 8 (volβ€˜(0(,)1)) = 1
3736oveq2i 7425 . . . . . . 7 (1 Β· (volβ€˜(0(,)1))) = (1 Β· 1)
3829mulridi 11240 . . . . . . 7 (1 Β· 1) = 1
3931, 37, 383eqtri 2759 . . . . . 6 ∫(0(,)1)1 dπ‘₯ = 1
4023, 39eqtrdi 2783 . . . . 5 (𝑁 = 0 β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = 1)
4140adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = 1)
4241eqcomd 2733 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 = 0) β†’ 1 = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
43 ioomax 13423 . . . . . . 7 (-∞(,)+∞) = ℝ
4443eqcomi 2736 . . . . . 6 ℝ = (-∞(,)+∞)
45 0red 11239 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
46 1red 11237 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 1 ∈ ℝ)
4732a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ≀ 1)
485a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4948sselda 3978 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
5010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ i ∈ β„‚)
51 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 2 ∈ β„‚)
5212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
5351, 52mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
5450, 53mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
55 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5655zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5754, 56mulcld 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
6058, 59mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) ∈ β„‚)
6160efcld 16051 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
6249, 61syldan 590 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
6357adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
64 ine0 11671 . . . . . . . . . . . 12 i β‰  0
65 2ne0 12338 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
66 pipos 26382 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < Ο€
6725, 66gtneii 11348 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ β‰  0
6811, 12, 65, 67mulne0i 11879 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· Ο€) β‰  0
6910, 13, 64, 68mulne0i 11879 . . . . . . . . . . 11 (i Β· (2 Β· Ο€)) β‰  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) β‰  0)
71 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
7271neqned 2942 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 β‰  0)
7354, 56, 70, 72mulne0d 11888 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) β‰  0)
7473adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) β‰  0)
7562, 63, 74divcld 12012 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
7675fmpttd 7119 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))):β„βŸΆβ„‚)
77 reelprrecn 11222 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
79 cnelprrecn 11223 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
8163, 49mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) ∈ β„‚)
82 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
8382efcld 16051 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8457adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
8573adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) β‰  0)
8683, 84, 85divcld 12012 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜π‘§) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
8726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
8878dvmptid 25876 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
8978, 49, 87, 88, 57dvmptcmul 25883 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)))
9063mulridd 11253 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))
9190mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
9289, 91eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
93 dvef 25899 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ D exp) = exp
94 eff 16049 . . . . . . . . . . . . . 14 exp:β„‚βŸΆβ„‚
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
9695feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ exp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
9796oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (β„‚ D exp) = (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§))))
9893, 97, 963eqtr3a 2791 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
9980, 83, 83, 98, 57, 73dvmptdivc 25884 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘§) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘§) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))
100 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) β†’ (expβ€˜π‘§) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))
101100oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) β†’ ((expβ€˜π‘§) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
10278, 80, 81, 63, 86, 86, 92, 99, 101, 101dvmptco 25891 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))
10362, 63, 74divcan1d 12013 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))
104103mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))))
105102, 104eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))))
106 efcn 26367 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
107106a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
108 resmpt 6035 . . . . . . . . . 10 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))
1095, 108mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))
110 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))
111110mulc1cncf 24812 . . . . . . . . . . 11 (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
11257, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
113 rescncf 24804 . . . . . . . . . . 11 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)))
1145, 113mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)))
115112, 114mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
116109, 115eqeltrrd 2829 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
117107, 116cncfmpt1f 24821 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
118105, 117eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
11944, 45, 46, 47, 76, 118ftc2re 34166 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) βˆ’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0)))
1204sseli 3974 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
121105adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))))
122121fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))β€˜π‘₯))
123 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯))
124123fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)))
125124cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)))
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯))))
12757adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
12848sselda 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
129127, 128mulcld 11256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯) ∈ β„‚)
130129efcld 16051 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
131126, 130fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))β€˜π‘₯) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)))
13214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
13356adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
134132, 133, 128mulassd 11259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯)))
135134fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
136131, 135eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
137122, 136eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
138120, 137sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
139138ralrimiva 3141 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
140 itgeq2 25694 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) β†’ ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
141139, 140syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
142 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))
143 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) β†’ 𝑦 = 1)
144143oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1))
145144fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)))
146145oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
14729a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 1 ∈ β„‚)
14857, 147mulcld 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1) ∈ β„‚)
149148efcld 16051 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) ∈ β„‚)
150149, 57, 73divcld 12012 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
151142, 146, 46, 150fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
15257mulridd 11253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))
153152fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
154 ef2kpi 26400 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = 1)
15555, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = 1)
156153, 155eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) = 1)
157156oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
158151, 157eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) = (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
159 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) β†’ 𝑦 = 0)
160159oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0))
161160fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)))
162161oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
1635, 45sselid 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ∈ β„‚)
16457, 163mulcld 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0) ∈ β„‚)
165164efcld 16051 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) ∈ β„‚)
166165, 57, 73divcld 12012 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
167142, 162, 45, 166fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
16857mul01d 11435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0) = 0)
169168fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) = (expβ€˜0))
170169, 18eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) = 1)
171170oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
172167, 171eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0) = (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
173158, 172oveq12d 7432 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) βˆ’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0)) = ((1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) βˆ’ (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))
174157, 150eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
175174subidd 11581 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) βˆ’ (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))) = 0)
176173, 175eqtrd 2767 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) βˆ’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0)) = 0)
177119, 141, 1763eqtr3d 2775 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = 0)
178177eqcomd 2733 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
17942, 178ifeqda 4560 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ if(𝑁 = 0, 1, 0) = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
180179eqcomd 2733 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131  ici 11132   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  β„€cz 12580  (,)cioo 13348  expce 16029  Ο€cpi 16034  β€“cnβ†’ccncf 24783  volcvol 25379  βˆ«citg 25534   D cdv 25779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-limc 25782  df-dv 25783
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