| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥)) |
| 2 | 1 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → ((i · (2
· π)) · (𝑁
· 𝑥)) = ((i ·
(2 · π)) · (0 · 𝑥))) |
| 3 | 2 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 = 0 → (exp‘((i
· (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 ·
π)) · (0 · 𝑥)))) |
| 4 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0(,)1)
⊆ ℝ |
| 5 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 6 | 4, 5 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0(,)1)
⊆ ℂ |
| 7 | 6 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈
ℂ) |
| 8 | 7 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (0
· 𝑥) =
0) |
| 9 | 8 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i
· (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) ·
0)) |
| 10 | | ax-icn 11214 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ i ∈
ℂ |
| 11 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 12 | | picn 26501 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ π
∈ ℂ |
| 13 | 11, 12 | mulcli 11268 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2
· π) ∈ ℂ |
| 14 | 10, 13 | mulcli 11268 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (i
· (2 · π)) ∈ ℂ |
| 15 | 14 | mul01i 11451 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((i
· (2 · π)) · 0) = 0 |
| 16 | 9, 15 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i
· (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = 0) |
| 17 | 16 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) →
(exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) =
(exp‘0)) |
| 18 | | ef0 16127 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(exp‘0) = 1 |
| 19 | 17, 18 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) →
(exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = 1) |
| 20 | 3, 19 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((i
· (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1) |
| 21 | 20 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i
· (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1) |
| 22 | | itgeq2 25813 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑥 ∈
(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1 → ∫(0(,)1)(exp‘((i
· (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥) |
| 23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 = 0 →
∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥) |
| 24 | | ioombl 25600 |
. . . . . . . 8
⊢ (0(,)1)
∈ dom vol |
| 25 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 26 | | 1re 11261 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 27 | | ioovolcl 25605 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)1)) ∈
ℝ) |
| 28 | 25, 26, 27 | mp2an 692 |
. . . . . . . 8
⊢
(vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ |
| 29 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 30 | | itgconst 25854 |
. . . . . . . 8
⊢ (((0(,)1)
∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ)
→ ∫(0(,)1)1 d𝑥 =
(1 · (vol‘(0(,)1)))) |
| 31 | 24, 28, 29, 30 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢
∫(0(,)1)1 d𝑥 =
(1 · (vol‘(0(,)1))) |
| 32 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ≤
1 |
| 33 | | volioo 25604 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) →
(vol‘(0(,)1)) = (1 − 0)) |
| 34 | 25, 26, 32, 33 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . 9
⊢
(vol‘(0(,)1)) = (1 − 0) |
| 35 | 29 | subid1i 11581 |
. . . . . . . . 9
⊢ (1
− 0) = 1 |
| 36 | 34, 35 | eqtri 2765 |
. . . . . . . 8
⊢
(vol‘(0(,)1)) = 1 |
| 37 | 36 | oveq2i 7442 |
. . . . . . 7
⊢ (1
· (vol‘(0(,)1))) = (1 · 1) |
| 38 | 29 | mulridi 11265 |
. . . . . . 7
⊢ (1
· 1) = 1 |
| 39 | 31, 37, 38 | 3eqtri 2769 |
. . . . . 6
⊢
∫(0(,)1)1 d𝑥 =
1 |
| 40 | 23, 39 | eqtrdi 2793 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 = 0 →
∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1) |
| 41 | 40 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) →
∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1) |
| 42 | 41 | eqcomd 2743 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → 1 =
∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥) |
| 43 | | ioomax 13462 |
. . . . . . 7
⊢
(-∞(,)+∞) = ℝ |
| 44 | 43 | eqcomi 2746 |
. . . . . 6
⊢ ℝ =
(-∞(,)+∞) |
| 45 | | 0red 11264 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 0 ∈
ℝ) |
| 46 | | 1red 11262 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 1 ∈
ℝ) |
| 47 | 32 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 0 ≤
1) |
| 48 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ℝ
⊆ ℂ) |
| 49 | 48 | sselda 3983 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈
ℂ) |
| 50 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → i ∈
ℂ) |
| 51 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 2 ∈
ℂ) |
| 52 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → π ∈
ℂ) |
| 53 | 51, 52 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (2 ·
π) ∈ ℂ) |
| 54 | 50, 53 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (i ·
(2 · π)) ∈ ℂ) |
| 55 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 56 | 55 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 57 | 54, 56 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((i ·
(2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ) |
| 58 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((i
· (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ) |
| 59 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈
ℂ) |
| 60 | 58, 59 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ) |
| 61 | 60 | efcld 16119 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 62 | 49, 61 | syldan 591 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ) |
| 63 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i
· (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ) |
| 64 | | ine0 11698 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ i ≠
0 |
| 65 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ≠
0 |
| 66 | | pipos 26502 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 <
π |
| 67 | 25, 66 | gtneii 11373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ π ≠
0 |
| 68 | 11, 12, 65, 67 | mulne0i 11906 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (2
· π) ≠ 0 |
| 69 | 10, 13, 64, 68 | mulne0i 11906 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (i
· (2 · π)) ≠ 0 |
| 70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (i ·
(2 · π)) ≠ 0) |
| 71 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0) |
| 72 | 71 | neqned 2947 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0) |
| 73 | 54, 56, 70, 72 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((i ·
(2 · π)) · 𝑁) ≠ 0) |
| 74 | 73 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i
· (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0) |
| 75 | 62, 63, 74 | divcld 12043 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)) ∈
ℂ) |
| 76 | 75 | fmpttd 7135 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁))):ℝ⟶ℂ) |
| 77 | | reelprrecn 11247 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℝ
∈ {ℝ, ℂ} |
| 78 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ℝ
∈ {ℝ, ℂ}) |
| 79 | | cnelprrecn 11248 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
| 80 | 79 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ℂ
∈ {ℝ, ℂ}) |
| 81 | 63, 49 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ) |
| 82 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈
ℂ) |
| 83 | 82 | efcld 16119 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) →
(exp‘𝑧) ∈
ℂ) |
| 84 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i
· (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ) |
| 85 | 73 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i
· (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0) |
| 86 | 83, 84, 85 | divcld 12043 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) →
((exp‘𝑧) / ((i
· (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ) |
| 87 | 26 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
| 88 | 78 | dvmptid 25995 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℝ D
(𝑦 ∈ ℝ ↦
𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1)) |
| 89 | 78, 49, 87, 88, 57 | dvmptcmul 26002 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℝ D
(𝑦 ∈ ℝ ↦
(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 1))) |
| 90 | 63 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)) |
| 91 | 90 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2
· π)) · 𝑁))) |
| 92 | 89, 91 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℝ D
(𝑦 ∈ ℝ ↦
(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2
· π)) · 𝑁))) |
| 93 | | dvef 26018 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℂ
D exp) = exp |
| 94 | | eff 16117 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
exp:ℂ⟶ℂ |
| 95 | 94 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
exp:ℂ⟶ℂ) |
| 96 | 95 | feqmptd 6977 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑧))) |
| 97 | 96 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℂ D
exp) = (ℂ D (𝑧 ∈
ℂ ↦ (exp‘𝑧)))) |
| 98 | 93, 97, 96 | 3eqtr3a 2801 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℂ D
(𝑧 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦
(exp‘𝑧))) |
| 99 | 80, 83, 83, 98, 57, 73 | dvmptdivc 26003 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℂ D
(𝑧 ∈ ℂ ↦
((exp‘𝑧) / ((i
· (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)))) |
| 100 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = (((i · (2 ·
π)) · 𝑁) ·
𝑦) → (exp‘𝑧) = (exp‘(((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦))) |
| 101 | 100 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = (((i · (2 ·
π)) · 𝑁) ·
𝑦) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)) =
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁))) |
| 102 | 78, 80, 81, 63, 86, 86, 92, 99, 101, 101 | dvmptco 26010 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℝ D
(𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)) · ((i ·
(2 · π)) · 𝑁)))) |
| 103 | 62, 63, 74 | divcan1d 12044 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
(((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)) · ((i ·
(2 · π)) · 𝑁)) = (exp‘(((i · (2 ·
π)) · 𝑁) ·
𝑦))) |
| 104 | 103 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦
(((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)) · ((i ·
(2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))) |
| 105 | 102, 104 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℝ D
(𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))) |
| 106 | | efcn 26487 |
. . . . . . . . 9
⊢ exp
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
| 107 | 106 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → exp ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
| 108 | | resmpt 6055 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℝ
⊆ ℂ → ((𝑦
∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦))) |
| 109 | 5, 108 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦))) |
| 110 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦)) |
| 111 | 110 | mulc1cncf 24931 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((i
· (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦)) ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
| 112 | 57, 111 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 113 | | rescncf 24923 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℝ
⊆ ℂ → ((𝑦
∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦)) ↾
ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ))) |
| 114 | 5, 113 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦)) ↾
ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ))) |
| 115 | 112, 114 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈
(ℝ–cn→ℂ)) |
| 116 | 109, 115 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) |
| 117 | 107, 116 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) |
| 118 | 105, 117 | eqeltrd 2841 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (ℝ D
(𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))) ∈
(ℝ–cn→ℂ)) |
| 119 | 44, 45, 46, 47, 76, 118 | ftc2re 34613 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦
∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) ·
𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘1) −
((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘0))) |
| 120 | 4 | sseli 3979 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 121 | 105 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ
D (𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))) |
| 122 | 121 | fveq1d 6908 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((ℝ D (𝑦 ∈
ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥)) |
| 123 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((i · (2 · π))
· 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 ·
π)) · 𝑁) ·
𝑥)) |
| 124 | 123 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (exp‘(((i · (2 ·
π)) · 𝑁) ·
𝑦)) = (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))) |
| 125 | 124 | cbvmptv 5255 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))) |
| 126 | 125 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))) |
| 127 | 57 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((i
· (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ) |
| 128 | 48 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈
ℂ) |
| 129 | 127, 128 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ) |
| 130 | 129 | efcld 16119 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) ∈ ℂ) |
| 131 | 126, 130 | fvmpt2d 7029 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘(((i · (2 ·
π)) · 𝑁) ·
𝑥))) |
| 132 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i
· (2 · π)) ∈ ℂ) |
| 133 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 134 | 132, 133,
128 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) = ((i · (2 · π)) ·
(𝑁 · 𝑥))) |
| 135 | 134 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘((i · (2 ·
π)) · (𝑁 ·
𝑥)))) |
| 136 | 131, 135 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 ·
π)) · (𝑁 ·
𝑥)))) |
| 137 | 122, 136 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((ℝ D (𝑦 ∈
ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2
· π)) · (𝑁
· 𝑥)))) |
| 138 | 120, 137 | sylan2 593 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) →
((ℝ D (𝑦 ∈
ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2
· π)) · (𝑁
· 𝑥)))) |
| 139 | 138 | ralrimiva 3146 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D
(𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2
· π)) · (𝑁
· 𝑥)))) |
| 140 | | itgeq2 25813 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑥 ∈
(0(,)1)((ℝ D (𝑦
∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) ·
𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 ·
π)) · (𝑁 ·
𝑥))) →
∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦
∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) ·
𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2
· π)) · (𝑁
· 𝑥))) d𝑥) |
| 141 | 139, 140 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦
∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) ·
𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2
· π)) · (𝑁
· 𝑥))) d𝑥) |
| 142 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))) |
| 143 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → 𝑦 = 1) |
| 144 | 143 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦) = (((i ·
(2 · π)) · 𝑁) · 1)) |
| 145 | 144 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 ·
π)) · 𝑁) ·
1))) |
| 146 | 145 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → ((exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)) = ((exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))) |
| 147 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 1 ∈
ℂ) |
| 148 | 57, 147 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (((i ·
(2 · π)) · 𝑁) · 1) ∈
ℂ) |
| 149 | 148 | efcld 16119 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) ∈
ℂ) |
| 150 | 149, 57, 73 | divcld 12043 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)) ∈
ℂ) |
| 151 | 142, 146,
46, 150 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘1) =
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))) |
| 152 | 57 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (((i ·
(2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)) |
| 153 | 152 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (exp‘((i · (2
· π)) · 𝑁))) |
| 154 | | ef2kpi 26520 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1) |
| 155 | 55, 154 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
(exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1) |
| 156 | 153, 155 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = 1) |
| 157 | 156 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)) = (1 /
((i · (2 · π)) · 𝑁))) |
| 158 | 151, 157 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘1) = (1 / ((i
· (2 · π)) · 𝑁))) |
| 159 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0) |
| 160 | 159 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (((i · (2
· π)) · 𝑁)
· 𝑦) = (((i ·
(2 · π)) · 𝑁) · 0)) |
| 161 | 160 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 ·
π)) · 𝑁) ·
0))) |
| 162 | 161 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → ((exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)) = ((exp‘(((i
· (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))) |
| 163 | 5, 45 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 0 ∈
ℂ) |
| 164 | 57, 163 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (((i ·
(2 · π)) · 𝑁) · 0) ∈
ℂ) |
| 165 | 164 | efcld 16119 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) ∈
ℂ) |
| 166 | 165, 57, 73 | divcld 12043 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)) ∈
ℂ) |
| 167 | 142, 162,
45, 166 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘0) =
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))) |
| 168 | 57 | mul01d 11460 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (((i ·
(2 · π)) · 𝑁) · 0) = 0) |
| 169 | 168 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) =
(exp‘0)) |
| 170 | 169, 18 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
(exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = 1) |
| 171 | 170 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)) = (1 /
((i · (2 · π)) · 𝑁))) |
| 172 | 167, 171 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘0) = (1 / ((i
· (2 · π)) · 𝑁))) |
| 173 | 158, 172 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘1) −
((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘0)) = ((1 / ((i
· (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁)))) |
| 174 | 157, 150 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (1 / ((i
· (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ) |
| 175 | 174 | subidd 11608 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → ((1 / ((i
· (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 ·
π)) · 𝑁))) =
0) |
| 176 | 173, 175 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘1) −
((𝑦 ∈ ℝ ↦
((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) ·
𝑁)))‘0)) =
0) |
| 177 | 119, 141,
176 | 3eqtr3d 2785 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) →
∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 0) |
| 178 | 177 | eqcomd 2743 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬
𝑁 = 0) → 0 =
∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥) |
| 179 | 42, 178 | ifeqda 4562 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → if(𝑁 = 0, 1, 0) =
∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥) |
| 180 | 179 | eqcomd 2743 |
1
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0)) |