Theorem itgexpif 32486

Description: The basis for the circle method in the form of trigonometric sums. Proposition of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
itgexpif	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem itgexpif

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2	1	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)))
3	2	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))))
4		ioossre 13069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 10859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
7	6	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	mul02d 11103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (0 · 𝑥) = 0)
9	8	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · 0))
10		ax-icn 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
11		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		picn 25521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 10913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
14	10, 13	mulcli 10913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15	14	mul01i 11095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · (2 · π)) · 0) = 0
16	9, 15	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = 0)
17	16	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = (exp‘0))
18		ef0 15728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘0) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = 1)
20	3, 19	sylan9eq 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
21	20	ralrimiva 3107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
22		itgeq2 24847	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
24		ioombl 24634	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
25		0re 10908	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		1re 10906	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		ioovolcl 24639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ
29		ax-1cn 10860	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		itgconst 24888	. . . . . . . 8 ⊢ (((0(,)1) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1))))
31	24, 28, 29, 30	mp3an 1459	. . . . . . 7 ⊢ ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1)))
32		0le1 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
33		volioo 24638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0))
34	25, 26, 32, 33	mp3an 1459	. . . . . . . . 9 ⊢ (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0)
35	29	subid1i 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
36	34, 35	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (vol‘(0(,)1)) = 1
37	36	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (vol‘(0(,)1))) = (1 · 1)
38	29	mulid1i 10910	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
39	31, 37, 38	3eqtri 2770	. . . . . 6 ⊢ ∫(0(,)1)1 d𝑥 = 1
40	23, 39	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
41	40	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
42	41	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → 1 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
43		ioomax 13083	. . . . . . 7 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
44	43	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (-∞(,)+∞)
45		0red 10909	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℝ)
46		1red 10907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℝ)
47	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 1)
48	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ⊆ ℂ)
49	48	sselda 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → i ∈ ℂ)
51		2cnd 11981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 2 ∈ ℂ)
52	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → π ∈ ℂ)
53	51, 52	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
54	50, 53	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
55		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	54, 56	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
59		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
60	58, 59	mulcld 10926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60	efcld 32471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
62	49, 61	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
63	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
64		ine0 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
65		2ne0 12007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
66		pipos 25522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
67	25, 66	gtneii 11017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
68	11, 12, 65, 67	mulne0i 11548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
69	10, 13, 64, 68	mulne0i 11548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
71		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
72	71	neqned 2949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
73	54, 56, 70, 72	mulne0d 11557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
74	73	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
75	62, 63, 74	divcld 11681	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
76	75	fmpttd 6971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))):ℝ⟶ℂ)
77		reelprrecn 10894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
79		cnelprrecn 10895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
81	63, 49	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
82		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
83	82	efcld 32471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
84	57	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
85	73	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
86	83, 84, 85	divcld 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
87	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
88	78	dvmptid 25026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
89	78, 49, 87, 88, 57	dvmptcmul 25033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
90	63	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
91	90	mpteq2dva 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
92	89, 91	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
93		dvef 25049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ D exp) = exp
94		eff 15719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp:ℂ⟶ℂ)
96	95	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
97	96	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))))
98	93, 97, 96	3eqtr3a 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
99	80, 83, 83, 98, 57, 73	dvmptdivc 25034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
100		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → (exp‘𝑧) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
101	100	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
102	78, 80, 81, 63, 86, 86, 92, 99, 101, 101	dvmptco 25041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
103	62, 63, 74	divcan1d 11682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
104	103	mpteq2dva 5170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
105	102, 104	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
106		efcn 25507	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
108		resmpt 5934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
109	5, 108	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
110		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))
111	110	mulc1cncf 23974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
112	57, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
113		rescncf 23966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
114	5, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
115	112, 114	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
116	109, 115	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
117	107, 116	cncfmpt1f 23983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
118	105, 117	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
119	44, 45, 46, 47, 76, 118	ftc2re 32478	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)))
120	4	sseli 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
121	105	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
122	121	fveq1d 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥))
123		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))
124	123	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
125	124	cbvmptv 5183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))))
127	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
128	48	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
129	127, 128	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
130	129	efcld 32471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) ∈ ℂ)
131	126, 130	fvmpt2d 6870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
132	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
133	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
134	132, 133, 128	mulassd 10929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) = ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)))
135	134	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
136	131, 135	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
137	122, 136	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
138	120, 137	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
139	138	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
140		itgeq2 24847	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
141	139, 140	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
142		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
143		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
144	143	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1))
145	144	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
146	145	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
147	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℂ)
148	57, 147	mulcld 10926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
149	148	efcld 32471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) ∈ ℂ)
150	149, 57, 73	divcld 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
151	142, 146, 46, 150	fvmptd 6864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
152	57	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
153	152	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)))
154		ef2kpi 25540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
155	55, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
156	153, 155	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = 1)
157	156	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
158	151, 157	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
159		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
160	159	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0))
161	160	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)))
162	161	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
163	5, 45	sselid 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℂ)
164	57, 163	mulcld 10926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) ∈ ℂ)
165	164	efcld 32471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) ∈ ℂ)
166	165, 57, 73	divcld 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
167	142, 162, 45, 166	fvmptd 6864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
168	57	mul01d 11104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) = 0)
169	168	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = (exp‘0))
170	169, 18	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = 1)
171	170	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
172	167, 171	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
173	158, 172	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
174	157, 150	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
175	174	subidd 11250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = 0)
176	173, 175	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = 0)
177	119, 141, 176	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 0)
178	177	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
179	42, 178	ifeqda 4492	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → if(𝑁 = 0, 1, 0) = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
180	179	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  {cpr 4560   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ℤcz 12249  (,)cioo 13008  expce 15699  πcpi 15704  –cn→ccncf 23945  volcvol 24532  ∫citg 24687   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-limc 24935  df-dv 24936

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