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Theorem itgexpif 34599
Description: The basis for the circle method in the form of trigonometric sums. Proposition of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
itgexpif (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem itgexpif
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
21oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)))
32fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))))
4 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)1) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ ℂ
76sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℂ)
87mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)1) → (0 · 𝑥) = 0)
98oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · 0))
10 ax-icn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
11 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
12 picn 26515 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℂ
1311, 12mulcli 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℂ
1410, 13mulcli 11265 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
1514mul01i 11448 . . . . . . . . . . . 12 ((i · (2 · π)) · 0) = 0
169, 15eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = 0)
1716fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = (exp‘0))
18 ef0 16123 . . . . . . . . . 10 (exp‘0) = 1
1917, 18eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = 1)
203, 19sylan9eq 2794 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
2120ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
22 itgeq2 25827 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
24 ioombl 25613 . . . . . . . 8 (0(,)1) ∈ dom vol
25 0re 11260 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
26 1re 11258 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
27 ioovolcl 25618 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ)
2825, 26, 27mp2an 692 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ
29 ax-1cn 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
30 itgconst 25868 . . . . . . . 8 (((0(,)1) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1))))
3124, 28, 29, 30mp3an 1460 . . . . . . 7 ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1)))
32 0le1 11783 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
33 volioo 25617 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0))
3425, 26, 32, 33mp3an 1460 . . . . . . . . 9 (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0)
3529subid1i 11578 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
3634, 35eqtri 2762 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)1)) = 1
3736oveq2i 7441 . . . . . . 7 (1 · (vol‘(0(,)1))) = (1 · 1)
3829mulridi 11262 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
3931, 37, 383eqtri 2766 . . . . . 6 ∫(0(,)1)1 d𝑥 = 1
4023, 39eqtrdi 2790 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
4140adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
4241eqcomd 2740 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → 1 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
43 ioomax 13458 . . . . . . 7 (-∞(,)+∞) = ℝ
4443eqcomi 2743 . . . . . 6 ℝ = (-∞(,)+∞)
45 0red 11261 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℝ)
46 1red 11259 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℝ)
4732a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 1)
485a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ⊆ ℂ)
4948sselda 3994 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → i ∈ ℂ)
51 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 2 ∈ ℂ)
5212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → π ∈ ℂ)
5351, 52mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
5450, 53mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
55 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5655zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5754, 56mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
6058, 59mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
6160efcld 16115 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
6249, 61syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
6357adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
64 ine0 11695 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
65 2ne0 12367 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
66 pipos 26516 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
6725, 66gtneii 11370 . . . . . . . . . . . . 13 π ≠ 0
6811, 12, 65, 67mulne0i 11903 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ≠ 0
6910, 13, 64, 68mulne0i 11903 . . . . . . . . . . 11 (i · (2 · π)) ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
71 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
7271neqned 2944 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
7354, 56, 70, 72mulne0d 11912 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
7473adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
7562, 63, 74divcld 12040 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
7675fmpttd 7134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))):ℝ⟶ℂ)
77 reelprrecn 11244 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
79 cnelprrecn 11245 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
8163, 49mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
82 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
8382efcld 16115 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
8457adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
8573adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
8683, 84, 85divcld 12040 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
8726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
8878dvmptid 26009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
8978, 49, 87, 88, 57dvmptcmul 26016 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
9063mulridd 11275 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
9190mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
9289, 91eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
93 dvef 26032 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D exp) = exp
94 eff 16113 . . . . . . . . . . . . . 14 exp:ℂ⟶ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp:ℂ⟶ℂ)
9695feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
9796oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))))
9893, 97, 963eqtr3a 2798 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
9980, 83, 83, 98, 57, 73dvmptdivc 26017 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
100 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → (exp‘𝑧) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
101100oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
10278, 80, 81, 63, 86, 86, 92, 99, 101, 101dvmptco 26024 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
10362, 63, 74divcan1d 12041 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
104103mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
105102, 104eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
106 efcn 26501 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
107106a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
108 resmpt 6056 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
1095, 108mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
110 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))
111110mulc1cncf 24944 . . . . . . . . . . 11 (((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11257, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
113 rescncf 24936 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
1145, 113mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
115112, 114mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
116109, 115eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
117107, 116cncfmpt1f 24953 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
118105, 117eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
11944, 45, 46, 47, 76, 118ftc2re 34591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)))
1204sseli 3990 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
121105adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
122121fveq1d 6908 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥))
123 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))
124123fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
125124cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))))
12757adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
12848sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
129127, 128mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
130129efcld 16115 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) ∈ ℂ)
131126, 130fvmpt2d 7028 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
13214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
13356adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
134132, 133, 128mulassd 11281 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) = ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)))
135134fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
136131, 135eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
137122, 136eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
138120, 137sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
139138ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
140 itgeq2 25827 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
141139, 140syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
142 eqidd 2735 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
143 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
144143oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1))
145144fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
146145oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
14729a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℂ)
14857, 147mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
149148efcld 16115 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) ∈ ℂ)
150149, 57, 73divcld 12040 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
151142, 146, 46, 150fvmptd 7022 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
15257mulridd 11275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
153152fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)))
154 ef2kpi 26534 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
15555, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
156153, 155eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = 1)
157156oveq1d 7445 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
158151, 157eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
159 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
160159oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0))
161160fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)))
162161oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
1635, 45sselid 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℂ)
16457, 163mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) ∈ ℂ)
165164efcld 16115 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) ∈ ℂ)
166165, 57, 73divcld 12040 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
167142, 162, 45, 166fvmptd 7022 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
16857mul01d 11457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) = 0)
169168fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = (exp‘0))
170169, 18eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = 1)
171170oveq1d 7445 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
172167, 171eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
173158, 172oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
174157, 150eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
175174subidd 11605 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = 0)
176173, 175eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = 0)
177119, 141, 1763eqtr3d 2782 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 0)
178177eqcomd 2740 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
17942, 178ifeqda 4566 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → if(𝑁 = 0, 1, 0) = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
180179eqcomd 2740 1 (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wss 3962  ifcif 4530  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  ici 11154   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  (,)cioo 13383  expce 16093  πcpi 16098  cnccncf 24915  volcvol 25511  citg 25666   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
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