Theorem itgexpif 34584

Description: The basis for the circle method in the form of trigonometric sums. Proposition of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
itgexpif	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem itgexpif

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2	1	oveq2d 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)))
3	2	fveq2d 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))))
4		ioossre 13422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
7	6	sseli 3954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	mul02d 11431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (0 · 𝑥) = 0)
9	8	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · 0))
10		ax-icn 11186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
11		2cn 12313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		picn 26417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
14	10, 13	mulcli 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15	14	mul01i 11423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · (2 · π)) · 0) = 0
16	9, 15	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = 0)
17	16	fveq2d 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = (exp‘0))
18		ef0 16105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘0) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = 1)
20	3, 19	sylan9eq 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
21	20	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
22		itgeq2 25729	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
24		ioombl 25516	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
25		0re 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		1re 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		ioovolcl 25521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ
29		ax-1cn 11185	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		itgconst 25770	. . . . . . . 8 ⊢ (((0(,)1) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1))))
31	24, 28, 29, 30	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1)))
32		0le1 11758	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
33		volioo 25520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0))
34	25, 26, 32, 33	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0)
35	29	subid1i 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
36	34, 35	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (vol‘(0(,)1)) = 1
37	36	oveq2i 7414	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (vol‘(0(,)1))) = (1 · 1)
38	29	mulridi 11237	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
39	31, 37, 38	3eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ∫(0(,)1)1 d𝑥 = 1
40	23, 39	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
41	40	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
42	41	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → 1 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
43		ioomax 13437	. . . . . . 7 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
44	43	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (-∞(,)+∞)
45		0red 11236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℝ)
46		1red 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℝ)
47	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 1)
48	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ⊆ ℂ)
49	48	sselda 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → i ∈ ℂ)
51		2cnd 12316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 2 ∈ ℂ)
52	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → π ∈ ℂ)
53	51, 52	mulcld 11253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
54	50, 53	mulcld 11253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
55		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	54, 56	mulcld 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
59		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
60	58, 59	mulcld 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60	efcld 16097	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
62	49, 61	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
63	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
64		ine0 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
65		2ne0 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
66		pipos 26418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
67	25, 66	gtneii 11345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
68	11, 12, 65, 67	mulne0i 11878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
69	10, 13, 64, 68	mulne0i 11878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
71		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
72	71	neqned 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
73	54, 56, 70, 72	mulne0d 11887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
74	73	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
75	62, 63, 74	divcld 12015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
76	75	fmpttd 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))):ℝ⟶ℂ)
77		reelprrecn 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
79		cnelprrecn 11220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
81	63, 49	mulcld 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
82		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
83	82	efcld 16097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
84	57	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
85	73	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
86	83, 84, 85	divcld 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
87	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
88	78	dvmptid 25911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
89	78, 49, 87, 88, 57	dvmptcmul 25918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
90	63	mulridd 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
91	90	mpteq2dva 5214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
92	89, 91	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
93		dvef 25934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ D exp) = exp
94		eff 16095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp:ℂ⟶ℂ)
96	95	feqmptd 6946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
97	96	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))))
98	93, 97, 96	3eqtr3a 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
99	80, 83, 83, 98, 57, 73	dvmptdivc 25919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
100		fveq2 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → (exp‘𝑧) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
101	100	oveq1d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
102	78, 80, 81, 63, 86, 86, 92, 99, 101, 101	dvmptco 25926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
103	62, 63, 74	divcan1d 12016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
104	103	mpteq2dva 5214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
105	102, 104	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
106		efcn 26403	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
108		resmpt 6024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
109	5, 108	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
110		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))
111	110	mulc1cncf 24847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
112	57, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
113		rescncf 24839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
114	5, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
115	112, 114	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
116	109, 115	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
117	107, 116	cncfmpt1f 24856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
118	105, 117	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
119	44, 45, 46, 47, 76, 118	ftc2re 34576	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)))
120	4	sseli 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
121	105	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
122	121	fveq1d 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥))
123		oveq2 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))
124	123	fveq2d 6879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
125	124	cbvmptv 5225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))))
127	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
128	48	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
129	127, 128	mulcld 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
130	129	efcld 16097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) ∈ ℂ)
131	126, 130	fvmpt2d 6998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
132	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
133	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
134	132, 133, 128	mulassd 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) = ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)))
135	134	fveq2d 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
136	131, 135	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
137	122, 136	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
138	120, 137	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
139	138	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
140		itgeq2 25729	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
141	139, 140	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
142		eqidd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
143		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
144	143	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1))
145	144	fveq2d 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
146	145	oveq1d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
147	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℂ)
148	57, 147	mulcld 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
149	148	efcld 16097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) ∈ ℂ)
150	149, 57, 73	divcld 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
151	142, 146, 46, 150	fvmptd 6992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
152	57	mulridd 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
153	152	fveq2d 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)))
154		ef2kpi 26437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
155	55, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
156	153, 155	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = 1)
157	156	oveq1d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
158	151, 157	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
159		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
160	159	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0))
161	160	fveq2d 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)))
162	161	oveq1d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
163	5, 45	sselid 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℂ)
164	57, 163	mulcld 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) ∈ ℂ)
165	164	efcld 16097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) ∈ ℂ)
166	165, 57, 73	divcld 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
167	142, 162, 45, 166	fvmptd 6992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
168	57	mul01d 11432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) = 0)
169	168	fveq2d 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = (exp‘0))
170	169, 18	eqtrdi 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = 1)
171	170	oveq1d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
172	167, 171	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
173	158, 172	oveq12d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
174	157, 150	eqeltrrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
175	174	subidd 11580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = 0)
176	173, 175	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = 0)
177	119, 141, 176	3eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 0)
178	177	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
179	42, 178	ifeqda 4537	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → if(𝑁 = 0, 1, 0) = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
180	179	eqcomd 2741	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926  ifcif 4500  {cpr 4603   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  ici 11129   · cmul 11132  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265   ≤ cle 11268   − cmin 11464   / cdiv 11892  2c2 12293  ℤcz 12586  (,)cioo 13360  expce 16075  πcpi 16080  –cn→ccncf 24818  volcvol 25414  ∫citg 25569   D cdv 25814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cc 10447  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-symdif 4228  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-dju 9913  df-card 9951  df-acn 9954  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-pi 16086  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-cmp 23323  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-ovol 25415  df-vol 25416  df-mbf 25570  df-itg1 25571  df-itg2 25572  df-ibl 25573  df-itg 25574  df-0p 25621  df-limc 25817  df-dv 25818

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