Theorem itgexpif 35002

Description: The basis for the circle method in the form of trigonometric sums. Proposition of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
itgexpif	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem itgexpif

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2	1	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)))
3	2	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))))
4		ioossre 13438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 11161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
7	6	sseli 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	mul02d 11412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (0 · 𝑥) = 0)
9	8	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · 0))
10		ax-icn 11163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
11		2cn 12320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		picn 26630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
14	10, 13	mulcli 11220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15	14	mul01i 11404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · (2 · π)) · 0) = 0
16	9, 15	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = 0)
17	16	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = (exp‘0))
18		ef0 16149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘0) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = 1)
20	3, 19	sylan9eq 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
21	20	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
22		itgeq2 25946	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
24		ioombl 25733	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
25		0re 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		1re 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		ioovolcl 25738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ
29		ax-1cn 11162	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		itgconst 25987	. . . . . . . 8 ⊢ (((0(,)1) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1))))
31	24, 28, 29, 30	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1)))
32		0le1 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
33		volioo 25737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0))
34	25, 26, 32, 33	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0)
35	29	subid1i 11534	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
36	34, 35	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (vol‘(0(,)1)) = 1
37	36	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (vol‘(0(,)1))) = (1 · 1)
38	29	mulridi 11217	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
39	31, 37, 38	3eqtri 2790	. . . . . 6 ⊢ ∫(0(,)1)1 d𝑥 = 1
40	23, 39	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
41	40	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
42	41	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → 1 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
43		ioomax 13453	. . . . . . 7 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
44	43	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (-∞(,)+∞)
45		0red 11215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℝ)
46		1red 11213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℝ)
47	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 1)
48	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ⊆ ℂ)
49	48	sselda 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → i ∈ ℂ)
51		2cnd 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 2 ∈ ℂ)
52	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → π ∈ ℂ)
53	51, 52	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
54	50, 53	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
55		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	54, 56	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
58	57	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
59		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
60	58, 59	mulcld 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60	efcld 16141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
62	49, 61	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
63	57	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
64		ine0 11653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
65		2ne0 12351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
66		pipos 26632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
67	25, 66	gtneii 11326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
68	11, 12, 65, 67	mulne0i 11861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
69	10, 13, 64, 68	mulne0i 11861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
71		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
72	71	neqned 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
73	54, 56, 70, 72	mulne0d 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
74	73	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
75	62, 63, 74	divcld 11995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
76	75	fmpttd 7110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))):ℝ⟶ℂ)
77		reelprrecn 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
79		cnelprrecn 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
81	63, 49	mulcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
82		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
83	82	efcld 16141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
84	57	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
85	73	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
86	83, 84, 85	divcld 11995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
87	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
88	78	dvmptid 26125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
89	78, 49, 87, 88, 57	dvmptcmul 26132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
90	63	mulridd 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
91	90	mpteq2dva 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
92	89, 91	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
93		dvef 26148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ D exp) = exp
94		eff 16139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp:ℂ⟶ℂ)
96	95	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
97	96	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))))
98	93, 97, 96	3eqtr3a 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
99	80, 83, 83, 98, 57, 73	dvmptdivc 26133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
100		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → (exp‘𝑧) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
101	100	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
102	78, 80, 81, 63, 86, 86, 92, 99, 101, 101	dvmptco 26140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
103	62, 63, 74	divcan1d 11996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
104	103	mpteq2dva 5204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
105	102, 104	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
106		efcn 26615	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
108		resmpt 6039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
109	5, 108	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
110		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))
111	110	mulc1cncf 25073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
112	57, 111	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
113		rescncf 25065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
114	5, 113	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
115	112, 114	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
116	109, 115	eqeltrrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
117	107, 116	cncfmpt1f 25082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
118	105, 117	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
119	44, 45, 46, 47, 76, 118	ftc2re 34994	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)))
120	4	sseli 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
121	105	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
122	121	fveq1d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥))
123		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))
124	123	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
125	124	cbvmptv 5215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))))
127	57	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
128	48	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
129	127, 128	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
130	129	efcld 16141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) ∈ ℂ)
131	126, 130	fvmpt2d 7003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
132	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
133	56	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
134	132, 133, 128	mulassd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) = ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)))
135	134	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
136	131, 135	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
137	122, 136	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
138	120, 137	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
139	138	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
140		itgeq2 25946	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
141	139, 140	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
142		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
143		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
144	143	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1))
145	144	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
146	145	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
147	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℂ)
148	57, 147	mulcld 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
149	148	efcld 16141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) ∈ ℂ)
150	149, 57, 73	divcld 11995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
151	142, 146, 46, 150	fvmptd 6997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
152	57	mulridd 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
153	152	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)))
154		ef2kpi 26652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
155	55, 154	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
156	153, 155	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = 1)
157	156	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
158	151, 157	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
159		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
160	159	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0))
161	160	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)))
162	161	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
163	5, 45	sselid 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℂ)
164	57, 163	mulcld 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) ∈ ℂ)
165	164	efcld 16141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) ∈ ℂ)
166	165, 57, 73	divcld 11995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
167	142, 162, 45, 166	fvmptd 6997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
168	57	mul01d 11413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) = 0)
169	168	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = (exp‘0))
170	169, 18	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = 1)
171	170	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
172	167, 171	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
173	158, 172	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
174	157, 150	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
175	174	subidd 11561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = 0)
176	173, 175	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = 0)
177	119, 141, 176	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 0)
178	177	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
179	42, 178	ifeqda 4524	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → if(𝑁 = 0, 1, 0) = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
180	179	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ifcif 4487  {cpr 4591   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105  ici 11106   · cmul 11109  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245   ≤ cle 11248   − cmin 11445   / cdiv 11875  2c2 12299  ℤcz 12595  (,)cioo 13376  expce 16119  πcpi 16124  –cn→ccncf 25044  volcvol 25631  ∫citg 25786   D cdv 26031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10423  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ioc 13381  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-bc 14344  df-hash 14372  df-shft 15109  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-limsup 15527  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-ef 16125  df-sin 16127  df-cos 16128  df-pi 16130  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-haus 23481  df-cmp 23553  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cncf 25046  df-ovol 25632  df-vol 25633  df-mbf 25787  df-itg1 25788  df-itg2 25789  df-ibl 25790  df-itg 25791  df-0p 25838  df-limc 26034  df-dv 26035

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