Theorem itgexpif 34621

Description: The basis for the circle method in the form of trigonometric sums. Proposition of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
itgexpif	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem itgexpif

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2	1	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)))
3	2	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))))
4		ioossre 13448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 11212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
7	6	sseli 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	mul02d 11459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (0 · 𝑥) = 0)
9	8	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · 0))
10		ax-icn 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
11		2cn 12341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		picn 26501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
14	10, 13	mulcli 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15	14	mul01i 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · (2 · π)) · 0) = 0
16	9, 15	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → ((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥)) = 0)
17	16	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = (exp‘0))
18		ef0 16127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘0) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → (exp‘((i · (2 · π)) · (0 · 𝑥))) = 1)
20	3, 19	sylan9eq 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
21	20	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1)
22		itgeq2 25813	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) = 1 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)1)1 d𝑥)
24		ioombl 25600	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
25		0re 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		1re 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		ioovolcl 25605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ
29		ax-1cn 11213	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		itgconst 25854	. . . . . . . 8 ⊢ (((0(,)1) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1))))
31	24, 28, 29, 30	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ ∫(0(,)1)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)1)))
32		0le1 11786	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
33		volioo 25604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0))
34	25, 26, 32, 33	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (vol‘(0(,)1)) = (1 − 0)
35	29	subid1i 11581	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
36	34, 35	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (vol‘(0(,)1)) = 1
37	36	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (vol‘(0(,)1))) = (1 · 1)
38	29	mulridi 11265	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
39	31, 37, 38	3eqtri 2769	. . . . . 6 ⊢ ∫(0(,)1)1 d𝑥 = 1
40	23, 39	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
41	40	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 1)
42	41	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → 1 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
43		ioomax 13462	. . . . . . 7 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
44	43	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (-∞(,)+∞)
45		0red 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℝ)
46		1red 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℝ)
47	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 1)
48	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ⊆ ℂ)
49	48	sselda 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → i ∈ ℂ)
51		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 2 ∈ ℂ)
52	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → π ∈ ℂ)
53	51, 52	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
54	50, 53	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
55		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	54, 56	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
59		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
60	58, 59	mulcld 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60	efcld 16119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
62	49, 61	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ ℂ)
63	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
64		ine0 11698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
65		2ne0 12370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
66		pipos 26502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
67	25, 66	gtneii 11373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
68	11, 12, 65, 67	mulne0i 11906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
69	10, 13, 64, 68	mulne0i 11906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
71		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
72	71	neqned 2947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
73	54, 56, 70, 72	mulne0d 11915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
74	73	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
75	62, 63, 74	divcld 12043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
76	75	fmpttd 7135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))):ℝ⟶ℂ)
77		reelprrecn 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
79		cnelprrecn 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
81	63, 49	mulcld 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) ∈ ℂ)
82		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
83	82	efcld 16119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
84	57	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
85	73	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ≠ 0)
86	83, 84, 85	divcld 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
87	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
88	78	dvmptid 25995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
89	78, 49, 87, 88, 57	dvmptcmul 26002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
90	63	mulridd 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
91	90	mpteq2dva 5242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
92	89, 91	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
93		dvef 26018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ D exp) = exp
94		eff 16117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp:ℂ⟶ℂ)
96	95	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
97	96	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))))
98	93, 97, 96	3eqtr3a 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
99	80, 83, 83, 98, 57, 73	dvmptdivc 26003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
100		fveq2 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → (exp‘𝑧) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
101	100	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) → ((exp‘𝑧) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
102	78, 80, 81, 63, 86, 86, 92, 99, 101, 101	dvmptco 26010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
103	62, 63, 74	divcan1d 12044	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
104	103	mpteq2dva 5242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) · ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
105	102, 104	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
106		efcn 26487	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
108		resmpt 6055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
109	5, 108	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))
110		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))
111	110	mulc1cncf 24931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
112	57, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
113		rescncf 24923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
114	5, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
115	112, 114	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
116	109, 115	eqeltrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
117	107, 116	cncfmpt1f 24940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
118	105, 117	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
119	44, 45, 46, 47, 76, 118	ftc2re 34613	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)))
120	4	sseli 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
121	105	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))))
122	121	fveq1d 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥))
123		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))
124	123	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
125	124	cbvmptv 5255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥))))
127	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((i · (2 · π)) · 𝑁) ∈ ℂ)
128	48	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
129	127, 128	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
130	129	efcld 16119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) ∈ ℂ)
131	126, 130	fvmpt2d 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)))
132	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
133	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
134	132, 133, 128	mulassd 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥) = ((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥)))
135	134	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
136	131, 135	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
137	122, 136	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
138	120, 137	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
139	138	ralrimiva 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))))
140		itgeq2 25813	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
141	139, 140	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
142		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
143		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
144	143	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1))
145	144	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)))
146	145	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
147	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℂ)
148	57, 147	mulcld 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) ∈ ℂ)
149	148	efcld 16119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) ∈ ℂ)
150	149, 57, 73	divcld 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
151	142, 146, 46, 150	fvmptd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
152	57	mulridd 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1) = ((i · (2 · π)) · 𝑁))
153	152	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)))
154		ef2kpi 26520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
155	55, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑁)) = 1)
156	153, 155	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) = 1)
157	156	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 1)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
158	151, 157	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
159		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
160	159	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦) = (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0))
161	160	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) = (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)))
162	161	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
163	5, 45	sselid 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ∈ ℂ)
164	57, 163	mulcld 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) ∈ ℂ)
165	164	efcld 16119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) ∈ ℂ)
166	165, 57, 73	divcld 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
167	142, 162, 45, 166	fvmptd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
168	57	mul01d 11460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0) = 0)
169	168	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = (exp‘0))
170	169, 18	eqtrdi 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) = 1)
171	170	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 0)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
172	167, 171	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0) = (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))
173	158, 172	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))))
174	157, 150	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) ∈ ℂ)
175	174	subidd 11608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ((1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁)) − (1 / ((i · (2 · π)) · 𝑁))) = 0)
176	173, 175	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘1) − ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(((i · (2 · π)) · 𝑁) · 𝑦)) / ((i · (2 · π)) · 𝑁)))‘0)) = 0)
177	119, 141, 176	3eqtr3d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = 0)
178	177	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
179	42, 178	ifeqda 4562	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → if(𝑁 = 0, 1, 0) = ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
180	179	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∫(0(,)1)(exp‘((i · (2 · π)) · (𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  {cpr 4628   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685   ↾ cres 5687  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ℤcz 12613  (,)cioo 13387  expce 16097  πcpi 16102  –cn→ccncf 24902  volcvol 25498  ∫citg 25653   D cdv 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902

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