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Theorem itgexpif 33904
Description: The basis for the circle method in the form of trigonometric sums. Proposition of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
itgexpif (𝑁 ∈ β„€ β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, 1, 0))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑁

Proof of Theorem itgexpif
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
21oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯)))
32fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯))))
4 ioossre 13389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)1) βŠ† ℝ
5 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
64, 5sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) βŠ† β„‚
76sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
87mul02d 11416 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
98oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 0))
10 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ β„‚
11 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„‚
12 picn 26193 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ β„‚
1311, 12mulcli 11225 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 Β· Ο€) ∈ β„‚
1410, 13mulcli 11225 . . . . . . . . . . . . 13 (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚
1514mul01i 11408 . . . . . . . . . . . 12 ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 0) = 0
169, 15eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯)) = 0)
1716fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯))) = (expβ€˜0))
18 ef0 16038 . . . . . . . . . 10 (expβ€˜0) = 1
1917, 18eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (0 Β· π‘₯))) = 1)
203, 19sylan9eq 2792 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) = 1)
2120ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) = 1)
22 itgeq2 25519 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) = 1 β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)1 dπ‘₯)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑁 = 0 β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)1 dπ‘₯)
24 ioombl 25306 . . . . . . . 8 (0(,)1) ∈ dom vol
25 0re 11220 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
26 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
27 ioovolcl 25311 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(0(,)1)) ∈ ℝ)
2825, 26, 27mp2an 690 . . . . . . . 8 (volβ€˜(0(,)1)) ∈ ℝ
29 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
30 itgconst 25560 . . . . . . . 8 (((0(,)1) ∈ dom vol ∧ (volβ€˜(0(,)1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ∫(0(,)1)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)1))))
3124, 28, 29, 30mp3an 1461 . . . . . . 7 ∫(0(,)1)1 dπ‘₯ = (1 Β· (volβ€˜(0(,)1)))
32 0le1 11741 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
33 volioo 25310 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) β†’ (volβ€˜(0(,)1)) = (1 βˆ’ 0))
3425, 26, 32, 33mp3an 1461 . . . . . . . . 9 (volβ€˜(0(,)1)) = (1 βˆ’ 0)
3529subid1i 11536 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 0) = 1
3634, 35eqtri 2760 . . . . . . . 8 (volβ€˜(0(,)1)) = 1
3736oveq2i 7422 . . . . . . 7 (1 Β· (volβ€˜(0(,)1))) = (1 Β· 1)
3829mulridi 11222 . . . . . . 7 (1 Β· 1) = 1
3931, 37, 383eqtri 2764 . . . . . 6 ∫(0(,)1)1 dπ‘₯ = 1
4023, 39eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝑁 = 0 β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = 1)
4140adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = 1)
4241eqcomd 2738 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 = 0) β†’ 1 = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
43 ioomax 13403 . . . . . . 7 (-∞(,)+∞) = ℝ
4443eqcomi 2741 . . . . . 6 ℝ = (-∞(,)+∞)
45 0red 11221 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
46 1red 11219 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 1 ∈ ℝ)
4732a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ≀ 1)
485a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4948sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
5010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ i ∈ β„‚)
51 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 2 ∈ β„‚)
5212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
5351, 52mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
5450, 53mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
55 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5655zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5754, 56mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
6058, 59mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) ∈ β„‚)
6160efcld 33889 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
6249, 61syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
6357adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
64 ine0 11653 . . . . . . . . . . . 12 i β‰  0
65 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
66 pipos 26194 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < Ο€
6725, 66gtneii 11330 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ β‰  0
6811, 12, 65, 67mulne0i 11861 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· Ο€) β‰  0
6910, 13, 64, 68mulne0i 11861 . . . . . . . . . . 11 (i Β· (2 Β· Ο€)) β‰  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) β‰  0)
71 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
7271neqned 2947 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 β‰  0)
7354, 56, 70, 72mulne0d 11870 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) β‰  0)
7473adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) β‰  0)
7562, 63, 74divcld 11994 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
7675fmpttd 7116 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))):β„βŸΆβ„‚)
77 reelprrecn 11204 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
79 cnelprrecn 11205 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
8163, 49mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) ∈ β„‚)
82 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
8382efcld 33889 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8457adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
8573adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) β‰  0)
8683, 84, 85divcld 11994 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜π‘§) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
8726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
8878dvmptid 25698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
8978, 49, 87, 88, 57dvmptcmul 25705 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)))
9063mulridd 11235 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))
9190mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
9289, 91eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
93 dvef 25721 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ D exp) = exp
94 eff 16029 . . . . . . . . . . . . . 14 exp:β„‚βŸΆβ„‚
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
9695feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ exp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
9796oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (β„‚ D exp) = (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§))))
9893, 97, 963eqtr3a 2796 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
9980, 83, 83, 98, 57, 73dvmptdivc 25706 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘§) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘§) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))
100 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) β†’ (expβ€˜π‘§) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))
101100oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) β†’ ((expβ€˜π‘§) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
10278, 80, 81, 63, 86, 86, 92, 99, 101, 101dvmptco 25713 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))
10362, 63, 74divcan1d 11995 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))
104103mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))))
105102, 104eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))))
106 efcn 26179 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
107106a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
108 resmpt 6037 . . . . . . . . . 10 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))
1095, 108mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))
110 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))
111110mulc1cncf 24645 . . . . . . . . . . 11 (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
11257, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
113 rescncf 24637 . . . . . . . . . . 11 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)))
1145, 113mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)))
115112, 114mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
116109, 115eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
117107, 116cncfmpt1f 24654 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
118105, 117eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
11944, 45, 46, 47, 76, 118ftc2re 33896 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) βˆ’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0)))
1204sseli 3978 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)1) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
121105adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))))
122121fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))β€˜π‘₯))
123 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯))
124123fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)))
125124cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)))
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯))))
12757adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
12848sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
129127, 128mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯) ∈ β„‚)
130129efcld 33889 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
131126, 130fvmpt2d 7011 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))β€˜π‘₯) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)))
13214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
13356adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
134132, 133, 128mulassd 11241 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯)))
135134fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· π‘₯)) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
136131, 135eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
137122, 136eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
138120, 137sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
139138ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))))
140 itgeq2 25519 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) β†’ ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
141139, 140syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
142 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))
143 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) β†’ 𝑦 = 1)
144143oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1))
145144fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)))
146145oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 1) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
14729a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 1 ∈ β„‚)
14857, 147mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1) ∈ β„‚)
149148efcld 33889 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) ∈ β„‚)
150149, 57, 73divcld 11994 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
151142, 146, 46, 150fvmptd 7005 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
15257mulridd 11235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))
153152fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
154 ef2kpi 26212 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = 1)
15555, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = 1)
156153, 155eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) = 1)
157156oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 1)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
158151, 157eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) = (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
159 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) β†’ 𝑦 = 0)
160159oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦) = (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0))
161160fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) = (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)))
162161oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
1635, 45sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 ∈ β„‚)
16457, 163mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0) ∈ β„‚)
165164efcld 33889 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) ∈ β„‚)
166165, 57, 73divcld 11994 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
167142, 162, 45, 166fvmptd 7005 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0) = ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
16857mul01d 11417 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0) = 0)
169168fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) = (expβ€˜0))
170169, 18eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) = 1)
171170oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 0)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) = (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
172167, 171eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0) = (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))
173158, 172oveq12d 7429 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) βˆ’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0)) = ((1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) βˆ’ (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))))
174157, 150eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
175174subidd 11563 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ((1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)) βˆ’ (1 / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁))) = 0)
176173, 175eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ (((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜1) βˆ’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁) Β· 𝑦)) / ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑁)))β€˜0)) = 0)
177119, 141, 1763eqtr3d 2780 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = 0)
178177eqcomd 2738 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 = 0) β†’ 0 = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
17942, 178ifeqda 4564 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ if(𝑁 = 0, 1, 0) = ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯)
180179eqcomd 2738 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ∫(0(,)1)(expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑁 Β· π‘₯))) dπ‘₯ = if(𝑁 = 0, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  (,)cioo 13328  expce 16009  Ο€cpi 16014  β€“cnβ†’ccncf 24616  volcvol 25204  βˆ«citg 25359   D cdv 25604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-mbf 25360  df-itg1 25361  df-itg2 25362  df-ibl 25363  df-itg 25364  df-0p 25411  df-limc 25607  df-dv 25608
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