Theorem iscnrm3rlem2 48621

Description: Lemma for iscnrm3rlem3 48622. (Contributed by Zhi Wang, 5-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnrm3rlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
iscnrm3rlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iscnrm3rlem2	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))

Proof of Theorem iscnrm3rlem2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnrm3rlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		iscnrm3rlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	clscld 23076	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
5	3	clsss3 23088	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
6	5	iscnrm3rlem1 48620	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
7		ineq1 4234	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
8	7	rspceeqv 3658	. . . 4 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
9	4, 6, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
10	1, 2, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
11		difss 4159	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)) ⊆ ∪ 𝐽
12	3	restcld 23201	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)) ⊆ ∪ 𝐽) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))
13	1, 11, 12	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))
14	10, 13	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  Topctop 22920  Clsdccld 23045  clsccl 23047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cld 23048  df-cls 23050

This theorem is referenced by:  iscnrm3rlem3  48622