Theorem iscnrm3rlem2 49993

Description: Lemma for iscnrm3rlem3 49994. (Contributed by Zhi Wang, 5-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnrm3rlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
iscnrm3rlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iscnrm3rlem2	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))

Proof of Theorem iscnrm3rlem2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnrm3rlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		iscnrm3rlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	clscld 23345	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
5	3	clsss3 23357	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
6	5	iscnrm3rlem1 49992	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
7		ineq1 4159	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
8	7	rspceeqv 3599	. . . 4 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
9	4, 6, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
10	1, 2, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
11		difss 4083	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)) ⊆ ∪ 𝐽
12	3	restcld 23470	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)) ⊆ ∪ 𝐽) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))
13	1, 11, 12	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))
14	10, 13	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17571  Topctop 23191  Clsdccld 23314  clsccl 23316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9387  df-rest 17573  df-topgen 17594  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cld 23317  df-cls 23319

This theorem is used by:  iscnrm3rlem3  49994