Theorem iscnrm3rlem2 49223

Description: Lemma for iscnrm3rlem3 49224. (Contributed by Zhi Wang, 5-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnrm3rlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
iscnrm3rlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iscnrm3rlem2	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))

Proof of Theorem iscnrm3rlem2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnrm3rlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		iscnrm3rlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	clscld 22993	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
5	3	clsss3 23005	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
6	5	iscnrm3rlem1 49222	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
7		ineq1 4164	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
8	7	rspceeqv 3598	. . . 4 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
9	4, 6, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
10	1, 2, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
11		difss 4087	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)) ⊆ ∪ 𝐽
12	3	restcld 23118	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)) ⊆ ∪ 𝐽) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))
13	1, 11, 12	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))
14	10, 13	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3897   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4862  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ↾_t crest 17342  Topctop 22839  Clsdccld 22962  clsccl 22964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-en 8886  df-fin 8889  df-fi 9316  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-cld 22965  df-cls 22967

This theorem is referenced by:  iscnrm3rlem3  49224