Theorem iscnrm3rlem2 49515

Description: Lemma for iscnrm3rlem3 49516. (Contributed by Zhi Wang, 5-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnrm3rlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
iscnrm3rlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iscnrm3rlem2	⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))

Proof of Theorem iscnrm3rlem2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnrm3rlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		iscnrm3rlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	clscld 23085	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
5	3	clsss3 23097	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
6	5	iscnrm3rlem1 49514	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
7		ineq1 4165	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
8	7	rspceeqv 3604	. . . 4 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
9	4, 6, 8	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
10	1, 2, 9	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇))))
11		difss 4089	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)) ⊆ ∪ 𝐽
12	3	restcld 23210	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)) ⊆ ∪ 𝐽) → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))
13	1, 11, 12	sylancl 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Clsd‘𝐽)(((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) = (𝑐 ∩ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))
14	10, 13	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∖ 𝑇) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑇)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4864  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↾_t crest 17430  Topctop 22931  Clsdccld 23054  clsccl 23056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-en 8922  df-fin 8925  df-fi 9352  df-rest 17432  df-topgen 17453  df-top 22932  df-topon 22949  df-bases 22984  df-cld 23057  df-cls 23059

This theorem is referenced by:  iscnrm3rlem3  49516