pntpbnd2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntpbnd2 27631

Description: Lemma for pntpbnd 27632. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntpbnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x	⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntpbnd1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))

**Assertion**
Ref	Expression
pntpbnd2	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑦,𝐾 𝑅,𝑖,𝑗,𝑦 𝑖,𝑎,𝑗,𝑦,𝐴 𝑦,𝐸 𝑖,𝑌,𝑗,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎) 𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎) 𝑅(𝑎) 𝐸(𝑖,𝑗,𝑎) 𝐾(𝑎) 𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎) 𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd2 Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2div2e1 12407	. . 3 ⊢ (2 / 2) = 1
2		2re 12340	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		ioossre 13448	. . . . . 6 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		pntpbnd1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
6	4, 5	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
7		eliooord 13446	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
10	6, 9	elrpd 13074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
11		2rp 13039	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
13		pntpbnd1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
14	13	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 − 𝐴) = ((𝐴 + 2) − 𝐴)
15		pntpbnd1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
16	15	rpcnd 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		2cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		pncan2 11515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
20	14, 19	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = 2)
21	20	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐸) = (2 / 𝐸))
22		rpaddcl 13057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
23	15, 11, 22	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
24	13, 23	eqeltrid 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
25	24	rpcnd 13079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
26	6	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
27	10	rpne0d 13082	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
28	25, 16, 26, 27	divsubdird 12082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
29	21, 28	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
30	24, 10	rpdivcld 13094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺)
31	30	rpred 13077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
32	15	rpred 13077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32, 10	rerpdivcld 13108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐸) ∈ ℝ)
34		resubcl 11573	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
35	31, 2, 34	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
36		pntpbnd1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
37	31	reefcld 16124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38		elicopnf 13485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
40	36, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾))
41	40	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
42		0red 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43		1re 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
47		efgt1 16152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
48	30, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
49	40	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
50	44, 37, 41, 48, 49	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
51	42, 44, 41, 46, 50	lttrd 11422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
52	41, 51	elrpd 13074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ⁺)
53	52	relogcld 26665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
54		resubcl 11573	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
55	53, 2, 54	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
56	52	reeflogd 26666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐾)) = 𝐾)
57	49, 56	breqtrrd 5171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾)))
58		efle 16154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
59	31, 53, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
60	57, 59	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾))
61	31, 53, 3, 60	lesub1dd 11879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ ((log‘𝐾) − 2))
62		fzfid 14014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
63		ioossre 13448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
64		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
65	63, 64	sselid 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
66		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
67		rerpdivcl 13065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
68	2, 10, 67	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
69	68	reefcld 16124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
70	66, 69	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
71		efgt0 16139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
72	68, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
73	72, 66	breqtrrdi 5185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
74	70	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
75		elioopnf 13483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
77	64, 76	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
78	77	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
79	42, 70, 65, 73, 78	lttrd 11422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
80	42, 65, 79	ltled 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
81		flge0nn0 13860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
82	65, 80, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
83		nn0p1nn 12565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
85		elfzuz 13560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
86		eluznn 12960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
87	84, 85, 86	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
88	87	peano2nnd 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89	88	nnrecred 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
90	62, 89	fsumrecl 15770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
91	53	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
92		2cnd 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93	65, 79	elrpd 13074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
94	93	relogcld 26665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
96	91, 92, 95	pnpcan2d 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) = ((log‘𝐾) − 2))
97	52, 93	relogmuld 26667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) = ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)))
98	53, 94	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
99	97, 98	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℝ)
100		fzfid 14014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
101		elfznn0 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
103		nn0p1nn 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105	104	nnrecred 12317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
106	100, 105	fsumrecl 15770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
107	106, 90	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
108		readdcl 11238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
109	2, 94, 108	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
110	109, 90	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
111	41, 65	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
112	65	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
113	112	mullidd 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
114	44, 41, 50	ltled 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
115		lemul1 12119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
116	44, 41, 65, 79, 115	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
117	114, 116	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌))
118	113, 117	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
119	42, 65, 111, 80, 118	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝑌))
120		flge0nn0 13860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀)
121	111, 119, 120	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀)
122		nn0p1nn 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
124	123	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℝ⁺)
125	124	relogcld 26665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ∈ ℝ)
126		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
127	111	flcld 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
128	127	peano2zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℤ)
129		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
130	129	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
131		nnrecre 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
132	131	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
133	130, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
134		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 + 1)))
135	126, 126, 128, 133, 134	fsumshftm 15817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
136		1m1e0 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 1) = 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
138	127	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ)
139		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
140		pncan 11514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
141	138, 139, 140	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
142	137, 141	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
143	142	sumeq1d 15736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
144		reflcl 13836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
145	65, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
146	145	ltp1d 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
147		fzdisj 13591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
149		flwordi 13852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
150	65, 111, 118, 149	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
151		elfz2nn0 13658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀ ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀ ∧ (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
152	82, 121, 150, 151	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
153		fzsplit 13590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
155		fzfid 14014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
156		elfznn0 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
157	156	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
158	157, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
159	158	nnrecred 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
160	159	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
161	148, 154, 155, 160	fsumsplit 15777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
162	135, 143, 161	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
163	162, 107	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
164		fllep1 13841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
165	111, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
166	52, 93	rpmulcld 13093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
167	166, 124	logled 26669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ↔ (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
168	165, 167	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)))
169		emre 27049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ γ ∈ ℝ
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → γ ∈ ℝ)
171	163, 125	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ)
172		0re 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
173		emgt0 27050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < γ
174	172, 169, 173	ltleii 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ γ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ γ)
176		harmonicbnd 27047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
177	123, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
178	169, 43	elicc2i 13453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ≤ 1))
179	178	simp2bi 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
180	177, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
181	42, 170, 171, 175, 180	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
182	163, 125	subge0d 11853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ↔ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘)))
183	181, 182	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
184	99, 125, 163, 168, 183	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
185	184, 162	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
186	65	flcld 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
187	186	peano2zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
188		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
189	188	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
190	189, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
191	126, 126, 187, 190, 134	fsumshftm 15817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
192	145	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℂ)
193		pncan 11514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
194	192, 139, 193	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
195	137, 194	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘𝑌)))
196	195	sumeq1d 15736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
197	191, 196	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
198	197, 106	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
199	84	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ⁺)
200	199	relogcld 26665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
201		readdcl 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ) → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
202	43, 200, 201	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
203		harmonicbnd 27047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
204	84, 203	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
205	169, 43	elicc2i 13453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1))
206	205	simp3bi 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
207	204, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
208	198, 200, 44	lesubaddd 11860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1)))))
209	207, 208	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))))
210		readdcl 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
211	43, 94, 210	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
212		peano2re 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
213	145, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
214	3, 65	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) ∈ ℝ)
215		epr 16244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ e ∈ ℝ⁺
216		rpmulcl 13058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((e ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ⁺) → (e · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
217	215, 93, 216	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
218	217	rpred 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ)
219		flle 13839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
220	65, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
221	12, 10	rpdivcld 13094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ⁺)
222		efgt1 16152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 / 𝐸) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
223	221, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
224	223, 66	breqtrrdi 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
225	44, 70, 65, 224, 78	lttrd 11422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑌)
226	44, 65, 225	ltled 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
227	145, 44, 65, 65, 220, 226	le2addd 11882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (𝑌 + 𝑌))
228	112	2timesd 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
229	227, 228	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (2 · 𝑌))
230		ere 16125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ e ∈ ℝ
231		egt2lt3 16242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
232	231	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 < e
233	2, 230, 232	ltleii 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ≤ e
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ e)
235	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℝ)
236		lemul1 12119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
237	3, 235, 65, 79, 236	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
238	234, 237	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌))
239	213, 214, 218, 229, 238	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌))
240	199, 217	logled 26669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌) ↔ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌))))
241	239, 240	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌)))
242		relogmul 26634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((e ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ⁺) → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
243	215, 93, 242	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
244		loge 26628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘e) = 1
245	244	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((log‘e) + (log‘𝑌)) = (1 + (log‘𝑌))
246	243, 245	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = (1 + (log‘𝑌)))
247	241, 246	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑌)))
248	200, 211, 44, 247	leadd2dd 11878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (1 + (1 + (log‘𝑌))))
249		df-2 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
250	249	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + (log‘𝑌)) = ((1 + 1) + (log‘𝑌))
251	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
252	251, 251, 95	addassd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
253	250, 252	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
254	248, 253	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
255	198, 202, 109, 209, 254	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
256	197, 255	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
257	106, 109, 90, 256	leadd1dd 11877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
258	99, 107, 110, 185, 257	letrd 11418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
259	97, 258	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
260	98, 109, 90	lesubadd2d 11862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ↔ ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))))
261	259, 260	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
262	96, 261	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
263	89	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
264	62, 26, 263	fsummulc2 15820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
265	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℝ)
266	265	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℂ)
267	88	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
268	88	nnne0d 12316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
269	266, 267, 268	divrecd 12046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) = (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
270	265, 88	nndivred 12320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
271	269, 270	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
272	62, 271	fsumrecl 15770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
273	87	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
274		pntpbnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
275	274	pntrf 27607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
276	275	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
277	273, 276	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
278	87, 88	nnmulcld 12319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
279	277, 278	nndivred 12320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
280	279	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
281	280	abscld 15475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
282	62, 281	fsumrecl 15770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
283	277, 87	nndivred 12320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
284	283	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
285	284	abscld 15475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
286	88	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ⁺)
287		pntpbnd1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
288	287	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
289		elfzle1 13567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
290	289	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
291	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 ∈ ℝ)
292	291	flcld 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
293	87	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
294		zltp1le 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
295	292, 293, 294	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
296	290, 295	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑛)
297		fllt 13846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
298	291, 293, 297	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
299	296, 298	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑛)
300		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
301	300	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
302	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
303		flge 13845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
304	302, 293, 303	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
305	301, 304	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))
306		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑌 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑛))
307		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
308	306, 307	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
309		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘𝑛))
310		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → 𝑦 = 𝑛)
311	309, 310	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑦) / 𝑦) = ((𝑅‘𝑛) / 𝑛))
312	311	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
313	312	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸))
314	308, 313	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)))
315	314	rspcev 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
316	315	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
317	87, 299, 305, 316	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
318	288, 317	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)
319	285, 265	letrid 11413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 ∨ 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛))))
320	319	ord 865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛))))
321	318, 320	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
322	265, 285, 286, 321	lediv1dd 13135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ≤ ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
323	284, 267, 268	absdivd 15494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))))
324	277	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℂ)
325	87	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
326	87	nnne0d 12316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≠ 0)
327	324, 325, 267, 326, 268	divdiv1d 12074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1)) = ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
328	327	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
329	286	rprege0d 13084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)))
330		absid 15335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
331	329, 330	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
332	331	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
333	323, 328, 332	3eqtr3rd 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
334	322, 269, 333	3brtr3d 5174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
335	62, 271, 281, 334	fsumle 15835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336		pntpbnd1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
337	274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287	pntpbnd1 27630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338	272, 282, 32, 335, 337	letrd 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
339	264, 338	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
340	90, 32, 10	lemuldiv2d 13127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴 ↔ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸)))
341	339, 340	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸))
342	55, 90, 33, 262, 341	letrd 11418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
343	35, 55, 33, 61, 342	letrd 11418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
344	31, 3, 33, 343	subled 11866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)) ≤ 2)
345	29, 344	eqbrtrd 5165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ≤ 2)
346	3, 10, 12, 345	lediv23d 13145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 / 2) ≤ 𝐸)
347	1, 346	eqbrtrrid 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐸)
348	8	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1)
349		ltnle 11340	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
350	6, 43, 349	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
351	348, 350	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 ≤ 𝐸)
352	347, 351	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝜑

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 ∪ cun 3949 ∩ cin 3950 ∅c0 4333 class class class wbr 5143 ↦ cmpt 5225 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 +∞cpnf 11292 ℝ^*cxr 11294 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 3c3 12322 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 ℤ_≥cuz 12878 ℝ⁺crp 13034 (,)cioo 13387 [,)cico 13389 [,]cicc 13390 ...cfz 13547 ⌊cfl 13830 abscabs 15273 Σcsu 15722 expce 16097 eceu 16098 logclog 26596 γcem 27035 ψcchp 27136

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233 ax-addf 11234

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-tp 4631 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-supp 8186 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-2o 8507 df-oadd 8510 df-er 8745 df-map 8868 df-pm 8869 df-ixp 8938 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-fsupp 9402 df-fi 9451 df-sup 9482 df-inf 9483 df-oi 9550 df-dju 9941 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-5 12332 df-6 12333 df-7 12334 df-8 12335 df-9 12336 df-n0 12527 df-xnn0 12600 df-z 12614 df-dec 12734 df-uz 12879 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13154 df-xadd 13155 df-xmul 13156 df-ioo 13391 df-ioc 13392 df-ico 13393 df-icc 13394 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14043 df-exp 14103 df-fac 14313 df-bc 14342 df-hash 14370 df-shft 15106 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-limsup 15507 df-clim 15524 df-rlim 15525 df-sum 15723 df-ef 16103 df-e 16104 df-sin 16105 df-cos 16106 df-tan 16107 df-pi 16108 df-dvds 16291 df-gcd 16532 df-prm 16709 df-pc 16875 df-struct 17184 df-sets 17201 df-slot 17219 df-ndx 17231 df-base 17248 df-ress 17275 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-rest 17467 df-topn 17468 df-0g 17486 df-gsum 17487 df-topgen 17488 df-pt 17489 df-prds 17492 df-xrs 17547 df-qtop 17552 df-imas 17553 df-xps 17555 df-mre 17629 df-mrc 17630 df-acs 17632 df-mgm 18653 df-sgrp 18732 df-mnd 18748 df-submnd 18797 df-mulg 19086 df-cntz 19335 df-cmn 19800 df-psmet 21356 df-xmet 21357 df-met 21358 df-bl 21359 df-mopn 21360 df-fbas 21361 df-fg 21362 df-cnfld 21365 df-top 22900 df-topon 22917 df-topsp 22939 df-bases 22953 df-cld 23027 df-ntr 23028 df-cls 23029 df-nei 23106 df-lp 23144 df-perf 23145 df-cn 23235 df-cnp 23236 df-haus 23323 df-cmp 23395 df-tx 23570 df-hmeo 23763 df-fil 23854 df-fm 23946 df-flim 23947 df-flf 23948 df-xms 24330 df-ms 24331 df-tms 24332 df-cncf 24904 df-limc 25901 df-dv 25902 df-ulm 26420 df-log 26598 df-atan 26910 df-em 27036 df-vma 27141 df-chp 27142

This theorem is referenced by: pntpbnd 27632

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