MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd2 27326
Description: Lemma for pntpbnd 27327. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntpbnd1.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
pntpbnd1.x ๐‘‹ = (expโ€˜(2 / ๐ธ))
pntpbnd1.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž))
pntpbnd1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntpbnd1.2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• โˆ€๐‘— โˆˆ โ„ค (absโ€˜ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘–...๐‘—)((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ฆ + 1)))) โ‰ค ๐ด)
pntpbnd1.c ๐ถ = (๐ด + 2)
pntpbnd1.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž))
pntpbnd1.3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2 ยฌ ๐œ‘
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘ฆ,๐พ   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘ฆ   ๐‘–,๐‘Ž,๐‘—,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ธ   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2div2e1 12357 . . 3 (2 / 2) = 1
2 2re 12290 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 ioossre 13389 . . . . . 6 (0(,)1) โŠ† โ„
5 pntpbnd1.e . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
64, 5sselid 3979 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
7 eliooord 13387 . . . . . . 7 (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
98simpld 493 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ธ)
106, 9elrpd 13017 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
11 2rp 12983 . . . . 5 2 โˆˆ โ„+
1211a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
13 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9 ๐ถ = (๐ด + 2)
1413oveq1i 7421 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆ’ ๐ด) = ((๐ด + 2) โˆ’ ๐ด)
15 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
1615rpcnd 13022 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 2cn 12291 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
18 pncan2 11471 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 2) โˆ’ ๐ด) = 2)
1916, 17, 18sylancl 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 2) โˆ’ ๐ด) = 2)
2014, 19eqtrid 2782 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) = 2)
2120oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / ๐ธ) = (2 / ๐ธ))
22 rpaddcl 13000 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + 2) โˆˆ โ„+)
2315, 11, 22sylancl 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 2) โˆˆ โ„+)
2413, 23eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
2524rpcnd 13022 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
266recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
2710rpne0d 13025 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โ‰  0)
2825, 16, 26, 27divsubdird 12033 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / ๐ธ) = ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ (๐ด / ๐ธ)))
2921, 28eqtr3d 2772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐ธ) = ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ (๐ด / ๐ธ)))
3024, 10rpdivcld 13037 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„+)
3130rpred 13020 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„)
3215rpred 13020 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3332, 10rerpdivcld 13051 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ธ) โˆˆ โ„)
34 resubcl 11528 . . . . . . . 8 (((๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
3531, 2, 34sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
36 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž))
3731reefcld 16035 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„)
38 elicopnf 13426 . . . . . . . . . . . . 13 ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐พ)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐พ)))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐พ))
4140simpld 493 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
42 0red 11221 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
43 1re 11218 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
45 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
47 efgt1 16063 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 < (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
4940simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐พ)
5044, 37, 41, 48, 49ltletrd 11378 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐พ)
5142, 44, 41, 46, 50lttrd 11379 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐พ)
5241, 51elrpd 13017 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
5352relogcld 26367 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„)
54 resubcl 11528 . . . . . . . 8 (((logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
5553, 2, 54sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
5652reeflogd 26368 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐พ)) = ๐พ)
5749, 56breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐พ)))
58 efle 16065 . . . . . . . . . 10 (((๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โ‰ค (logโ€˜๐พ) โ†” (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐พ))))
5931, 53, 58syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โ‰ค (logโ€˜๐พ) โ†” (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐พ))))
6057, 59mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ธ) โ‰ค (logโ€˜๐พ))
6131, 53, 3, 60lesub1dd 11834 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ 2) โ‰ค ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2))
62 fzfid 13942 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โˆˆ Fin)
63 ioossre 13389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹(,)+โˆž) โŠ† โ„
64 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž))
6563, 64sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
66 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘‹ = (expโ€˜(2 / ๐ธ))
67 rerpdivcl 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐ธ) โˆˆ โ„)
682, 10, 67sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐ธ) โˆˆ โ„)
6968reefcld 16035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(2 / ๐ธ)) โˆˆ โ„)
7066, 69eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
71 efgt0 16050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / ๐ธ) โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (expโ€˜(2 / ๐ธ)))
7268, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < (expโ€˜(2 / ๐ธ)))
7372, 66breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‹)
7470rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„*)
75 elioopnf 13424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘‹ โˆˆ โ„* โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž) โ†” (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž) โ†” (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ)))
7764, 76mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ))
7877simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < ๐‘Œ)
7942, 70, 65, 73, 78lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘Œ)
8042, 65, 79ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Œ)
81 flge0nn0 13789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
8265, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
83 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„•)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„•)
85 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)))
86 eluznn 12906 . . . . . . . . . . . 12 ((((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8784, 85, 86syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8887peano2nnd 12233 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
8988nnrecred 12267 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
9062, 89fsumrecl 15684 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
9153recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
92 2cnd 12294 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9365, 79elrpd 13017 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
9493relogcld 26367 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
9594recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
9691, 92, 95pnpcan2d 11613 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆ’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ))) = ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2))
9752, 93relogmuld 26369 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) = ((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)))
9853, 94readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
9997, 98eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
100 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
101 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
102101adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
103 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
105104nnrecred 12267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
106100, 105fsumrecl 15684 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
107106, 90readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
108 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
1092, 94, 108sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
110109, 90readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
11141, 65remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
11265recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
113112mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
11444, 41, 50ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
115 lemul1 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Œ)) โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†” (1 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)))
11644, 41, 65, 79, 115syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†” (1 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)))
117114, 116mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))
118113, 117eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))
11942, 65, 111, 80, 118letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))
120 flge0nn0 13789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0)
121111, 119, 120syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0)
122 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„•)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„•)
124123nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„+)
125124relogcld 26367 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)) โˆˆ โ„)
126 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
127111flcld 13767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„ค)
128127peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„ค)
129 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
130129adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
131 nnrecre 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
132131recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
134 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (1 / ๐‘˜) = (1 / (๐‘› + 1)))
135126, 126, 128, 133, 134fsumshftm 15731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1))(1 / (๐‘› + 1)))
136 1m1e0 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆ’ 1) = 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ 1) = 0)
138127zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„‚)
139 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
140 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
141138, 139, 140sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
142137, 141oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1)) = (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
143142sumeq1d 15651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1))(1 / (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)))
144 reflcl 13765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
14565, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
146145ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))
147 fzdisj 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ†’ ((0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆฉ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) = โˆ…)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆฉ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) = โˆ…)
149 flwordi 13781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง (๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
15065, 111, 118, 149syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
151 elfz2nn0 13596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†” ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
15282, 121, 150, 151syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
153 fzsplit 13531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) = ((0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆช (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) = ((0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆช (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))))
155 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โˆˆ Fin)
156 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
157156adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
158157, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
159158nnrecred 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
160159recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
161148, 154, 155, 160fsumsplit 15691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
162135, 143, 1613eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
163162, 107eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
164 fllep1 13770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))
165111, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))
16652, 93rpmulcld 13036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„+)
167166, 124logled 26371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘Œ) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โ†” (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))))
168165, 167mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)))
169 emre 26746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ฮณ โˆˆ โ„
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮณ โˆˆ โ„)
171163, 125resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ โ„)
172 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„
173 emgt0 26747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < ฮณ
174172, 169, 173ltleii 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค ฮณ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮณ)
176 harmonicbnd 26744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
177123, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
178169, 43elicc2i 13394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†” ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โ‰ค 1))
179178simp2bi 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))))
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))))
18142, 170, 171, 175, 180letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))))
182163, 125subge0d 11808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โ†” (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜)))
183181, 182mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜))
18499, 125, 163, 168, 183letrd 11375 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜))
185184, 162breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
18665flcld 13767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
187186peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„ค)
188 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
189188adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
190189, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
191126, 126, 187, 190, 134fsumshftm 15731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1))(1 / (๐‘› + 1)))
192145recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
193 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
194192, 139, 193sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
195137, 194oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1)) = (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
196195sumeq1d 15651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1))(1 / (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)))
197191, 196eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)))
198197, 106eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
19984nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„+)
200199relogcld 26367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โˆˆ โ„)
201 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ โ„)
20243, 200, 201sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ โ„)
203 harmonicbnd 26744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
20484, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
205169, 43elicc2i 13394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†” ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค 1))
206205simp3bi 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค 1)
207204, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค 1)
208198, 200, 44lesubaddd 11815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค 1 โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)))))
209207, 208mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))))
210 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
21143, 94, 210sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (1 + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
212 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„)
213145, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„)
2143, 65remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
215 epr 16155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e โˆˆ โ„+
216 rpmulcl 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((e โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„+) โ†’ (e ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„+)
217215, 93, 216sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (e ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„+)
218217rpred 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (e ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
219 flle 13768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค ๐‘Œ)
22065, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค ๐‘Œ)
22112, 10rpdivcld 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐ธ) โˆˆ โ„+)
222 efgt1 16063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 / ๐ธ) โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜(2 / ๐ธ)))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ 1 < (expโ€˜(2 / ๐ธ)))
224223, 66breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘‹)
22544, 70, 65, 224, 78lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘Œ)
22644, 65, 225ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Œ)
227145, 44, 65, 65, 220, 226le2addd 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค (๐‘Œ + ๐‘Œ))
2281122timesd 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘Œ))
229227, 228breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘Œ))
230 ere 16036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e โˆˆ โ„
231 egt2lt3 16153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e โˆง e < 3)
232231simpli 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
2332, 230, 232ltleii 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โ‰ค e
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค e)
235230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ e โˆˆ โ„)
236 lemul1 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 โˆˆ โ„ โˆง e โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Œ)) โ†’ (2 โ‰ค e โ†” (2 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ)))
2373, 235, 65, 79, 236syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰ค e โ†” (2 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ)))
238234, 237mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ))
239213, 214, 218, 229, 238letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ))
240199, 217logled 26371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ) โ†” (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โ‰ค (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ))))
241239, 240mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โ‰ค (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ)))
242 relogmul 26336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((e โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ)) = ((logโ€˜e) + (logโ€˜๐‘Œ)))
243215, 93, 242sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ)) = ((logโ€˜e) + (logโ€˜๐‘Œ)))
244 loge 26331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (logโ€˜e) = 1
245244oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((logโ€˜e) + (logโ€˜๐‘Œ)) = (1 + (logโ€˜๐‘Œ))
246243, 245eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ)) = (1 + (logโ€˜๐‘Œ)))
247241, 246breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โ‰ค (1 + (logโ€˜๐‘Œ)))
248200, 211, 44, 247leadd2dd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค (1 + (1 + (logโ€˜๐‘Œ))))
249 df-2 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
250249oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + (logโ€˜๐‘Œ)) = ((1 + 1) + (logโ€˜๐‘Œ))
251139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
252251, 251, 95addassd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((1 + 1) + (logโ€˜๐‘Œ)) = (1 + (1 + (logโ€˜๐‘Œ))))
253250, 252eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ)) = (1 + (1 + (logโ€˜๐‘Œ))))
254248, 253breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค (2 + (logโ€˜๐‘Œ)))
255198, 202, 109, 209, 254letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โ‰ค (2 + (logโ€˜๐‘Œ)))
256197, 255eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) โ‰ค (2 + (logโ€˜๐‘Œ)))
257106, 109, 90, 256leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
25899, 107, 110, 185, 257letrd 11375 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
25997, 258eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
26098, 109, 90lesubadd2d 11817 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆ’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) โ†” ((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)))))
261259, 260mpbird 256 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆ’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)))
26296, 261eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)))
26389recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
26462, 26, 263fsummulc2 15734 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))))
2656adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
266265recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
26788nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„‚)
26888nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰  0)
269266, 267, 268divrecd 11997 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ / (๐‘› + 1)) = (๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))))
270265, 88nndivred 12270 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
271269, 270eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
27262, 271fsumrecl 15684 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
27387nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
274 pntpbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
275274pntrf 27302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘…:โ„+โŸถโ„
276275ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
277273, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
27887, 88nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•)
279277, 278nndivred 12270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
280279recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„‚)
281280abscld 15387 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) โˆˆ โ„)
28262, 281fsumrecl 15684 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) โˆˆ โ„)
283277, 87nndivred 12270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
284283recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
285284abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
28688nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„+)
287 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ))
288287adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ))
289 elfzle1 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค ๐‘›)
290289adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค ๐‘›)
29165adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
292291flcld 13767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
29387nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
294 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘› โ†” ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค ๐‘›))
295292, 293, 294syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘› โ†” ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค ๐‘›))
296290, 295mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘›)
297 fllt 13775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Œ < ๐‘› โ†” (โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘›))
298291, 293, 297syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘Œ < ๐‘› โ†” (โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘›))
299296, 298mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘Œ < ๐‘›)
300 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
301300adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
302111adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
303 flge 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ) โ†” ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
304302, 293, 303syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ) โ†” ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
305301, 304mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))
306 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (๐‘Œ < ๐‘ฆ โ†” ๐‘Œ < ๐‘›))
307 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ) โ†” ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)))
308306, 307anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โ†” (๐‘Œ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))))
309 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘…โ€˜๐‘›))
310 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘›)
311309, 310oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ) = ((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
312311fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
313312breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ))
314308, 313anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ) โ†” ((๐‘Œ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ)))
315314rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘Œ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ))
316315expr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Œ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ)))
31787, 299, 305, 316syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ)))
318288, 317mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ยฌ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ)
319285, 265letrid 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ โˆจ ๐ธ โ‰ค (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
320319ord 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (ยฌ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ โ†’ ๐ธ โ‰ค (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
321318, 320mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐ธ โ‰ค (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
322265, 285, 286, 321lediv1dd 13078 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ / (๐‘› + 1)) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (๐‘› + 1)))
323284, 267, 268absdivd 15406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜(((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (๐‘› + 1))) = ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (absโ€˜(๐‘› + 1))))
324277recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
32587nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
32687nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
327324, 325, 267, 326, 268divdiv1d 12025 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (๐‘› + 1)) = ((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))
328327fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜(((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (๐‘› + 1))) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))))
329286rprege0d 13027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘› + 1)))
330 absid 15247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘› + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘› + 1)) โ†’ (absโ€˜(๐‘› + 1)) = (๐‘› + 1))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜(๐‘› + 1)) = (๐‘› + 1))
332331oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (absโ€˜(๐‘› + 1))) = ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (๐‘› + 1)))
333323, 328, 3323eqtr3rd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (๐‘› + 1)) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))))
334322, 269, 3333brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))))
33562, 271, 281, 334fsumle 15749 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))))
336 pntpbnd1.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• โˆ€๐‘— โˆˆ โ„ค (absโ€˜ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘–...๐‘—)((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ฆ + 1)))) โ‰ค ๐ด)
337274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287pntpbnd1 27325 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) โ‰ค ๐ด)
338272, 282, 32, 335, 337letrd 11375 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ๐ด)
339264, 338eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ๐ด)
34090, 32, 10lemuldiv2d 13070 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ๐ด โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) โ‰ค (๐ด / ๐ธ)))
341339, 340mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) โ‰ค (๐ด / ๐ธ))
34255, 90, 33, 262, 341letrd 11375 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2) โ‰ค (๐ด / ๐ธ))
34335, 55, 33, 61, 342letrd 11375 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ 2) โ‰ค (๐ด / ๐ธ))
34431, 3, 33, 343subled 11821 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ (๐ด / ๐ธ)) โ‰ค 2)
34529, 344eqbrtrd 5169 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐ธ) โ‰ค 2)
3463, 10, 12, 345lediv23d 13088 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 / 2) โ‰ค ๐ธ)
3471, 346eqbrtrrid 5183 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ธ)
3488simprd 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ < 1)
349 ltnle 11297 . . . 4 ((๐ธ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ < 1 โ†” ยฌ 1 โ‰ค ๐ธ))
3506, 43, 349sylancl 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ < 1 โ†” ยฌ 1 โ‰ค ๐ธ))
351348, 350mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 1 โ‰ค ๐ธ)
352347, 351pm2.65i 193 1 ยฌ ๐œ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  โŒŠcfl 13759  abscabs 15185  ฮฃcsu 15636  expce 16009  eceu 16010  logclog 26299  ฮณcem 26732  ฯˆcchp 26833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ulm 26125  df-log 26301  df-atan 26608  df-em 26733  df-vma 26838  df-chp 26839
This theorem is referenced by:  pntpbnd  27327
  Copyright terms: Public domain W3C validator