pntpbnd2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntpbnd2 27907

Description: Lemma for pntpbnd 27908. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntpbnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x	⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntpbnd1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))

**Assertion**
Ref	Expression
pntpbnd2	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑦,𝐾 𝑅,𝑖,𝑗,𝑦 𝑖,𝑎,𝑗,𝑦,𝐴 𝑦,𝐸 𝑖,𝑌,𝑗,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦, 𝑖, 𝑗, 𝑎) 𝐶(𝑦, 𝑖, 𝑗, 𝑎) 𝑅(𝑎) 𝐸(𝑖, 𝑗, 𝑎) 𝐾(𝑎) 𝑋(𝑦, 𝑖, 𝑗, 𝑎) 𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd2 Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2div2e1 12476	. . 3 ⊢ (2 / 2) = 1
2		2re 12410	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		ioossre 13531	. . . . . 6 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		pntpbnd1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
6	4, 5	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
7		eliooord 13529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
8	5, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
9	8	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
10	6, 9	elrpd 13154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
11		2rp 13118	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
13		pntpbnd1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
14	13	oveq1i 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 − 𝐴) = ((𝐴 + 2) − 𝐴)
15		pntpbnd1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
16	15	rpcnd 13159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		2cn 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		pncan2 11557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
19	16, 17, 18	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
20	14, 19	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = 2)
21	20	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐸) = (2 / 𝐸))
22		rpaddcl 13137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
23	15, 11, 22	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
24	13, 23	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
25	24	rpcnd 13159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
26	6	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
27	10	rpne0d 13162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
28	25, 16, 26, 27	divsubdird 12125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
29	21, 28	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
30	24, 10	rpdivcld 13174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺)
31	30	rpred 13157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
32	15	rpred 13157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32, 10	rerpdivcld 13188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐸) ∈ ℝ)
34		resubcl 11615	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
35	31, 2, 34	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
36		pntpbnd1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
37	31	reefcld 16247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38		elicopnf 13569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
40	36, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾))
41	40	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
42		0red 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43		1re 11301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
47		efgt1 16277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
48	30, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
49	40	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
50	44, 37, 41, 48, 49	ltletrd 11463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
51	42, 44, 41, 46, 50	lttrd 11464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
52	41, 51	elrpd 13154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ⁺)
53	52	relogcld 26944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
54		resubcl 11615	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
55	53, 2, 54	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
56	52	reeflogd 26945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐾)) = 𝐾)
57	49, 56	breqtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾)))
58		efle 16279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
59	31, 53, 58	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
60	57, 59	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾))
61	31, 53, 3, 60	lesub1dd 11925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ ((log‘𝐾) − 2))
62		fzfid 14109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
63		ioossre 13531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
64		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
65	63, 64	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
66		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
67		rerpdivcl 13145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
68	2, 10, 67	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
69	68	reefcld 16247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
70	66, 69	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
71		efgt0 16264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
72	68, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
73	72, 66	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
74	70	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
75		elioopnf 13567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
77	64, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
78	77	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
79	42, 70, 65, 73, 78	lttrd 11464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
80	42, 65, 79	ltled 11451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
81		flge0nn0 13953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
82	65, 80, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
83		nn0p1nn 12638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
84	82, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
85		elfzuz 13645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
86		eluznn 13038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
87	84, 85, 86	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
88	87	peano2nnd 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89	88	nnrecred 12382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
90	62, 89	fsumrecl 15893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
91	53	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
92		2cnd 12414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93	65, 79	elrpd 13154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
94	93	relogcld 26944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
96	91, 92, 95	pnpcan2d 11700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) = ((log‘𝐾) − 2))
97	52, 93	relogmuld 26946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) = ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)))
98	53, 94	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
99	97, 98	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℝ)
100		fzfid 14109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
101		elfznn0 13747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
102	101	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
103		nn0p1nn 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
104	102, 103	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105	104	nnrecred 12382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
106	100, 105	fsumrecl 15893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
107	106, 90	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
108		readdcl 11276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
109	2, 94, 108	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
110	109, 90	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
111	41, 65	remulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
112	65	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
113	112	mullidd 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
114	44, 41, 50	ltled 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
115		lemul1 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
116	44, 41, 65, 79, 115	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
117	114, 116	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌))
118	113, 117	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
119	42, 65, 111, 80, 118	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝑌))
120		flge0nn0 13953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀)
121	111, 119, 120	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀)
122		nn0p1nn 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
123	121, 122	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
124	123	nnrpd 13155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℝ⁺)
125	124	relogcld 26944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ∈ ℝ)
126		1zzd 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
127	111	flcld 13931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
128	127	peano2zd 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℤ)
129		elfznn 13680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
130	129	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
131		nnrecre 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
132	131	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
133	130, 132	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
134		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 + 1)))
135	126, 126, 128, 133, 134	fsumshftm 15940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
136		1m1e0 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 1) = 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
138	127	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ)
139		ax-1cn 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
140		pncan 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
141	138, 139, 140	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
142	137, 141	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
143	142	sumeq1d 15860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
144		reflcl 13929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
145	65, 144	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
146	145	ltp1d 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
147		fzdisj 13678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
148	146, 147	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
149		flwordi 13945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
150	65, 111, 118, 149	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
151		elfz2nn0 13745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀ ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀ ∧ (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
152	82, 121, 150, 151	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
153		fzsplit 13677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
154	152, 153	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
155		fzfid 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
156		elfznn0 13747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
157	156	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
158	157, 103	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
159	158	nnrecred 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
160	159	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
161	148, 154, 155, 160	fsumsplit 15900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
162	135, 143, 161	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
163	162, 107	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
164		fllep1 13934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
165	111, 164	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
166	52, 93	rpmulcld 13173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
167	166, 124	logled 26948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ↔ (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
168	165, 167	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)))
169		emre 27326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ γ ∈ ℝ
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → γ ∈ ℝ)
171	163, 125	resubcld 11737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ)
172		0re 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
173		emgt0 27327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < γ
174	172, 169, 173	ltleii 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ γ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ γ)
176		harmonicbnd 27324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
177	123, 176	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
178	169, 43	elicc2i 13536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ≤ 1))
179	178	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
180	177, 179	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
181	42, 170, 171, 175, 180	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
182	163, 125	subge0d 11899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ↔ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘)))
183	181, 182	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
184	99, 125, 163, 168, 183	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
185	184, 162	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
186	65	flcld 13931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
187	186	peano2zd 12799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
188		elfznn 13680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
189	188	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
190	189, 132	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
191	126, 126, 187, 190, 134	fsumshftm 15940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
192	145	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℂ)
193		pncan 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
194	192, 139, 193	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
195	137, 194	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘𝑌)))
196	195	sumeq1d 15860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
197	191, 196	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
198	197, 106	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
199	84	nnrpd 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ⁺)
200	199	relogcld 26944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
201		readdcl 11276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ) → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
202	43, 200, 201	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
203		harmonicbnd 27324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
204	84, 203	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
205	169, 43	elicc2i 13536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1))
206	205	simp3bi 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
207	204, 206	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
208	198, 200, 44	lesubaddd 11906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1)))))
209	207, 208	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))))
210		readdcl 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
211	43, 94, 210	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
212		peano2re 11476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
213	145, 212	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
214	3, 65	remulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) ∈ ℝ)
215		epr 16369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ e ∈ ℝ⁺
216		rpmulcl 13138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((e ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ⁺) → (e · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
217	215, 93, 216	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
218	217	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ)
219		flle 13932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
220	65, 219	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
221	12, 10	rpdivcld 13174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ⁺)
222		efgt1 16277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 / 𝐸) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
223	221, 222	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
224	223, 66	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
225	44, 70, 65, 224, 78	lttrd 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑌)
226	44, 65, 225	ltled 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
227	145, 44, 65, 65, 220, 226	le2addd 11928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (𝑌 + 𝑌))
228	112	2timesd 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
229	227, 228	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (2 · 𝑌))
230		ere 16248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ e ∈ ℝ
231		egt2lt3 16367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
232	231	simpli 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 < e
233	2, 230, 232	ltleii 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ≤ e
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ e)
235	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℝ)
236		lemul1 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
237	3, 235, 65, 79, 236	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
238	234, 237	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌))
239	213, 214, 218, 229, 238	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌))
240	199, 217	logled 26948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌) ↔ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌))))
241	239, 240	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌)))
242		relogmul 26913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((e ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ⁺) → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
243	215, 93, 242	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
244		loge 26907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘e) = 1
245	244	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((log‘e) + (log‘𝑌)) = (1 + (log‘𝑌))
246	243, 245	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = (1 + (log‘𝑌)))
247	241, 246	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑌)))
248	200, 211, 44, 247	leadd2dd 11924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (1 + (1 + (log‘𝑌))))
249		df-2 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
250	249	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + (log‘𝑌)) = ((1 + 1) + (log‘𝑌))
251	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
252	251, 251, 95	addassd 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
253	250, 252	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
254	248, 253	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
255	198, 202, 109, 209, 254	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
256	197, 255	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
257	106, 109, 90, 256	leadd1dd 11923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
258	99, 107, 110, 185, 257	letrd 11460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
259	97, 258	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
260	98, 109, 90	lesubadd2d 11908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ↔ ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))))
261	259, 260	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
262	96, 261	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
263	89	recnd 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
264	62, 26, 263	fsummulc2 15943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
265	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℝ)
266	265	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℂ)
267	88	nncnd 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
268	88	nnne0d 12381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
269	266, 267, 268	divrecd 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) = (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
270	265, 88	nndivred 12385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
271	269, 270	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
272	62, 271	fsumrecl 15893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
273	87	nnrpd 13155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
274		pntpbnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
275	274	pntrf 27883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
276	275	ffvelcdmi 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
277	273, 276	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
278	87, 88	nnmulcld 12384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
279	277, 278	nndivred 12385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
280	279	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
281	280	abscld 15599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
282	62, 281	fsumrecl 15893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
283	277, 87	nndivred 12385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
284	283	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
285	284	abscld 15599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
286	88	nnrpd 13155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ⁺)
287		pntpbnd1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
288	287	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
289		elfzle1 13653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
290	289	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
291	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 ∈ ℝ)
292	291	flcld 13931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
293	87	nnzd 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
294		zltp1le 12739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
295	292, 293, 294	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
296	290, 295	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑛)
297		fllt 13939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
298	291, 293, 297	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
299	296, 298	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑛)
300		elfzle2 13654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
301	300	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
302	111	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
303		flge 13938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
304	302, 293, 303	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
305	301, 304	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))
306		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑌 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑛))
307		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
308	306, 307	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
309		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘𝑛))
310		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → 𝑦 = 𝑛)
311	309, 310	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑦) / 𝑦) = ((𝑅‘𝑛) / 𝑛))
312	311	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
313	312	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸))
314	308, 313	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)))
315	314	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
316	315	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
317	87, 299, 305, 316	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
318	288, 317	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)
319	285, 265	letrid 11455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 ∨ 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛))))
320	319	ord 878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛))))
321	318, 320	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
322	265, 285, 286, 321	lediv1dd 13215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ≤ ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
323	284, 267, 268	absdivd 15618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))))
324	277	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℂ)
325	87	nncnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
326	87	nnne0d 12381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≠ 0)
327	324, 325, 267, 326, 268	divdiv1d 12117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1)) = ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
328	327	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
329	286	rprege0d 13164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)))
330		absid 15456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
331	329, 330	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
332	331	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
333	323, 328, 332	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
334	322, 269, 333	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
335	62, 271, 281, 334	fsumle 15959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336		pntpbnd1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
337	274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287	pntpbnd1 27906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338	272, 282, 32, 335, 337	letrd 11460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
339	264, 338	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
340	90, 32, 10	lemuldiv2d 13207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴 ↔ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸)))
341	339, 340	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸))
342	55, 90, 33, 262, 341	letrd 11460	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
343	35, 55, 33, 61, 342	letrd 11460	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
344	31, 3, 33, 343	subled 11912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)) ≤ 2)
345	29, 344	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ≤ 2)
346	3, 10, 12, 345	lediv23d 13225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 / 2) ≤ 𝐸)
347	1, 346	eqbrtrrid 5141	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐸)
348	8	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1)
349		ltnle 11382	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
350	6, 43, 349	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
351	348, 350	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 ≤ 𝐸)
352	347, 351	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∀wral 3077 ∃wrex 3087 ∪ cun 3897 ∩ cin 3898 ∅c0 4279 class class class wbr 5103 ↦ cmpt 5186 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 ℂcc 11191 ℝcr 11192 0cc0 11193 1c1 11194 + caddc 11196 · cmul 11198 +∞cpnf 11333 ℝ^*cxr 11335 < clt 11336 ≤ cle 11337 − cmin 11534 / cdiv 11966 ℕcn 12328 2c2 12390 3c3 12391 ℕ₀cn0 12599 ℤcz 12686 ℤ_≥cuz 12958 ℝ⁺crp 13113 (,)cioo 13469 [,)cico 13471 [,]cicc 13472 ...cfz 13632 ⌊cfl 13923 abscabs 15394 Σcsu 15846 expce 16220 eceu 16221 logclog 26875 γcem 27312 ψcchp 27413

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-inf2 9635 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271 ax-addf 11272

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-of 7691 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8171 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-2o 8470 df-oadd 8473 df-er 8710 df-map 8842 df-pm 8843 df-ixp 8919 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-fsupp 9347 df-fi 9396 df-sup 9427 df-inf 9428 df-oi 9497 df-dju 9975 df-card 10013 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-3 12399 df-4 12400 df-5 12401 df-6 12402 df-7 12403 df-8 12404 df-9 12405 df-n0 12600 df-xnn0 12673 df-z 12687 df-dec 12808 df-uz 12959 df-q 13069 df-rp 13114 df-xneg 13234 df-xadd 13235 df-xmul 13236 df-ioo 13473 df-ioc 13474 df-ico 13475 df-icc 13476 df-fz 13633 df-fzo 13782 df-fl 13925 df-mod 14003 df-seq 14138 df-exp 14198 df-fac 14411 df-bc 14440 df-hash 14468 df-shft 15213 df-cj 15259 df-re 15260 df-im 15261 df-sqrt 15395 df-abs 15396 df-limsup 15631 df-clim 15648 df-rlim 15649 df-sum 15847 df-ef 16226 df-e 16227 df-sin 16228 df-cos 16229 df-tan 16230 df-pi 16231 df-dvds 16416 df-gcd 16658 df-prm 16840 df-pc 17008 df-struct 17318 df-sets 17335 df-slot 17353 df-ndx 17365 df-base 17381 df-ress 17402 df-plusg 17434 df-mulr 17435 df-starv 17436 df-sca 17437 df-vsca 17438 df-ip 17439 df-tset 17440 df-ple 17441 df-ds 17443 df-unif 17444 df-hom 17445 df-cco 17446 df-rest 17586 df-topn 17587 df-0g 17605 df-gsum 17606 df-topgen 17607 df-pt 17608 df-prds 17611 df-xrs 17667 df-qtop 17672 df-imas 17673 df-xps 17675 df-mre 17749 df-mrc 17750 df-acs 17752 df-mgm 18809 df-sgrp 18901 df-mnd 18917 df-submnd 18972 df-mulg 19271 df-cntz 19524 df-cmn 19989 df-psmet 21663 df-xmet 21664 df-met 21665 df-bl 21666 df-mopn 21667 df-fbas 21668 df-fg 21669 df-cnfld 21672 df-top 23205 df-topon 23222 df-topsp 23244 df-bases 23257 df-cld 23330 df-ntr 23331 df-cls 23332 df-nei 23409 df-lp 23447 df-perf 23448 df-cn 23538 df-cnp 23539 df-haus 23626 df-cmp 23698 df-tx 23874 df-hmeo 24067 df-fil 24158 df-fm 24250 df-flim 24251 df-flf 24252 df-xms 24632 df-ms 24633 df-tms 24634 df-cncf 25192 df-limc 26179 df-dv 26180 df-ulm 26697 df-log 26877 df-atan 27188 df-em 27313 df-vma 27418 df-chp 27419

This theorem is used by: pntpbnd 27908

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