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Theorem pntpbnd2 26163
Description: Lemma for pntpbnd 26164. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntpbnd1.2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑦,𝐾   𝑅,𝑖,𝑗,𝑦   𝑖,𝑎,𝑗,𝑦,𝐴   𝑦,𝐸   𝑖,𝑌,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2div2e1 11779 . . 3 (2 / 2) = 1
2 2re 11712 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 ioossre 12799 . . . . . 6 (0(,)1) ⊆ ℝ
5 pntpbnd1.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
64, 5sseldi 3965 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7 eliooord 12797 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
98simpld 497 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐸)
106, 9elrpd 12429 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
11 2rp 12395 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
13 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐴 + 2)
1413oveq1i 7166 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴) = ((𝐴 + 2) − 𝐴)
15 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1615rpcnd 12434 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
17 2cn 11713 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
18 pncan2 10893 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
1916, 17, 18sylancl 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
2014, 19syl5eq 2868 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐴) = 2)
2120oveq1d 7171 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐴) / 𝐸) = (2 / 𝐸))
22 rpaddcl 12412 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
2315, 11, 22sylancl 588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
2413, 23eqeltrid 2917 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2524rpcnd 12434 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
266recnd 10669 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2710rpne0d 12437 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2825, 16, 26, 27divsubdird 11455 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐴) / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
2921, 28eqtr3d 2858 . . . . 5 (𝜑 → (2 / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
3024, 10rpdivcld 12449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+)
3130rpred 12432 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
3215rpred 12432 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332, 10rerpdivcld 12463 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐸) ∈ ℝ)
34 resubcl 10950 . . . . . . . 8 (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
3531, 2, 34sylancl 588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
36 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
3731reefcld 15441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38 elicopnf 12834 . . . . . . . . . . . . 13 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
4036, 39mpbid 234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾))
4140simpld 497 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
42 0red 10644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43 1re 10641 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 11162 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 1)
47 efgt1 15469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
4940simprd 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
5044, 37, 41, 48, 49ltletrd 10800 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 𝐾)
5142, 44, 41, 46, 50lttrd 10801 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐾)
5241, 51elrpd 12429 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
5352relogcld 25206 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
54 resubcl 10950 . . . . . . . 8 (((log‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
5553, 2, 54sylancl 588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
5652reeflogd 25207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐾)) = 𝐾)
5749, 56breqtrrd 5094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾)))
58 efle 15471 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
5931, 53, 58syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
6057, 59mpbird 259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾))
6131, 53, 3, 60lesub1dd 11256 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ ((log‘𝐾) − 2))
62 fzfid 13342 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
63 ioossre 12799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
64 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
6563, 64sseldi 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
66 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
67 rerpdivcl 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
682, 10, 67sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
6968reefcld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7066, 69eqeltrid 2917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
71 efgt0 15456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
7268, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
7372, 66breqtrrdi 5108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑋)
7470rexrd 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
75 elioopnf 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
7764, 76mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
7877simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 < 𝑌)
7942, 70, 65, 73, 78lttrd 10801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑌)
8042, 65, 79ltled 10788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
81 flge0nn0 13191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
8265, 80, 81syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
83 nn0p1nn 11937 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
85 elfzuz 12905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
86 eluznn 12319 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8784, 85, 86syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8887peano2nnd 11655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
8988nnrecred 11689 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
9062, 89fsumrecl 15091 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
9153recnd 10669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
92 2cnd 11716 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9365, 79elrpd 12429 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
9493relogcld 25206 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
9594recnd 10669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
9691, 92, 95pnpcan2d 11035 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) = ((log‘𝐾) − 2))
9752, 93relogmuld 25208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) = ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)))
9853, 94readdcld 10670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
9997, 98eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℝ)
100 fzfid 13342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
101 elfznn0 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
102101adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
103 nn0p1nn 11937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105104nnrecred 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
106100, 105fsumrecl 15091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
107106, 90readdcld 10670 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
108 readdcl 10620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
1092, 94, 108sylancr 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
110109, 90readdcld 10670 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
11141, 65remulcld 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
11265recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
113112mulid2d 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
11444, 41, 50ltled 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
115 lemul1 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
11644, 41, 65, 79, 115syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
117114, 116mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌))
118113, 117eqbrtrrd 5090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
11942, 65, 111, 80, 118letrd 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝑌))
120 flge0nn0 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0)
121111, 119, 120syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0)
122 nn0p1nn 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
124123nnrpd 12430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℝ+)
125124relogcld 25206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ∈ ℝ)
126 1zzd 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
127111flcld 13169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
128127peano2zd 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℤ)
129 elfznn 12937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
130129adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
131 nnrecre 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
132131recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
134 oveq2 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 + 1)))
135126, 126, 128, 133, 134fsumshftm 15136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
136 1m1e0 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 − 1) = 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
138127zcnd 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ)
139 ax-1cn 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
140 pncan 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
141138, 139, 140sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
142137, 141oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
143142sumeq1d 15058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
144 reflcl 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
14565, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
146145ltp1d 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
147 fzdisj 12935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
149 flwordi 13183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
15065, 111, 118, 149syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
151 elfz2nn0 12999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
15282, 121, 150, 151syl3anbrc 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
153 fzsplit 12934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
155 fzfid 13342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
156 elfznn0 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
157156adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
158157, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
159158nnrecred 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
160159recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
161148, 154, 155, 160fsumsplit 15097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
162135, 143, 1613eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
163162, 107eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
164 fllep1 13172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
165111, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
16652, 93rpmulcld 12448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ+)
167166, 124logled 25210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ↔ (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
168165, 167mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)))
169 emre 25583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 γ ∈ ℝ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → γ ∈ ℝ)
171163, 125resubcld 11068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ)
172 0re 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
173 emgt0 25584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < γ
174172, 169, 173ltleii 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ γ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ γ)
176 harmonicbnd 25581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
177123, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
178169, 43elicc2i 12803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ≤ 1))
179178simp2bi 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
18142, 170, 171, 175, 180letrd 10797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
182163, 125subge0d 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ↔ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘)))
183181, 182mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
18499, 125, 163, 168, 183letrd 10797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
185184, 162breqtrd 5092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
18665flcld 13169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
187186peano2zd 12091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
188 elfznn 12937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
189188adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
190189, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
191126, 126, 187, 190, 134fsumshftm 15136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
192145recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℂ)
193 pncan 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
194192, 139, 193sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
195137, 194oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘𝑌)))
196195sumeq1d 15058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
197191, 196eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
198197, 106eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
19984nnrpd 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ+)
200199relogcld 25206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
201 readdcl 10620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ) → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
20243, 200, 201sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
203 harmonicbnd 25581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
20484, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
205169, 43elicc2i 12803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1))
206205simp3bi 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
207204, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
208198, 200, 44lesubaddd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1)))))
209207, 208mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))))
210 readdcl 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
21143, 94, 210sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
212 peano2re 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
213145, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
2143, 65remulcld 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · 𝑌) ∈ ℝ)
215 epr 15561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e ∈ ℝ+
216 rpmulcl 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((e ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (e · 𝑌) ∈ ℝ+)
217215, 93, 216sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ+)
218217rpred 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ)
219 flle 13170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
22065, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
22112, 10rpdivcld 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
222 efgt1 15469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
224223, 66breqtrrdi 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 < 𝑋)
22544, 70, 65, 224, 78lttrd 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 𝑌)
22644, 65, 225ltled 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
227145, 44, 65, 65, 220, 226le2addd 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (𝑌 + 𝑌))
2281122timesd 11881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
229227, 228breqtrrd 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (2 · 𝑌))
230 ere 15442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℝ
231 egt2lt3 15559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
232231simpli 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
2332, 230, 232ltleii 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≤ e
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ≤ e)
235230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → e ∈ ℝ)
236 lemul1 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
2373, 235, 65, 79, 236syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
238234, 237mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌))
239213, 214, 218, 229, 238letrd 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌))
240199, 217logled 25210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌) ↔ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌))))
241239, 240mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌)))
242 relogmul 25175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((e ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
243215, 93, 242sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
244 loge 25170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘e) = 1
245244oveq1i 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((log‘e) + (log‘𝑌)) = (1 + (log‘𝑌))
246243, 245syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = (1 + (log‘𝑌)))
247241, 246breqtrd 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑌)))
248200, 211, 44, 247leadd2dd 11255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (1 + (1 + (log‘𝑌))))
249 df-2 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
250249oveq1i 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + (log‘𝑌)) = ((1 + 1) + (log‘𝑌))
251139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
252251, 251, 95addassd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + 1) + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
253250, 252syl5eq 2868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
254248, 253breqtrrd 5094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
255198, 202, 109, 209, 254letrd 10797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
256197, 255eqbrtrrd 5090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
257106, 109, 90, 256leadd1dd 11254 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
25899, 107, 110, 185, 257letrd 10797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
25997, 258eqbrtrrd 5090 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
26098, 109, 90lesubadd2d 11239 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ↔ ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))))
261259, 260mpbird 259 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
26296, 261eqbrtrrd 5090 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
26389recnd 10669 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
26462, 26, 263fsummulc2 15139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
2656adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℝ)
266265recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℂ)
26788nncnd 11654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
26888nnne0d 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
269266, 267, 268divrecd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) = (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
270265, 88nndivred 11692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
271269, 270eqeltrrd 2914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
27262, 271fsumrecl 15091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
27387nnrpd 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
274 pntpbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
275274pntrf 26139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅:ℝ+⟶ℝ
276275ffvelrni 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
277273, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
27887, 88nnmulcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
279277, 278nndivred 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
280279recnd 10669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
281280abscld 14796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
28262, 281fsumrecl 15091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
283277, 87nndivred 11692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
284283recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
285284abscld 14796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
28688nnrpd 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
287 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
288287adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
289 elfzle1 12911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
290289adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
29165adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 ∈ ℝ)
292291flcld 13169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
29387nnzd 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
294 zltp1le 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
295292, 293, 294syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
296290, 295mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑛)
297 fllt 13177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
298291, 293, 297syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
299296, 298mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑛)
300 elfzle2 12912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
301300adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
302111adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
303 flge 13176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
304302, 293, 303syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
305301, 304mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))
306 breq2 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (𝑌 < 𝑦𝑌 < 𝑛))
307 breq1 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
308306, 307anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
309 fveq2 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑛 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑛))
310 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑛𝑦 = 𝑛)
311309, 310oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅𝑦) / 𝑦) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
312311fveq2d 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
313312breq1d 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸))
314308, 313anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑛 → (((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)))
315314rspcev 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
316315expr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
31787, 299, 305, 316syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
318288, 317mtod 200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)
319285, 265letrid 10792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛))))
320319ord 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛))))
321318, 320mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
322265, 285, 286, 321lediv1dd 12490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ≤ ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
323284, 267, 268absdivd 14815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))))
324277recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℂ)
32587nncnd 11654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
32687nnne0d 11688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≠ 0)
327324, 325, 267, 326, 268divdiv1d 11447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1)) = ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
328327fveq2d 6674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
329286rprege0d 12439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)))
330 absid 14656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
332331oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
333323, 328, 3323eqtr3rd 2865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)) = (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
334322, 269, 3333brtr3d 5097 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
33562, 271, 281, 334fsumle 15154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336 pntpbnd1.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
337274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287pntpbnd1 26162 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338272, 282, 32, 335, 337letrd 10797 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
339264, 338eqbrtrd 5088 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
34090, 32, 10lemuldiv2d 12482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴 ↔ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸)))
341339, 340mpbid 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34255, 90, 33, 262, 341letrd 10797 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34335, 55, 33, 61, 342letrd 10797 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34431, 3, 33, 343subled 11243 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)) ≤ 2)
34529, 344eqbrtrd 5088 . . . 4 (𝜑 → (2 / 𝐸) ≤ 2)
3463, 10, 12, 345lediv23d 12500 . . 3 (𝜑 → (2 / 2) ≤ 𝐸)
3471, 346eqbrtrrid 5102 . 2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐸)
3488simprd 498 . . 3 (𝜑𝐸 < 1)
349 ltnle 10720 . . . 4 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
3506, 43, 349sylancl 588 . . 3 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
351348, 350mpbid 234 . 2 (𝜑 → ¬ 1 ≤ 𝐸)
352347, 351pm2.65i 196 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3138  wrex 3139  cun 3934  cin 3935  c0 4291   class class class wbr 5066  cmpt 5146  cfv 6355  (class class class)co 7156  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  +∞cpnf 10672  *cxr 10674   < clt 10675  cle 10676  cmin 10870   / cdiv 11297  cn 11638  2c2 11693  3c3 11694  0cn0 11898  cz 11982  cuz 12244  +crp 12390  (,)cioo 12739  [,)cico 12741  [,]cicc 12742  ...cfz 12893  cfl 13161  abscabs 14593  Σcsu 15042  expce 15415  eceu 15416  logclog 25138  γcem 25569  ψcchp 25670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-e 15422  df-sin 15423  df-cos 15424  df-tan 15425  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-pc 16174  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-ulm 24965  df-log 25140  df-atan 25445  df-em 25570  df-vma 25675  df-chp 25676
This theorem is referenced by:  pntpbnd  26164
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