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Theorem pntpbnd2 27513
Description: Lemma for pntpbnd 27514. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntpbnd1.2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑦,𝐾   𝑅,𝑖,𝑗,𝑦   𝑖,𝑎,𝑗,𝑦,𝐴   𝑦,𝐸   𝑖,𝑌,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2div2e1 12377 . . 3 (2 / 2) = 1
2 2re 12310 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 ioossre 13411 . . . . . 6 (0(,)1) ⊆ ℝ
5 pntpbnd1.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
64, 5sselid 3976 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7 eliooord 13409 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
98simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐸)
106, 9elrpd 13039 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
11 2rp 13005 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
13 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐴 + 2)
1413oveq1i 7424 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴) = ((𝐴 + 2) − 𝐴)
15 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1615rpcnd 13044 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
17 2cn 12311 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
18 pncan2 11491 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
1916, 17, 18sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
2014, 19eqtrid 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐴) = 2)
2120oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐴) / 𝐸) = (2 / 𝐸))
22 rpaddcl 13022 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
2315, 11, 22sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
2413, 23eqeltrid 2833 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2524rpcnd 13044 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
266recnd 11266 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2710rpne0d 13047 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2825, 16, 26, 27divsubdird 12053 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐴) / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
2921, 28eqtr3d 2770 . . . . 5 (𝜑 → (2 / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
3024, 10rpdivcld 13059 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+)
3130rpred 13042 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
3215rpred 13042 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332, 10rerpdivcld 13073 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐸) ∈ ℝ)
34 resubcl 11548 . . . . . . . 8 (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
3531, 2, 34sylancl 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
36 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
3731reefcld 16058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38 elicopnf 13448 . . . . . . . . . . . . 13 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾))
4140simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
42 0red 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43 1re 11238 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 11760 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 1)
47 efgt1 16086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
4940simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
5044, 37, 41, 48, 49ltletrd 11398 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 𝐾)
5142, 44, 41, 46, 50lttrd 11399 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐾)
5241, 51elrpd 13039 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
5352relogcld 26550 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
54 resubcl 11548 . . . . . . . 8 (((log‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
5553, 2, 54sylancl 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
5652reeflogd 26551 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐾)) = 𝐾)
5749, 56breqtrrd 5170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾)))
58 efle 16088 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
5931, 53, 58syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
6057, 59mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾))
6131, 53, 3, 60lesub1dd 11854 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ ((log‘𝐾) − 2))
62 fzfid 13964 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
63 ioossre 13411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
64 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
6563, 64sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
66 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
67 rerpdivcl 13030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
682, 10, 67sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
6968reefcld 16058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7066, 69eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
71 efgt0 16073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
7268, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
7372, 66breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑋)
7470rexrd 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
75 elioopnf 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
7764, 76mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
7877simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 < 𝑌)
7942, 70, 65, 73, 78lttrd 11399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑌)
8042, 65, 79ltled 11386 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
81 flge0nn0 13811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
8265, 80, 81syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
83 nn0p1nn 12535 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
85 elfzuz 13523 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
86 eluznn 12926 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8784, 85, 86syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8887peano2nnd 12253 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
8988nnrecred 12287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
9062, 89fsumrecl 15706 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
9153recnd 11266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
92 2cnd 12314 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9365, 79elrpd 13039 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
9493relogcld 26550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
9594recnd 11266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
9691, 92, 95pnpcan2d 11633 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) = ((log‘𝐾) − 2))
9752, 93relogmuld 26552 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) = ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)))
9853, 94readdcld 11267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
9997, 98eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℝ)
100 fzfid 13964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
101 elfznn0 13620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
103 nn0p1nn 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105104nnrecred 12287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
106100, 105fsumrecl 15706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
107106, 90readdcld 11267 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
108 readdcl 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
1092, 94, 108sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
110109, 90readdcld 11267 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
11141, 65remulcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
11265recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
113112mullidd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
11444, 41, 50ltled 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
115 lemul1 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
11644, 41, 65, 79, 115syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
117114, 116mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌))
118113, 117eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
11942, 65, 111, 80, 118letrd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝑌))
120 flge0nn0 13811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0)
121111, 119, 120syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0)
122 nn0p1nn 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
124123nnrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℝ+)
125124relogcld 26550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ∈ ℝ)
126 1zzd 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
127111flcld 13789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
128127peano2zd 12693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℤ)
129 elfznn 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
131 nnrecre 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
132131recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
134 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 + 1)))
135126, 126, 128, 133, 134fsumshftm 15753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
136 1m1e0 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 − 1) = 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
138127zcnd 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ)
139 ax-1cn 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
140 pncan 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
141138, 139, 140sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
142137, 141oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
143142sumeq1d 15673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
144 reflcl 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
14565, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
146145ltp1d 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
147 fzdisj 13554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
149 flwordi 13803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
15065, 111, 118, 149syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
151 elfz2nn0 13618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
15282, 121, 150, 151syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
153 fzsplit 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
155 fzfid 13964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
156 elfznn0 13620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
158157, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
159158nnrecred 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
160159recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
161148, 154, 155, 160fsumsplit 15713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
162135, 143, 1613eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
163162, 107eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
164 fllep1 13792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
165111, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
16652, 93rpmulcld 13058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ+)
167166, 124logled 26554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ↔ (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
168165, 167mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)))
169 emre 26931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 γ ∈ ℝ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → γ ∈ ℝ)
171163, 125resubcld 11666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ)
172 0re 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
173 emgt0 26932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < γ
174172, 169, 173ltleii 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ γ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ γ)
176 harmonicbnd 26929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
177123, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
178169, 43elicc2i 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ≤ 1))
179178simp2bi 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
18142, 170, 171, 175, 180letrd 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
182163, 125subge0d 11828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ↔ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘)))
183181, 182mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
18499, 125, 163, 168, 183letrd 11395 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
185184, 162breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
18665flcld 13789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
187186peano2zd 12693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
188 elfznn 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
189188adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
190189, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
191126, 126, 187, 190, 134fsumshftm 15753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
192145recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℂ)
193 pncan 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
194192, 139, 193sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
195137, 194oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘𝑌)))
196195sumeq1d 15673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
197191, 196eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
198197, 106eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
19984nnrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ+)
200199relogcld 26550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
201 readdcl 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ) → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
20243, 200, 201sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
203 harmonicbnd 26929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
20484, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
205169, 43elicc2i 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1))
206205simp3bi 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
207204, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
208198, 200, 44lesubaddd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1)))))
209207, 208mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))))
210 readdcl 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
21143, 94, 210sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
212 peano2re 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
213145, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
2143, 65remulcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · 𝑌) ∈ ℝ)
215 epr 16178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e ∈ ℝ+
216 rpmulcl 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((e ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (e · 𝑌) ∈ ℝ+)
217215, 93, 216sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ+)
218217rpred 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ)
219 flle 13790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
22065, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
22112, 10rpdivcld 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
222 efgt1 16086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
224223, 66breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 < 𝑋)
22544, 70, 65, 224, 78lttrd 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 𝑌)
22644, 65, 225ltled 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
227145, 44, 65, 65, 220, 226le2addd 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (𝑌 + 𝑌))
2281122timesd 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
229227, 228breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (2 · 𝑌))
230 ere 16059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℝ
231 egt2lt3 16176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
232231simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
2332, 230, 232ltleii 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≤ e
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ≤ e)
235230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → e ∈ ℝ)
236 lemul1 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
2373, 235, 65, 79, 236syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
238234, 237mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌))
239213, 214, 218, 229, 238letrd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌))
240199, 217logled 26554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌) ↔ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌))))
241239, 240mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌)))
242 relogmul 26519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((e ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
243215, 93, 242sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
244 loge 26513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘e) = 1
245244oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((log‘e) + (log‘𝑌)) = (1 + (log‘𝑌))
246243, 245eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = (1 + (log‘𝑌)))
247241, 246breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑌)))
248200, 211, 44, 247leadd2dd 11853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (1 + (1 + (log‘𝑌))))
249 df-2 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
250249oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + (log‘𝑌)) = ((1 + 1) + (log‘𝑌))
251139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
252251, 251, 95addassd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + 1) + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
253250, 252eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
254248, 253breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
255198, 202, 109, 209, 254letrd 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
256197, 255eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
257106, 109, 90, 256leadd1dd 11852 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
25899, 107, 110, 185, 257letrd 11395 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
25997, 258eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
26098, 109, 90lesubadd2d 11837 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ↔ ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))))
261259, 260mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
26296, 261eqbrtrrd 5166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
26389recnd 11266 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
26462, 26, 263fsummulc2 15756 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
2656adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℝ)
266265recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℂ)
26788nncnd 12252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
26888nnne0d 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
269266, 267, 268divrecd 12017 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) = (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
270265, 88nndivred 12290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
271269, 270eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
27262, 271fsumrecl 15706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
27387nnrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
274 pntpbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
275274pntrf 27489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅:ℝ+⟶ℝ
276275ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
277273, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
27887, 88nnmulcld 12289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
279277, 278nndivred 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
280279recnd 11266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
281280abscld 15409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
28262, 281fsumrecl 15706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
283277, 87nndivred 12290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
284283recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
285284abscld 15409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
28688nnrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
287 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
288287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
289 elfzle1 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
290289adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
29165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 ∈ ℝ)
292291flcld 13789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
29387nnzd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
294 zltp1le 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
295292, 293, 294syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
296290, 295mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑛)
297 fllt 13797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
298291, 293, 297syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
299296, 298mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑛)
300 elfzle2 13531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
301300adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
302111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
303 flge 13796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
304302, 293, 303syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
305301, 304mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))
306 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (𝑌 < 𝑦𝑌 < 𝑛))
307 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
308306, 307anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
309 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑛 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑛))
310 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑛𝑦 = 𝑛)
311309, 310oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅𝑦) / 𝑦) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
312311fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
313312breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸))
314308, 313anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑛 → (((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)))
315314rspcev 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
316315expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
31787, 299, 305, 316syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
318288, 317mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)
319285, 265letrid 11390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛))))
320319ord 863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛))))
321318, 320mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
322265, 285, 286, 321lediv1dd 13100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ≤ ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
323284, 267, 268absdivd 15428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))))
324277recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℂ)
32587nncnd 12252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
32687nnne0d 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≠ 0)
327324, 325, 267, 326, 268divdiv1d 12045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1)) = ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
328327fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
329286rprege0d 13049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)))
330 absid 15269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
332331oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
333323, 328, 3323eqtr3rd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)) = (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
334322, 269, 3333brtr3d 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
33562, 271, 281, 334fsumle 15771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336 pntpbnd1.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
337274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287pntpbnd1 27512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338272, 282, 32, 335, 337letrd 11395 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
339264, 338eqbrtrd 5164 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
34090, 32, 10lemuldiv2d 13092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴 ↔ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸)))
341339, 340mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34255, 90, 33, 262, 341letrd 11395 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34335, 55, 33, 61, 342letrd 11395 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34431, 3, 33, 343subled 11841 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)) ≤ 2)
34529, 344eqbrtrd 5164 . . . 4 (𝜑 → (2 / 𝐸) ≤ 2)
3463, 10, 12, 345lediv23d 13110 . . 3 (𝜑 → (2 / 2) ≤ 𝐸)
3471, 346eqbrtrrid 5178 . 2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐸)
3488simprd 495 . . 3 (𝜑𝐸 < 1)
349 ltnle 11317 . . . 4 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
3506, 43, 349sylancl 585 . . 3 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
351348, 350mpbid 231 . 2 (𝜑 → ¬ 1 ≤ 𝐸)
352347, 351pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  cun 3943  cin 3944  c0 4318   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137  +∞cpnf 11269  *cxr 11271   < clt 11272  cle 11273  cmin 11468   / cdiv 11895  cn 12236  2c2 12291  3c3 12292  0cn0 12496  cz 12582  cuz 12846  +crp 13000  (,)cioo 13350  [,)cico 13352  [,]cicc 13353  ...cfz 13510  cfl 13781  abscabs 15207  Σcsu 15658  expce 16031  eceu 16032  logclog 26481  γcem 26917  ψcchp 27018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037  df-e 16038  df-sin 16039  df-cos 16040  df-tan 16041  df-pi 16042  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-prm 16636  df-pc 16799  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-lp 23033  df-perf 23034  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-haus 23212  df-cmp 23284  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-limc 25788  df-dv 25789  df-ulm 26306  df-log 26483  df-atan 26792  df-em 26918  df-vma 27023  df-chp 27024
This theorem is referenced by:  pntpbnd  27514
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