MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd2 27087
Description: Lemma for pntpbnd 27088. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntpbnd1.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
pntpbnd1.x ๐‘‹ = (expโ€˜(2 / ๐ธ))
pntpbnd1.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž))
pntpbnd1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntpbnd1.2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• โˆ€๐‘— โˆˆ โ„ค (absโ€˜ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘–...๐‘—)((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ฆ + 1)))) โ‰ค ๐ด)
pntpbnd1.c ๐ถ = (๐ด + 2)
pntpbnd1.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž))
pntpbnd1.3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2 ยฌ ๐œ‘
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘ฆ,๐พ   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘ฆ   ๐‘–,๐‘Ž,๐‘—,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ธ   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2div2e1 12352 . . 3 (2 / 2) = 1
2 2re 12285 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 ioossre 13384 . . . . . 6 (0(,)1) โŠ† โ„
5 pntpbnd1.e . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
64, 5sselid 3980 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
7 eliooord 13382 . . . . . . 7 (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
98simpld 495 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ธ)
106, 9elrpd 13012 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
11 2rp 12978 . . . . 5 2 โˆˆ โ„+
1211a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
13 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9 ๐ถ = (๐ด + 2)
1413oveq1i 7418 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆ’ ๐ด) = ((๐ด + 2) โˆ’ ๐ด)
15 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
1615rpcnd 13017 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 2cn 12286 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
18 pncan2 11466 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 2) โˆ’ ๐ด) = 2)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 2) โˆ’ ๐ด) = 2)
2014, 19eqtrid 2784 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) = 2)
2120oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / ๐ธ) = (2 / ๐ธ))
22 rpaddcl 12995 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + 2) โˆˆ โ„+)
2315, 11, 22sylancl 586 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 2) โˆˆ โ„+)
2413, 23eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
2524rpcnd 13017 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
266recnd 11241 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
2710rpne0d 13020 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โ‰  0)
2825, 16, 26, 27divsubdird 12028 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) / ๐ธ) = ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ (๐ด / ๐ธ)))
2921, 28eqtr3d 2774 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐ธ) = ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ (๐ด / ๐ธ)))
3024, 10rpdivcld 13032 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„+)
3130rpred 13015 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„)
3215rpred 13015 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3332, 10rerpdivcld 13046 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ธ) โˆˆ โ„)
34 resubcl 11523 . . . . . . . 8 (((๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
3531, 2, 34sylancl 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
36 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž))
3731reefcld 16030 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„)
38 elicopnf 13421 . . . . . . . . . . . . 13 ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐พ)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โ†” (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐พ)))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐พ))
4140simpld 495 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
42 0red 11216 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
43 1re 11213 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
45 0lt1 11735 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
47 efgt1 16058 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 < (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
4940simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐พ)
5044, 37, 41, 48, 49ltletrd 11373 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐พ)
5142, 44, 41, 46, 50lttrd 11374 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐พ)
5241, 51elrpd 13012 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
5352relogcld 26130 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„)
54 resubcl 11523 . . . . . . . 8 (((logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
5553, 2, 54sylancl 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
5652reeflogd 26131 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐พ)) = ๐พ)
5749, 56breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐พ)))
58 efle 16060 . . . . . . . . . 10 (((๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โ‰ค (logโ€˜๐พ) โ†” (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐พ))))
5931, 53, 58syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โ‰ค (logโ€˜๐พ) โ†” (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐พ))))
6057, 59mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ธ) โ‰ค (logโ€˜๐พ))
6131, 53, 3, 60lesub1dd 11829 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ 2) โ‰ค ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2))
62 fzfid 13937 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โˆˆ Fin)
63 ioossre 13384 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹(,)+โˆž) โŠ† โ„
64 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž))
6563, 64sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
66 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘‹ = (expโ€˜(2 / ๐ธ))
67 rerpdivcl 13003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ๐ธ) โˆˆ โ„)
682, 10, 67sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐ธ) โˆˆ โ„)
6968reefcld 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(2 / ๐ธ)) โˆˆ โ„)
7066, 69eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
71 efgt0 16045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / ๐ธ) โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (expโ€˜(2 / ๐ธ)))
7268, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < (expโ€˜(2 / ๐ธ)))
7372, 66breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‹)
7470rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„*)
75 elioopnf 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘‹ โˆˆ โ„* โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž) โ†” (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž) โ†” (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ)))
7764, 76mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ))
7877simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < ๐‘Œ)
7942, 70, 65, 73, 78lttrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘Œ)
8042, 65, 79ltled 11361 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Œ)
81 flge0nn0 13784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘Œ) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
8265, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
83 nn0p1nn 12510 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„•)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„•)
85 elfzuz 13496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)))
86 eluznn 12901 . . . . . . . . . . . 12 ((((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8784, 85, 86syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8887peano2nnd 12228 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
8988nnrecred 12262 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
9062, 89fsumrecl 15679 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
9153recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
92 2cnd 12289 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9365, 79elrpd 13012 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
9493relogcld 26130 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
9594recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
9691, 92, 95pnpcan2d 11608 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆ’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ))) = ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2))
9752, 93relogmuld 26132 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) = ((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)))
9853, 94readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
9997, 98eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
100 fzfid 13937 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
101 elfznn0 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
103 nn0p1nn 12510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
105104nnrecred 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
106100, 105fsumrecl 15679 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
107106, 90readdcld 11242 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
108 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
1092, 94, 108sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
110109, 90readdcld 11242 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
11141, 65remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
11265recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
113112mullidd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
11444, 41, 50ltled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
115 lemul1 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Œ)) โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†” (1 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)))
11644, 41, 65, 79, 115syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†” (1 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)))
117114, 116mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))
118113, 117eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))
11942, 65, 111, 80, 118letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))
120 flge0nn0 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0)
121111, 119, 120syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0)
122 nn0p1nn 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„•)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„•)
124123nnrpd 13013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„+)
125124relogcld 26130 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)) โˆˆ โ„)
126 1zzd 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
127111flcld 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„ค)
128127peano2zd 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„ค)
129 elfznn 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
131 nnrecre 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
132131recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
134 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (1 / ๐‘˜) = (1 / (๐‘› + 1)))
135126, 126, 128, 133, 134fsumshftm 15726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1))(1 / (๐‘› + 1)))
136 1m1e0 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆ’ 1) = 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ 1) = 0)
138127zcnd 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„‚)
139 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
140 pncan 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
141138, 139, 140sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
142137, 141oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1)) = (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
143142sumeq1d 15646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆ’ 1))(1 / (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)))
144 reflcl 13760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
14565, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
146145ltp1d 12143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))
147 fzdisj 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ†’ ((0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆฉ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) = โˆ…)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆฉ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) = โˆ…)
149 flwordi 13776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง (๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
15065, 111, 118, 149syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
151 elfz2nn0 13591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†” ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
15282, 121, 150, 151syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
153 fzsplit 13526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) = ((0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆช (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) = ((0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆช (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))))
155 fzfid 13937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โˆˆ Fin)
156 elfznn0 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
157156adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
158157, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
159158nnrecred 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
160159recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
161148, 154, 155, 160fsumsplit 15686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
162135, 143, 1613eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
163162, 107eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
164 fllep1 13765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))
165111, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))
16652, 93rpmulcld 13031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„+)
167166, 124logled 26134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘Œ) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โ†” (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))))
168165, 167mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)))
169 emre 26507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ฮณ โˆˆ โ„
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮณ โˆˆ โ„)
171163, 125resubcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ โ„)
172 0re 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„
173 emgt0 26508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < ฮณ
174172, 169, 173ltleii 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค ฮณ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮณ)
176 harmonicbnd 26505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
177123, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
178169, 43elicc2i 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†” ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โ‰ค 1))
179178simp2bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))))
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))))
18142, 170, 171, 175, 180letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))))
182163, 125subge0d 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))) โ†” (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜)))
183181, 182mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜))
18499, 125, 163, 168, 183letrd 11370 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) + 1))(1 / ๐‘˜))
185184, 162breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
18665flcld 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
187186peano2zd 12668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„ค)
188 elfznn 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
189188adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
190189, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
191126, 126, 187, 190, 134fsumshftm 15726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1))(1 / (๐‘› + 1)))
192145recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
193 pncan 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
194192, 139, 193sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
195137, 194oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1)) = (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
196195sumeq1d 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆ’ 1))(1 / (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)))
197191, 196eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)))
198197, 106eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
19984nnrpd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„+)
200199relogcld 26130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โˆˆ โ„)
201 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ โ„)
20243, 200, 201sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ โ„)
203 harmonicbnd 26505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
20484, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
205169, 43elicc2i 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†” ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค 1))
206205simp3bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค 1)
207204, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค 1)
208198, 200, 44lesubaddd 11810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค 1 โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)))))
209207, 208mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))))
210 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
21143, 94, 210sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (1 + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
212 peano2re 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„)
213145, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โˆˆ โ„)
2143, 65remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
215 epr 16150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e โˆˆ โ„+
216 rpmulcl 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((e โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„+) โ†’ (e ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„+)
217215, 93, 216sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (e ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„+)
218217rpred 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (e ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
219 flle 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค ๐‘Œ)
22065, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โ‰ค ๐‘Œ)
22112, 10rpdivcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐ธ) โˆˆ โ„+)
222 efgt1 16058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 / ๐ธ) โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜(2 / ๐ธ)))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ 1 < (expโ€˜(2 / ๐ธ)))
224223, 66breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘‹)
22544, 70, 65, 224, 78lttrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘Œ)
22644, 65, 225ltled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Œ)
227145, 44, 65, 65, 220, 226le2addd 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค (๐‘Œ + ๐‘Œ))
2281122timesd 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘Œ))
229227, 228breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘Œ))
230 ere 16031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e โˆˆ โ„
231 egt2lt3 16148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e โˆง e < 3)
232231simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
2332, 230, 232ltleii 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โ‰ค e
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค e)
235230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ e โˆˆ โ„)
236 lemul1 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 โˆˆ โ„ โˆง e โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘Œ)) โ†’ (2 โ‰ค e โ†” (2 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ)))
2373, 235, 65, 79, 236syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰ค e โ†” (2 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ)))
238234, 237mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘Œ) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ))
239213, 214, 218, 229, 238letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ))
240199, 217logled 26134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค (e ยท ๐‘Œ) โ†” (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โ‰ค (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ))))
241239, 240mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โ‰ค (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ)))
242 relogmul 26099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((e โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ)) = ((logโ€˜e) + (logโ€˜๐‘Œ)))
243215, 93, 242sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ)) = ((logโ€˜e) + (logโ€˜๐‘Œ)))
244 loge 26094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (logโ€˜e) = 1
245244oveq1i 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((logโ€˜e) + (logโ€˜๐‘Œ)) = (1 + (logโ€˜๐‘Œ))
246243, 245eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(e ยท ๐‘Œ)) = (1 + (logโ€˜๐‘Œ)))
247241, 246breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)) โ‰ค (1 + (logโ€˜๐‘Œ)))
248200, 211, 44, 247leadd2dd 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค (1 + (1 + (logโ€˜๐‘Œ))))
249 df-2 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
250249oveq1i 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + (logโ€˜๐‘Œ)) = ((1 + 1) + (logโ€˜๐‘Œ))
251139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
252251, 251, 95addassd 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((1 + 1) + (logโ€˜๐‘Œ)) = (1 + (1 + (logโ€˜๐‘Œ))))
253250, 252eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ)) = (1 + (1 + (logโ€˜๐‘Œ))))
254248, 253breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 + (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))) โ‰ค (2 + (logโ€˜๐‘Œ)))
255198, 202, 109, 209, 254letrd 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1))(1 / ๐‘˜) โ‰ค (2 + (logโ€˜๐‘Œ)))
256197, 255eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) โ‰ค (2 + (logโ€˜๐‘Œ)))
257106, 109, 90, 256leadd1dd 11827 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))(1 / (๐‘› + 1)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
25899, 107, 110, 185, 257letrd 11370 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)) โ‰ค ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
25997, 258eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))))
26098, 109, 90lesubadd2d 11812 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆ’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) โ†” ((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค ((2 + (logโ€˜๐‘Œ)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)))))
261259, 260mpbird 256 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐พ) + (logโ€˜๐‘Œ)) โˆ’ (2 + (logโ€˜๐‘Œ))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)))
26296, 261eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)))
26389recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
26462, 26, 263fsummulc2 15729 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))))
2656adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
266265recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
26788nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„‚)
26888nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰  0)
269266, 267, 268divrecd 11992 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ / (๐‘› + 1)) = (๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))))
270265, 88nndivred 12265 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ / (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
271269, 270eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
27262, 271fsumrecl 15679 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
27387nnrpd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
274 pntpbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
275274pntrf 27063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘…:โ„+โŸถโ„
276275ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
277273, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
27887, 88nnmulcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•)
279277, 278nndivred 12265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„)
280279recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))) โˆˆ โ„‚)
281280abscld 15382 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) โˆˆ โ„)
28262, 281fsumrecl 15679 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) โˆˆ โ„)
283277, 87nndivred 12265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
284283recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
285284abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
28688nnrpd 13013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„+)
287 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ))
288287adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ))
289 elfzle1 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค ๐‘›)
290289adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค ๐‘›)
29165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
292291flcld 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
29387nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
294 zltp1le 12611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘› โ†” ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค ๐‘›))
295292, 293, 294syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘› โ†” ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1) โ‰ค ๐‘›))
296290, 295mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘›)
297 fllt 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Œ < ๐‘› โ†” (โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘›))
298291, 293, 297syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘Œ < ๐‘› โ†” (โŒŠโ€˜๐‘Œ) < ๐‘›))
299296, 298mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘Œ < ๐‘›)
300 elfzle2 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
301300adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))
302111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
303 flge 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐พ ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ) โ†” ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
304302, 293, 303syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ) โ†” ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ))))
305301, 304mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))
306 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (๐‘Œ < ๐‘ฆ โ†” ๐‘Œ < ๐‘›))
307 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ) โ†” ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)))
308306, 307anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โ†” (๐‘Œ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))))
309 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘…โ€˜๐‘›))
310 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘›)
311309, 310oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ) = ((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
312311fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
313312breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ))
314308, 313anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ = ๐‘› โ†’ (((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ) โ†” ((๐‘Œ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ)))
315314rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘Œ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ))
316315expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Œ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ)))
31787, 299, 305, 316syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ((๐‘Œ < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘Œ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘ฆ)) โ‰ค ๐ธ)))
318288, 317mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ยฌ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ)
319285, 265letrid 11365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ โˆจ ๐ธ โ‰ค (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
320319ord 862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (ยฌ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐ธ โ†’ ๐ธ โ‰ค (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
321318, 320mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐ธ โ‰ค (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
322265, 285, 286, 321lediv1dd 13073 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ / (๐‘› + 1)) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (๐‘› + 1)))
323284, 267, 268absdivd 15401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜(((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (๐‘› + 1))) = ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (absโ€˜(๐‘› + 1))))
324277recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
32587nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
32687nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
327324, 325, 267, 326, 268divdiv1d 12020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (๐‘› + 1)) = ((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))
328327fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜(((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›) / (๐‘› + 1))) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))))
329286rprege0d 13022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘› + 1)))
330 absid 15242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘› + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘› + 1)) โ†’ (absโ€˜(๐‘› + 1)) = (๐‘› + 1))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (absโ€˜(๐‘› + 1)) = (๐‘› + 1))
332331oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (absโ€˜(๐‘› + 1))) = ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (๐‘› + 1)))
333323, 328, 3323eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) / (๐‘› + 1)) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))))
334322, 269, 3333brtr3d 5179 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))) โ†’ (๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))))
33562, 271, 281, 334fsumle 15744 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))))
336 pntpbnd1.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• โˆ€๐‘— โˆˆ โ„ค (absโ€˜ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘–...๐‘—)((๐‘…โ€˜๐‘ฆ) / (๐‘ฆ ยท (๐‘ฆ + 1)))) โ‰ค ๐ด)
337274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287pntpbnd1 27086 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / (๐‘› ยท (๐‘› + 1)))) โ‰ค ๐ด)
338272, 282, 32, 335, 337letrd 11370 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(๐ธ ยท (1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ๐ด)
339264, 338eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ๐ด)
34090, 32, 10lemuldiv2d 13065 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1))) โ‰ค ๐ด โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) โ‰ค (๐ด / ๐ธ)))
341339, 340mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((โŒŠโ€˜๐‘Œ) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐พ ยท ๐‘Œ)))(1 / (๐‘› + 1)) โ‰ค (๐ด / ๐ธ))
34255, 90, 33, 262, 341letrd 11370 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐พ) โˆ’ 2) โ‰ค (๐ด / ๐ธ))
34335, 55, 33, 61, 342letrd 11370 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ 2) โ‰ค (๐ด / ๐ธ))
34431, 3, 33, 343subled 11816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / ๐ธ) โˆ’ (๐ด / ๐ธ)) โ‰ค 2)
34529, 344eqbrtrd 5170 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 / ๐ธ) โ‰ค 2)
3463, 10, 12, 345lediv23d 13083 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 / 2) โ‰ค ๐ธ)
3471, 346eqbrtrrid 5184 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ธ)
3488simprd 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ < 1)
349 ltnle 11292 . . . 4 ((๐ธ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ < 1 โ†” ยฌ 1 โ‰ค ๐ธ))
3506, 43, 349sylancl 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ < 1 โ†” ยฌ 1 โ‰ค ๐ธ))
351348, 350mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 1 โ‰ค ๐ธ)
352347, 351pm2.65i 193 1 ยฌ ๐œ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  3c3 12267  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„คโ‰ฅcuz 12821  โ„+crp 12973  (,)cioo 13323  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  โŒŠcfl 13754  abscabs 15180  ฮฃcsu 15631  expce 16004  eceu 16005  logclog 26062  ฮณcem 26493  ฯˆcchp 26594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-e 16011  df-sin 16012  df-cos 16013  df-tan 16014  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-ulm 25888  df-log 26064  df-atan 26369  df-em 26494  df-vma 26599  df-chp 26600
This theorem is referenced by:  pntpbnd  27088
  Copyright terms: Public domain W3C validator