pntpbnd2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntpbnd2 27751

Description: Lemma for pntpbnd 27752. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntpbnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x	⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntpbnd1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))

**Assertion**
Ref	Expression
pntpbnd2	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑦,𝐾 𝑅,𝑖,𝑗,𝑦 𝑖,𝑎,𝑗,𝑦,𝐴 𝑦,𝐸 𝑖,𝑌,𝑗,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎) 𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎) 𝑅(𝑎) 𝐸(𝑖,𝑗,𝑎) 𝐾(𝑎) 𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎) 𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd2 Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2div2e1 12376	. . 3 ⊢ (2 / 2) = 1
2		2re 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		ioossre 13429	. . . . . 6 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		pntpbnd1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
6	4, 5	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
7		eliooord 13427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
8	5, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
9	8	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
10	6, 9	elrpd 13052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
11		2rp 13016	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
13		pntpbnd1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
14	13	oveq1i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 − 𝐴) = ((𝐴 + 2) − 𝐴)
15		pntpbnd1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
16	15	rpcnd 13057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		2cn 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		pncan2 11459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
19	16, 17, 18	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
20	14, 19	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = 2)
21	20	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐸) = (2 / 𝐸))
22		rpaddcl 13035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
23	15, 11, 22	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
24	13, 23	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
25	24	rpcnd 13057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
26	6	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
27	10	rpne0d 13060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
28	25, 16, 26, 27	divsubdird 12025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
29	21, 28	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
30	24, 10	rpdivcld 13072	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺)
31	30	rpred 13055	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
32	15	rpred 13055	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32, 10	rerpdivcld 13086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐸) ∈ ℝ)
34		resubcl 11517	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
35	31, 2, 34	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
36		pntpbnd1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
37	31	reefcld 16137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38		elicopnf 13467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
40	36, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾))
41	40	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
42		0red 11206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43		1re 11203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45		0lt1 11731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
47		efgt1 16167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
48	30, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
49	40	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
50	44, 37, 41, 48, 49	ltletrd 11365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
51	42, 44, 41, 46, 50	lttrd 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
52	41, 51	elrpd 13052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ⁺)
53	52	relogcld 26788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
54		resubcl 11517	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
55	53, 2, 54	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
56	52	reeflogd 26789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐾)) = 𝐾)
57	49, 56	breqtrrd 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾)))
58		efle 16169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
59	31, 53, 58	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
60	57, 59	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾))
61	31, 53, 3, 60	lesub1dd 11825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ ((log‘𝐾) − 2))
62		fzfid 14005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
63		ioossre 13429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
64		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
65	63, 64	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
66		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
67		rerpdivcl 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
68	2, 10, 67	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
69	68	reefcld 16137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
70	66, 69	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
71		efgt0 16154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
72	68, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
73	72, 66	breqtrrdi 5153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
74	70	rexrd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
75		elioopnf 13465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
77	64, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
78	77	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
79	42, 70, 65, 73, 78	lttrd 11366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
80	42, 65, 79	ltled 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
81		flge0nn0 13849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
82	65, 80, 81	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
83		nn0p1nn 12538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
84	82, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
85		elfzuz 13543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
86		eluznn 12937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
87	84, 85, 86	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
88	87	peano2nnd 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89	88	nnrecred 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
90	62, 89	fsumrecl 15781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
91	53	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
92		2cnd 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93	65, 79	elrpd 13052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
94	93	relogcld 26788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
96	91, 92, 95	pnpcan2d 11602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) = ((log‘𝐾) − 2))
97	52, 93	relogmuld 26790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) = ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)))
98	53, 94	readdcld 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
99	97, 98	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℝ)
100		fzfid 14005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
101		elfznn0 13644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
102	101	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
103		nn0p1nn 12538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
104	102, 103	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105	104	nnrecred 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
106	100, 105	fsumrecl 15781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
107	106, 90	readdcld 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
108		readdcl 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
109	2, 94, 108	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
110	109, 90	readdcld 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
111	41, 65	remulcld 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
112	65	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
113	112	mullidd 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
114	44, 41, 50	ltled 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
115		lemul1 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
116	44, 41, 65, 79, 115	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
117	114, 116	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌))
118	113, 117	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
119	42, 65, 111, 80, 118	letrd 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝑌))
120		flge0nn0 13849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀)
121	111, 119, 120	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀)
122		nn0p1nn 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
123	121, 122	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
124	123	nnrpd 13053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℝ⁺)
125	124	relogcld 26788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ∈ ℝ)
126		1zzd 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
127	111	flcld 13827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
128	127	peano2zd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℤ)
129		elfznn 13577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
130	129	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
131		nnrecre 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
132	131	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
133	130, 132	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
134		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 + 1)))
135	126, 126, 128, 133, 134	fsumshftm 15828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
136		1m1e0 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 1) = 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
138	127	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ)
139		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
140		pncan 11458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
141	138, 139, 140	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
142	137, 141	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
143	142	sumeq1d 15747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
144		reflcl 13825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
145	65, 144	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
146	145	ltp1d 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
147		fzdisj 13575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
148	146, 147	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
149		flwordi 13841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
150	65, 111, 118, 149	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
151		elfz2nn0 13642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀ ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ₀ ∧ (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
152	82, 121, 150, 151	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
153		fzsplit 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
154	152, 153	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
155		fzfid 14005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
156		elfznn0 13644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
157	156	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
158	157, 103	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
159	158	nnrecred 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
160	159	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
161	148, 154, 155, 160	fsumsplit 15788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
162	135, 143, 161	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
163	162, 107	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
164		fllep1 13830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
165	111, 164	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
166	52, 93	rpmulcld 13071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
167	166, 124	logled 26792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ↔ (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
168	165, 167	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)))
169		emre 27170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ γ ∈ ℝ
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → γ ∈ ℝ)
171	163, 125	resubcld 11637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ)
172		0re 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
173		emgt0 27171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < γ
174	172, 169, 173	ltleii 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ γ
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ γ)
176		harmonicbnd 27168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
177	123, 176	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
178	169, 43	elicc2i 13434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ≤ 1))
179	178	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
180	177, 179	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
181	42, 170, 171, 175, 180	letrd 11362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
182	163, 125	subge0d 11799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ↔ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘)))
183	181, 182	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
184	99, 125, 163, 168, 183	letrd 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
185	184, 162	breqtrd 5137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
186	65	flcld 13827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
187	186	peano2zd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
188		elfznn 13577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
189	188	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
190	189, 132	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
191	126, 126, 187, 190, 134	fsumshftm 15828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
192	145	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℂ)
193		pncan 11458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
194	192, 139, 193	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
195	137, 194	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘𝑌)))
196	195	sumeq1d 15747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
197	191, 196	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
198	197, 106	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
199	84	nnrpd 13053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ⁺)
200	199	relogcld 26788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
201		readdcl 11178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ) → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
202	43, 200, 201	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
203		harmonicbnd 27168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
204	84, 203	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
205	169, 43	elicc2i 13434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1))
206	205	simp3bi 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
207	204, 206	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
208	198, 200, 44	lesubaddd 11806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1)))))
209	207, 208	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))))
210		readdcl 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
211	43, 94, 210	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
212		peano2re 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
213	145, 212	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
214	3, 65	remulcld 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) ∈ ℝ)
215		epr 16259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ e ∈ ℝ⁺
216		rpmulcl 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((e ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ⁺) → (e · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
217	215, 93, 216	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ⁺)
218	217	rpred 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ)
219		flle 13828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
220	65, 219	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
221	12, 10	rpdivcld 13072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ⁺)
222		efgt1 16167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 / 𝐸) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
223	221, 222	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
224	223, 66	breqtrrdi 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
225	44, 70, 65, 224, 78	lttrd 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑌)
226	44, 65, 225	ltled 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
227	145, 44, 65, 65, 220, 226	le2addd 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (𝑌 + 𝑌))
228	112	2timesd 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
229	227, 228	breqtrrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (2 · 𝑌))
230		ere 16138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ e ∈ ℝ
231		egt2lt3 16257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
232	231	simpli 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 < e
233	2, 230, 232	ltleii 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ≤ e
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ e)
235	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℝ)
236		lemul1 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
237	3, 235, 65, 79, 236	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
238	234, 237	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌))
239	213, 214, 218, 229, 238	letrd 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌))
240	199, 217	logled 26792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌) ↔ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌))))
241	239, 240	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌)))
242		relogmul 26757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((e ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ⁺) → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
243	215, 93, 242	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
244		loge 26751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (log‘e) = 1
245	244	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((log‘e) + (log‘𝑌)) = (1 + (log‘𝑌))
246	243, 245	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = (1 + (log‘𝑌)))
247	241, 246	breqtrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑌)))
248	200, 211, 44, 247	leadd2dd 11824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (1 + (1 + (log‘𝑌))))
249		df-2 12298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 = (1 + 1)
250	249	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + (log‘𝑌)) = ((1 + 1) + (log‘𝑌))
251	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
252	251, 251, 95	addassd 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
253	250, 252	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
254	248, 253	breqtrrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
255	198, 202, 109, 209, 254	letrd 11362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
256	197, 255	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
257	106, 109, 90, 256	leadd1dd 11823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
258	99, 107, 110, 185, 257	letrd 11362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
259	97, 258	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
260	98, 109, 90	lesubadd2d 11808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ↔ ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))))
261	259, 260	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
262	96, 261	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
263	89	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
264	62, 26, 263	fsummulc2 15831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
265	6	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℝ)
266	265	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℂ)
267	88	nncnd 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
268	88	nnne0d 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
269	266, 267, 268	divrecd 11989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) = (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
270	265, 88	nndivred 12285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
271	269, 270	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
272	62, 271	fsumrecl 15781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
273	87	nnrpd 13053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
274		pntpbnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
275	274	pntrf 27727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
276	275	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
277	273, 276	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
278	87, 88	nnmulcld 12284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
279	277, 278	nndivred 12285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
280	279	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
281	280	abscld 15486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
282	62, 281	fsumrecl 15781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
283	277, 87	nndivred 12285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
284	283	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
285	284	abscld 15486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
286	88	nnrpd 13053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ⁺)
287		pntpbnd1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
288	287	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
289		elfzle1 13550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
290	289	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
291	65	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 ∈ ℝ)
292	291	flcld 13827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
293	87	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
294		zltp1le 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
295	292, 293, 294	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
296	290, 295	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑛)
297		fllt 13835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
298	291, 293, 297	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
299	296, 298	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑛)
300		elfzle2 13551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
301	300	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
302	111	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
303		flge 13834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
304	302, 293, 303	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
305	301, 304	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))
306		breq2 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑌 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑛))
307		breq1 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
308	306, 307	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
309		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘𝑛))
310		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → 𝑦 = 𝑛)
311	309, 310	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑦) / 𝑦) = ((𝑅‘𝑛) / 𝑛))
312	311	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
313	312	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸))
314	308, 313	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)))
315	314	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
316	315	expr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑌 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
317	87, 299, 305, 316	syl12anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
318	288, 317	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)
319	285, 265	letrid 11357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 ∨ 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛))))
320	319	ord 877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛))))
321	318, 320	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
322	265, 285, 286, 321	lediv1dd 13113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ≤ ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
323	284, 267, 268	absdivd 15505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))))
324	277	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℂ)
325	87	nncnd 12244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
326	87	nnne0d 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≠ 0)
327	324, 325, 267, 326, 268	divdiv1d 12017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1)) = ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
328	327	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅‘𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
329	286	rprege0d 13062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)))
330		absid 15343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
331	329, 330	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
332	331	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
333	323, 328, 332	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
334	322, 269, 333	3brtr3d 5142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
335	62, 271, 281, 334	fsumle 15847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336		pntpbnd1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
337	274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287	pntpbnd1 27750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338	272, 282, 32, 335, 337	letrd 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
339	264, 338	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
340	90, 32, 10	lemuldiv2d 13105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴 ↔ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸)))
341	339, 340	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸))
342	55, 90, 33, 262, 341	letrd 11362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
343	35, 55, 33, 61, 342	letrd 11362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
344	31, 3, 33, 343	subled 11812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)) ≤ 2)
345	29, 344	eqbrtrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ≤ 2)
346	3, 10, 12, 345	lediv23d 13123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 / 2) ≤ 𝐸)
347	1, 346	eqbrtrrid 5147	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐸)
348	8	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1)
349		ltnle 11284	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
350	6, 43, 349	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
351	348, 350	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 ≤ 𝐸)
352	347, 351	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ∀wral 3079 ∃wrex 3089 ∪ cun 3903 ∩ cin 3904 ∅c0 4286 class class class wbr 5109 ↦ cmpt 5192 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11093 ℝcr 11094 0cc0 11095 1c1 11096 + caddc 11098 · cmul 11100 +∞cpnf 11235 ℝ^*cxr 11237 < clt 11238 ≤ cle 11239 − cmin 11436 / cdiv 11866 ℕcn 12228 2c2 12290 3c3 12291 ℕ₀cn0 12499 ℤcz 12586 ℤ_≥cuz 12857 ℝ⁺crp 13011 (,)cioo 13367 [,)cico 13369 [,]cicc 13370 ...cfz 13530 ⌊cfl 13819 abscabs 15281 Σcsu 15733 expce 16110 eceu 16111 logclog 26719 γcem 27156 ψcchp 27257

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-inf2 9606 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172 ax-pre-sup 11173 ax-addf 11174

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-iin 4959 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-se 5615 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-of 7674 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-supp 8153 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-2o 8450 df-oadd 8453 df-er 8690 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9318 df-fi 9367 df-sup 9398 df-inf 9399 df-oi 9468 df-dju 9883 df-card 9921 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-div 11867 df-nn 12229 df-2 12298 df-3 12299 df-4 12300 df-5 12301 df-6 12302 df-7 12303 df-8 12304 df-9 12305 df-n0 12500 df-xnn0 12573 df-z 12587 df-dec 12707 df-uz 12858 df-q 12968 df-rp 13012 df-xneg 13132 df-xadd 13133 df-xmul 13134 df-ioo 13371 df-ioc 13372 df-ico 13373 df-icc 13374 df-fz 13531 df-fzo 13679 df-fl 13821 df-mod 13899 df-seq 14034 df-exp 14094 df-fac 14306 df-bc 14335 df-hash 14363 df-shft 15100 df-cj 15146 df-re 15147 df-im 15148 df-sqrt 15282 df-abs 15283 df-limsup 15518 df-clim 15535 df-rlim 15536 df-sum 15734 df-ef 16116 df-e 16117 df-sin 16118 df-cos 16119 df-tan 16120 df-pi 16121 df-dvds 16306 df-gcd 16548 df-prm 16725 df-pc 16892 df-struct 17202 df-sets 17219 df-slot 17237 df-ndx 17249 df-base 17265 df-ress 17286 df-plusg 17318 df-mulr 17319 df-starv 17320 df-sca 17321 df-vsca 17322 df-ip 17323 df-tset 17324 df-ple 17325 df-ds 17327 df-unif 17328 df-hom 17329 df-cco 17330 df-rest 17470 df-topn 17471 df-0g 17489 df-gsum 17490 df-topgen 17491 df-pt 17492 df-prds 17495 df-xrs 17551 df-qtop 17556 df-imas 17557 df-xps 17559 df-mre 17633 df-mrc 17634 df-acs 17636 df-mgm 18693 df-sgrp 18772 df-mnd 18788 df-submnd 18837 df-mulg 19129 df-cntz 19382 df-cmn 19847 df-psmet 21514 df-xmet 21515 df-met 21516 df-bl 21517 df-mopn 21518 df-fbas 21519 df-fg 21520 df-cnfld 21523 df-top 23051 df-topon 23068 df-topsp 23090 df-bases 23103 df-cld 23176 df-ntr 23177 df-cls 23178 df-nei 23255 df-lp 23293 df-perf 23294 df-cn 23384 df-cnp 23385 df-haus 23472 df-cmp 23544 df-tx 23719 df-hmeo 23912 df-fil 24003 df-fm 24095 df-flim 24096 df-flf 24097 df-xms 24477 df-ms 24478 df-tms 24479 df-cncf 25037 df-limc 26025 df-dv 26026 df-ulm 26540 df-log 26721 df-atan 27032 df-em 27157 df-vma 27262 df-chp 27263

This theorem is referenced by: pntpbnd 27752

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