MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem8 25817
Description: Lemma for basel 25819. The function 𝐹 of partial sums of the inverse squares is bounded below by 𝐽 and above by 𝐾, obtained by summing the inequality cot↑2𝑥 ≤ 1 / 𝑥↑2 ≤ csc↑2𝑥 = cot↑2𝑥 + 1 over the 𝑀 roots of the polynomial 𝑃, and applying the identity basellem5 25814. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
basellem8.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13425 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 pire 25195 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
3 basellem8.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
4 2nn 11782 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
5 nnmulcl 11733 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
64, 5mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
76peano2nnd 11726 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
83, 7eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
9 nndivre 11750 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (π / 𝑁) ∈ ℝ)
102, 8, 9sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (π / 𝑁) ∈ ℝ)
1110resqcld 13696 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
133basellem1 25810 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
14 tanrpcl 25241 . . . . . . . 8 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1615rpred 12507 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1715rpne0d 12512 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
18 2z 12088 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
19 znegcl 12091 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → -2 ∈ ℤ)
2216, 17, 21reexpclzd 13695 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
2312, 22remulcld 10742 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
24 elfznn 13020 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnred 11724 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2725nnne0d 11759 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ≠ 0)
2826, 27, 21reexpclzd 13695 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
2916recnd 10740 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
30 2nn0 11986 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
31 expneg 13522 . . . . . . . 8 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
3229, 30, 31sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
3332oveq2d 7180 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
3410recnd 10740 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (π / 𝑁) ∈ ℂ)
3534sqcld 13593 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
3635adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
37 rpexpcl 13533 . . . . . . . . . 10 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3815, 18, 37sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3938rpred 12507 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
4039recnd 10740 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
4138rpne0d 12512 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
4236, 40, 41divrecd 11490 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
4333, 42eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
4425nnrpd 12505 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
45 rpexpcl 13533 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ+)
4644, 20, 45sylancl 589 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ+)
47 2cn 11784 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
4847negnegi 11027 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
4948oveq2i 7175 . . . . . . . . . 10 (𝑘↑--2) = (𝑘↑2)
5025nncnd 11725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5150, 27, 21expnegd 13602 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑--2) = (1 / (𝑘↑-2)))
5249, 51syl5reqr 2788 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / (𝑘↑-2)) = (𝑘↑2))
5352oveq1d 7179 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((1 / (𝑘↑-2)) · ((π / 𝑁)↑2)) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
54 nncn 11717 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
55 nnne0 11743 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
5754, 55, 56expclzd 13600 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
5950, 27, 21expne0d 13601 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≠ 0)
6036, 58, 59divrec2d 11491 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) = ((1 / (𝑘↑-2)) · ((π / 𝑁)↑2)))
612recni 10726 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
638nncnd 11725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
648nnne0d 11759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
6563, 64jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
6665adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
67 divass 11387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) = (𝑘 · (π / 𝑁)))
6850, 62, 66, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) = (𝑘 · (π / 𝑁)))
6968oveq1d 7179 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) = ((𝑘 · (π / 𝑁))↑2))
7034adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (π / 𝑁) ∈ ℂ)
7150, 70sqmuld 13607 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · (π / 𝑁))↑2) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
7269, 71eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
7353, 60, 723eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) = (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2))
74 elioore 12844 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
7675resqcld 13696 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
77 tangtx 25242 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
7813, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
79 eliooord 12873 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < ((𝑘 · π) / 𝑁) ∧ ((𝑘 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
8013, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < ((𝑘 · π) / 𝑁) ∧ ((𝑘 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
8180simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝑘 · π) / 𝑁))
8275, 81elrpd 12504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
8382rpge0d 12511 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁))
8415rpge0d 12511 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
8575, 16, 83, 84lt2sqd 13704 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ↔ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) < ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
8678, 85mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) < ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8776, 39, 86ltled 10859 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) ≤ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8873, 87eqbrtrd 5049 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) ≤ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8912, 46, 38, 88lediv23d 12575 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ (𝑘↑-2))
9043, 89eqbrtrd 5049 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ≤ (𝑘↑-2))
911, 23, 28, 90fsumle 15240 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2))
92 oveq2 7172 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
9392oveq1d 7179 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑀) + 1))
9493, 3eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
9594oveq2d 7180 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / 𝑁))
9695oveq2d 7180 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 − (1 / 𝑁)))
9796oveq2d 7180 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))))
9895oveq2d 7180 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (-2 · (1 / 𝑁)))
9998oveq2d 7180 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (1 + (-2 · (1 / 𝑁))))
10097, 99oveq12d 7182 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))))
101 basel.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
102 nnex 11715 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → ℕ ∈ V)
104 ovexd 7199 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V)
105 ovexd 7199 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V)
106 basel.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
1072resqcli 13634 . . . . . . . . . . . 12 (π↑2) ∈ ℝ
108 6re 11799 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
109 6nn 11798 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
110109nnne0i 11749 . . . . . . . . . . . 12 6 ≠ 0
111107, 108, 110redivcli 11478 . . . . . . . . . . 11 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
113 ovexd 7199 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
114 fconstmpt 5579 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π↑2) / 6))
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π↑2) / 6)))
116 1zzd 12087 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
117 ovexd 7199 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ V)
118 fconstmpt 5579 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
120 basel.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
122103, 116, 117, 119, 121offval2 7438 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
123103, 112, 113, 115, 122offval2 7438 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
124106, 123syl5eq 2785 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
125 ovexd 7199 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
12647negcli 11025 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
128 fconstmpt 5579 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {-2}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ -2)
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℕ × {-2}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ -2))
130103, 127, 117, 129, 121offval2 7438 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
131103, 116, 125, 119, 130offval2 7438 . . . . . . . 8 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
132103, 104, 105, 124, 131offval2 7438 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))))
133132mptru 1549 . . . . . 6 (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
134101, 133eqtri 2761 . . . . 5 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
135 ovex 7197 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) ∈ V
136100, 134, 135fvmpt 6769 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))))
137111recni 10726 . . . . . . . 8 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((π↑2) / 6) ∈ ℂ)
1396nncnd 11725 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
140139, 63, 64divcld 11487 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) / 𝑁) ∈ ℂ)
141 ax-1cn 10666 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
142 subcl 10956 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
143139, 141, 142sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
144143, 63, 64divcld 11487 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
145138, 140, 144mulassd 10735 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))))
146 1cnd 10707 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14763, 146, 63, 64divsubdird 11526 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) − (1 / 𝑁)))
1483oveq1i 7174 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 1) = (((2 · 𝑀) + 1) − 1)
149 pncan 10963 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑀) + 1) − 1) = (2 · 𝑀))
150139, 141, 149sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − 1) = (2 · 𝑀))
151148, 150syl5eq 2785 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑀))
152151oveq1d 7179 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) = ((2 · 𝑀) / 𝑁))
15363, 64dividd 11485 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
154153oveq1d 7179 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) − (1 / 𝑁)) = (1 − (1 / 𝑁)))
155147, 152, 1543eqtr3rd 2782 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) = ((2 · 𝑀) / 𝑁))
156155oveq2d 7180 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)))
157126a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → -2 ∈ ℂ)
15863, 157, 63, 64divdird 11525 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + -2) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)))
159 negsub 11005 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + -2) = (𝑁 − 2))
16063, 47, 159sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + -2) = (𝑁 − 2))
161 df-2 11772 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
1623, 161oveq12i 7176 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 2) = (((2 · 𝑀) + 1) − (1 + 1))
163139, 146, 146pnpcan2d 11106 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − 1))
164162, 163syl5eq 2785 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − 2) = ((2 · 𝑀) − 1))
165160, 164eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + -2) = ((2 · 𝑀) − 1))
166165oveq1d 7179 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + -2) / 𝑁) = (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))
167157, 63, 64divrecd 11490 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-2 / 𝑁) = (-2 · (1 / 𝑁)))
168153, 167oveq12d 7182 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)) = (1 + (-2 · (1 / 𝑁))))
169158, 166, 1683eqtr3rd 2782 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (1 + (-2 · (1 / 𝑁))) = (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))
170156, 169oveq12d 7182 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)))
1718nnsqcld 13690 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
172171nncnd 11725 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
173 6cn 11800 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
174 mulcom 10694 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → ((𝑁↑2) · 6) = (6 · (𝑁↑2)))
175172, 173, 174sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) · 6) = (6 · (𝑁↑2)))
176175oveq2d 7180 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
177107recni 10726 . . . . . . . . . 10 (π↑2) ∈ ℂ
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (π↑2) ∈ ℂ)
179139, 143mulcld 10732 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
180171nnne0d 11759 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ≠ 0)
181172, 180jca 515 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))
182173, 110pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
183182a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))
184 divmuldiv 11411 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ) ∧ (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0) ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))) → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
185178, 179, 181, 183, 184syl22anc 838 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
186 divmuldiv 11411 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ) ∧ ((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))) → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
187178, 179, 183, 181, 186syl22anc 838 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
188176, 185, 1873eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))))
18961a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
190189, 63, 64sqdivd 13608 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) = ((π↑2) / (𝑁↑2)))
191190oveq1d 7179 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
192139, 63, 143, 63, 64, 64divmuldivd 11528 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
19363sqvald 13592 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
194193oveq2d 7180 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
195192, 194eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2)))
196195oveq2d 7180 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))))
197188, 191, 1963eqtr4d 2783 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))))
198145, 170, 1973eqtr4d 2783 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
199 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑥𝑗))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑥𝑗)))
200 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
2013, 199, 200basellem5 25814 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
202201oveq2d 7180 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
203198, 202eqtr4d 2776 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
20422recnd 10740 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
2051, 35, 204fsummulc2 15225 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
206136, 203, 2053eqtrd 2777 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
207 basel.f . . . . 5 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
208207fveq1i 6669 . . . 4 (𝐹𝑀) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))‘𝑀)
209 oveq1 7171 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
210 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
211 ovex 7197 . . . . . . 7 (𝑘↑-2) ∈ V
212209, 210, 211fvmpt 6769 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
21325, 212syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
214 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
215 nnuz 12356 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
216214, 215eleqtrdi 2843 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
217213, 216, 58fsumser 15173 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))‘𝑀))
218208, 217eqtr4id 2792 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2))
21991, 206, 2183brtr4d 5059 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀))
22075resincld 15581 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
221 sincosq1sgn 25235 . . . . . . . . 9 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
22213, 221syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
223222simpld 498 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
224223gt0ne0d 11275 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
225220, 224, 21reexpclzd 13695 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
22612, 225remulcld 10742 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
227 sinltx 15627 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+ → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < ((𝑘 · π) / 𝑁))
22882, 227syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < ((𝑘 · π) / 𝑁))
229220, 75, 228ltled 10859 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁))
230 0re 10714 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
231 ltle 10800 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
232230, 220, 231sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
233223, 232mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
234220, 75, 233, 83le2sqd 13705 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁) ↔ ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2)))
235229, 234mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2))
236235, 73breqtrrd 5055 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)))
237220resqcld 13696 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
238237, 12, 46lemuldiv2d 12557 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘↑-2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ ((π / 𝑁)↑2) ↔ ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2))))
239220, 223elrpd 12504 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
240 rpexpcl 13533 . . . . . . . . 9 (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
241239, 18, 240sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
24228, 12, 241lemuldivd 12556 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘↑-2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ ((π / 𝑁)↑2) ↔ (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
243238, 242bitr3d 284 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) ↔ (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
244236, 243mpbid 235 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
245220recnd 10740 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
246 expneg 13522 . . . . . . . 8 (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
247245, 30, 246sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
248247oveq2d 7180 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
249237recnd 10740 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
250241rpne0d 12512 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
25136, 249, 250divrecd 11490 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
252248, 251eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
253244, 252breqtrrd 5055 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
2541, 28, 226, 253fsumle 15240 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
25595oveq2d 7180 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 + (1 / 𝑁)))
25697, 255oveq12d 7182 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))))
257 basel.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
258 ovexd 7199 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
259103, 116, 117, 119, 121offval2 7438 . . . . . . . 8 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
260103, 104, 258, 124, 259offval2 7438 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
261260mptru 1549 . . . . . 6 (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
262257, 261eqtri 2761 . . . . 5 𝐾 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
263 ovex 7197 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) ∈ V
264256, 262, 263fvmpt 6769 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐾𝑀) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))))
265 peano2cn 10883 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26663, 265syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
267266, 63, 64divcld 11487 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
268138, 140, 267mulassd 10735 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
26963, 146, 63, 64divdird 11525 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
270153oveq1d 7179 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = (1 + (1 / 𝑁)))
271269, 270eqtr2d 2774 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
272156, 271oveq12d 7182 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) = ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
273175oveq2d 7180 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
274139, 266mulcld 10732 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
275 divmuldiv 11411 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ) ∧ (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0) ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))) → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
276178, 274, 181, 183, 275syl22anc 838 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
277 divmuldiv 11411 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ) ∧ ((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))) → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
278178, 274, 183, 181, 277syl22anc 838 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
279273, 276, 2783eqtr4d 2783 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
28075recoscld 15582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
281280recnd 10740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
282281sqcld 13593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
283249, 282, 249, 250divdird 11525 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) + (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
28475recnd 10740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ)
285 sincossq 15614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
287286oveq1d 7179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
288249, 250dividd 11485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
289222simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
290289gt0ne0d 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
291 tanval 15566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) = ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
292284, 290, 291syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) = ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
293292oveq1d 7179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))↑2))
294245, 281, 290sqdivd 13608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
295293, 294eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
296295oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 / (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
297 sqne0 13574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0))
298281, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0))
299290, 298mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
300249, 282, 250, 299recdivd 11504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))) = (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
30132, 296, 3003eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
302288, 301oveq12d 7182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) + (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))) = (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
303283, 287, 3023eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
304 addcom 10897 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ) → (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
305141, 204, 304sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
306247, 303, 3053eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
307306sumeq2dv 15146 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
308 1cnd 10707 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
3091, 204, 308fsumadd 15182 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1))
310 fsumconst 15231 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
3111, 141, 310sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
312 nnnn0 11976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
313 hashfz1 13791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
314312, 313syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
315314oveq1d 7179 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
316 nncn 11717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
317316mulid1d 10729 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
318311, 315, 3173eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
319201, 318oveq12d 7182 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
320307, 309, 3193eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
321 3cn 11790 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
322321a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
323139, 143, 322adddid 10736 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (((2 · 𝑀) − 1) + 3)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + ((2 · 𝑀) · 3)))
324 df-3 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
325324oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 1) = ((2 + 1) − 1)
32647, 141pncan3oi 10973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 + 1) − 1) = 2
327325, 326, 1613eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 1) = (1 + 1)
328327oveq2i 7175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) + (3 − 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
329139, 146, 322subadd23d 11090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = ((2 · 𝑀) + (3 − 1)))
330139, 146, 146addassd 10734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
331328, 329, 3303eqtr4a 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1))
3323oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
333331, 332eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = (𝑁 + 1))
334333oveq2d 7180 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (((2 · 𝑀) − 1) + 3)) = ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)))
335 2cnd 11787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
336335, 316, 322mul32d 10921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · 3) = ((2 · 3) · 𝑀))
337 3t2e6 11875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = 6
338321, 47mulcomi 10720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = (2 · 3)
339337, 338eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (2 · 3)
340339oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . . 13 (6 · 𝑀) = ((2 · 3) · 𝑀)
341336, 340eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · 3) = (6 · 𝑀))
342341oveq2d 7180 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + ((2 · 𝑀) · 3)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)))
343323, 334, 3423eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)))
344343oveq1d 7179 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)) / 6))
345 mulcl 10692 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
346173, 316, 345sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
347173a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 6 ∈ ℂ)
348110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 6 ≠ 0)
349179, 346, 347, 348divdird 11525 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + ((6 · 𝑀) / 6)))
350316, 347, 348divcan3d 11492 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((6 · 𝑀) / 6) = 𝑀)
351350oveq2d 7180 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + ((6 · 𝑀) / 6)) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
352344, 349, 3513eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
353320, 352eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6))
354190, 353oveq12d 7182 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)))
355139, 63, 266, 63, 64, 64divmuldivd 11528 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
356193oveq2d 7180 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
357355, 356eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)))
358357oveq2d 7180 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
359279, 354, 3583eqtr4d 2783 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
360268, 272, 3593eqtr4d 2783 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) = (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
361225recnd 10740 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
3621, 35, 361fsummulc2 15225 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
363264, 360, 3623eqtrd 2777 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐾𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
364254, 218, 3633brtr4d 5059 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀))
365219, 364jca 515 1 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2113  wne 2934  Vcvv 3397  {csn 4513   class class class wbr 5027  cmpt 5107   × cxp 5517  cfv 6333  (class class class)co 7164  f cof 7417  Fincfn 8548  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941  -cneg 10942   / cdiv 11368  cn 11709  2c2 11764  3c3 11765  6c6 11768  0cn0 11969  cz 12055  cuz 12317  +crp 12465  (,)cioo 12814  ...cfz 12974  seqcseq 13453  cexp 13514  Ccbc 13747  chash 13775  Σcsu 15128  sincsin 15502  cosccos 15503  tanctan 15504  πcpi 15505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-tan 15510  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-0p 24415  df-limc 24610  df-dv 24611  df-ply 24929  df-idp 24930  df-coe 24931  df-dgr 24932  df-quot 25031
This theorem is referenced by:  basellem9  25818
  Copyright terms: Public domain W3C validator