MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem8 25105
Description: Lemma for basel 25107. The function 𝐹 of partial sums of the inverse squares is bounded below by 𝐽 and above by 𝐾, obtained by summing the inequality cot↑2𝑥 ≤ 1 / 𝑥↑2 ≤ csc↑2𝑥 = cot↑2𝑥 + 1 over the 𝑀 roots of the polynomial 𝑃, and applying the identity basellem5 25102. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
basellem8.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12980 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 pire 24502 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
3 basellem8.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
4 2nn 11345 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
5 nnmulcl 11299 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
64, 5mpan 681 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
76peano2nnd 11293 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
83, 7syl5eqel 2848 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
9 nndivre 11313 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (π / 𝑁) ∈ ℝ)
102, 8, 9sylancr 581 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (π / 𝑁) ∈ ℝ)
1110resqcld 13242 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
133basellem1 25098 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
14 tanrpcl 24548 . . . . . . . 8 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1615rpred 12070 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1715rpne0d 12075 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
18 2z 11656 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
19 znegcl 11659 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → -2 ∈ ℤ)
2216, 17, 21reexpclzd 13241 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
2312, 22remulcld 10324 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
24 elfznn 12577 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524adantl 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnred 11291 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2725nnne0d 11322 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ≠ 0)
2826, 27, 21reexpclzd 13241 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
2916recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
30 2nn0 11557 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
31 expneg 13075 . . . . . . . 8 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
3229, 30, 31sylancl 580 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
3332oveq2d 6858 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
3410recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (π / 𝑁) ∈ ℂ)
3534sqcld 13213 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
3635adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
37 rpexpcl 13086 . . . . . . . . . 10 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3815, 18, 37sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3938rpred 12070 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
4039recnd 10322 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
4138rpne0d 12075 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
4236, 40, 41divrecd 11058 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
4333, 42eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
4425nnrpd 12068 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
45 rpexpcl 13086 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ+)
4644, 20, 45sylancl 580 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ+)
47 2cn 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
4847negnegi 10605 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
4948oveq2i 6853 . . . . . . . . . 10 (𝑘↑--2) = (𝑘↑2)
5025nncnd 11292 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5150, 27, 21expnegd 13222 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑--2) = (1 / (𝑘↑-2)))
5249, 51syl5reqr 2814 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / (𝑘↑-2)) = (𝑘↑2))
5352oveq1d 6857 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((1 / (𝑘↑-2)) · ((π / 𝑁)↑2)) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
54 nncn 11283 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
55 nnne0 11310 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
5754, 55, 56expclzd 13220 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
5950, 27, 21expne0d 13221 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≠ 0)
6036, 58, 59divrec2d 11059 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) = ((1 / (𝑘↑-2)) · ((π / 𝑁)↑2)))
612recni 10308 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
638nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
648nnne0d 11322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
6563, 64jca 507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
6665adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
67 divass 10957 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) = (𝑘 · (π / 𝑁)))
6850, 62, 66, 67syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) = (𝑘 · (π / 𝑁)))
6968oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) = ((𝑘 · (π / 𝑁))↑2))
7034adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (π / 𝑁) ∈ ℂ)
7150, 70sqmuld 13227 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · (π / 𝑁))↑2) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
7269, 71eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
7353, 60, 723eqtr4d 2809 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) = (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2))
74 elioore 12407 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
7675resqcld 13242 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
77 tangtx 24549 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
7813, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
79 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < ((𝑘 · π) / 𝑁) ∧ ((𝑘 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
8013, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < ((𝑘 · π) / 𝑁) ∧ ((𝑘 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
8180simpld 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝑘 · π) / 𝑁))
8275, 81elrpd 12067 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
8382rpge0d 12074 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁))
8415rpge0d 12074 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
8575, 16, 83, 84lt2sqd 13250 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ↔ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) < ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
8678, 85mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) < ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8776, 39, 86ltled 10439 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) ≤ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8873, 87eqbrtrd 4831 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) ≤ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8912, 46, 38, 88lediv23d 12138 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ (𝑘↑-2))
9043, 89eqbrtrd 4831 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ≤ (𝑘↑-2))
911, 23, 28, 90fsumle 14815 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2))
92 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
9392oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑀) + 1))
9493, 3syl6eqr 2817 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
9594oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / 𝑁))
9695oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 − (1 / 𝑁)))
9796oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))))
9895oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (-2 · (1 / 𝑁)))
9998oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (1 + (-2 · (1 / 𝑁))))
10097, 99oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))))
101 basel.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
102 nnex 11281 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → ℕ ∈ V)
104 ovexd 6876 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V)
105 ovexd 6876 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V)
106 basel.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
1072resqcli 13156 . . . . . . . . . . . 12 (π↑2) ∈ ℝ
108 6re 11365 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
109 6nn 11364 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
110109nnne0i 11312 . . . . . . . . . . . 12 6 ≠ 0
111107, 108, 110redivcli 11046 . . . . . . . . . . 11 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
113 ovexd 6876 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
114 fconstmpt 5333 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π↑2) / 6))
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π↑2) / 6)))
116 1zzd 11655 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
117 ovexd 6876 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ V)
118 fconstmpt 5333 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
120 basel.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
122103, 116, 117, 119, 121offval2 7112 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
123103, 112, 113, 115, 122offval2 7112 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
124106, 123syl5eq 2811 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
125 ovexd 6876 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
12647negcli 10603 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
128 fconstmpt 5333 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {-2}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ -2)
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℕ × {-2}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ -2))
130103, 127, 117, 129, 121offval2 7112 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
131103, 116, 125, 119, 130offval2 7112 . . . . . . . 8 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
132103, 104, 105, 124, 131offval2 7112 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))))
133132mptru 1660 . . . . . 6 (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
134101, 133eqtri 2787 . . . . 5 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
135 ovex 6874 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) ∈ V
136100, 134, 135fvmpt 6471 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))))
137111recni 10308 . . . . . . . 8 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((π↑2) / 6) ∈ ℂ)
1396nncnd 11292 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
140139, 63, 64divcld 11055 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) / 𝑁) ∈ ℂ)
141 ax-1cn 10247 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
142 subcl 10534 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
143139, 141, 142sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
144143, 63, 64divcld 11055 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
145138, 140, 144mulassd 10317 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))))
146 1cnd 10288 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14763, 146, 63, 64divsubdird 11094 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) − (1 / 𝑁)))
1483oveq1i 6852 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 1) = (((2 · 𝑀) + 1) − 1)
149 pncan 10541 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑀) + 1) − 1) = (2 · 𝑀))
150139, 141, 149sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − 1) = (2 · 𝑀))
151148, 150syl5eq 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑀))
152151oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) = ((2 · 𝑀) / 𝑁))
15363, 64dividd 11053 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
154153oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) − (1 / 𝑁)) = (1 − (1 / 𝑁)))
155147, 152, 1543eqtr3rd 2808 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) = ((2 · 𝑀) / 𝑁))
156155oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)))
157126a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → -2 ∈ ℂ)
15863, 157, 63, 64divdird 11093 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + -2) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)))
159 negsub 10583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + -2) = (𝑁 − 2))
16063, 47, 159sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + -2) = (𝑁 − 2))
161 df-2 11335 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
1623, 161oveq12i 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 2) = (((2 · 𝑀) + 1) − (1 + 1))
163139, 146, 146pnpcan2d 10684 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − 1))
164162, 163syl5eq 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − 2) = ((2 · 𝑀) − 1))
165160, 164eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + -2) = ((2 · 𝑀) − 1))
166165oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + -2) / 𝑁) = (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))
167157, 63, 64divrecd 11058 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-2 / 𝑁) = (-2 · (1 / 𝑁)))
168153, 167oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)) = (1 + (-2 · (1 / 𝑁))))
169158, 166, 1683eqtr3rd 2808 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (1 + (-2 · (1 / 𝑁))) = (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))
170156, 169oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)))
1718nnsqcld 13236 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
172171nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
173 6cn 11366 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
174 mulcom 10275 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → ((𝑁↑2) · 6) = (6 · (𝑁↑2)))
175172, 173, 174sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) · 6) = (6 · (𝑁↑2)))
176175oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
177107recni 10308 . . . . . . . . . 10 (π↑2) ∈ ℂ
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (π↑2) ∈ ℂ)
179139, 143mulcld 10314 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
180171nnne0d 11322 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ≠ 0)
181172, 180jca 507 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))
182173, 110pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
183182a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))
184 divmuldiv 10979 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ) ∧ (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0) ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))) → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
185178, 179, 181, 183, 184syl22anc 867 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
186 divmuldiv 10979 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ) ∧ ((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))) → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
187178, 179, 183, 181, 186syl22anc 867 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
188176, 185, 1873eqtr4d 2809 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))))
18961a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
190189, 63, 64sqdivd 13228 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) = ((π↑2) / (𝑁↑2)))
191190oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
192139, 63, 143, 63, 64, 64divmuldivd 11096 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
19363sqvald 13212 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
194193oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
195192, 194eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2)))
196195oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))))
197188, 191, 1963eqtr4d 2809 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))))
198145, 170, 1973eqtr4d 2809 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
199 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑥𝑗))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑥𝑗)))
200 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
2013, 199, 200basellem5 25102 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
202201oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
203198, 202eqtr4d 2802 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
20422recnd 10322 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
2051, 35, 204fsummulc2 14800 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
206136, 203, 2053eqtrd 2803 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
207 oveq1 6849 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
208 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
209 ovex 6874 . . . . . . 7 (𝑘↑-2) ∈ V
210207, 208, 209fvmpt 6471 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
21125, 210syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
212 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
213 nnuz 11923 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
214212, 213syl6eleq 2854 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
215211, 214, 58fsumser 14746 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))‘𝑀))
216 basel.f . . . . 5 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
217216fveq1i 6376 . . . 4 (𝐹𝑀) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))‘𝑀)
218215, 217syl6reqr 2818 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2))
21991, 206, 2183brtr4d 4841 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀))
22075resincld 15155 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
221 sincosq1sgn 24542 . . . . . . . . 9 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
22213, 221syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
223222simpld 488 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
224223gt0ne0d 10846 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
225220, 224, 21reexpclzd 13241 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
22612, 225remulcld 10324 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
227 sinltx 15201 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+ → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < ((𝑘 · π) / 𝑁))
22882, 227syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < ((𝑘 · π) / 𝑁))
229220, 75, 228ltled 10439 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁))
230 0re 10295 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
231 ltle 10380 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
232230, 220, 231sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
233223, 232mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
234220, 75, 233, 83le2sqd 13251 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁) ↔ ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2)))
235229, 234mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2))
236235, 73breqtrrd 4837 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)))
237220resqcld 13242 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
238237, 12, 46lemuldiv2d 12120 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘↑-2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ ((π / 𝑁)↑2) ↔ ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2))))
239220, 223elrpd 12067 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
240 rpexpcl 13086 . . . . . . . . 9 (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
241239, 18, 240sylancl 580 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
24228, 12, 241lemuldivd 12119 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘↑-2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ ((π / 𝑁)↑2) ↔ (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
243238, 242bitr3d 272 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) ↔ (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
244236, 243mpbid 223 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
245220recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
246 expneg 13075 . . . . . . . 8 (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
247245, 30, 246sylancl 580 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
248247oveq2d 6858 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
249237recnd 10322 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
250241rpne0d 12075 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
25136, 249, 250divrecd 11058 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
252248, 251eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
253244, 252breqtrrd 4837 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
2541, 28, 226, 253fsumle 14815 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
25595oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 + (1 / 𝑁)))
25697, 255oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))))
257 basel.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
258 ovexd 6876 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
259103, 116, 117, 119, 121offval2 7112 . . . . . . . 8 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
260103, 104, 258, 124, 259offval2 7112 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
261260mptru 1660 . . . . . 6 (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
262257, 261eqtri 2787 . . . . 5 𝐾 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
263 ovex 6874 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) ∈ V
264256, 262, 263fvmpt 6471 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐾𝑀) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))))
265 peano2cn 10462 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26663, 265syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
267266, 63, 64divcld 11055 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
268138, 140, 267mulassd 10317 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
26963, 146, 63, 64divdird 11093 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
270153oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = (1 + (1 / 𝑁)))
271269, 270eqtr2d 2800 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
272156, 271oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) = ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
273175oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
274139, 266mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
275 divmuldiv 10979 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ) ∧ (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0) ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))) → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
276178, 274, 181, 183, 275syl22anc 867 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
277 divmuldiv 10979 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ) ∧ ((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))) → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
278178, 274, 183, 181, 277syl22anc 867 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
279273, 276, 2783eqtr4d 2809 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
28075recoscld 15156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
281280recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
282281sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
283249, 282, 249, 250divdird 11093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) + (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
28475recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ)
285 sincossq 15188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
287286oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
288249, 250dividd 11053 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
289222simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
290289gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
291 tanval 15140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) = ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
292284, 290, 291syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) = ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
293292oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))↑2))
294245, 281, 290sqdivd 13228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
295293, 294eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
296295oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 / (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
297 sqne0 13137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0))
298281, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0))
299290, 298mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
300249, 282, 250, 299recdivd 11072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))) = (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
30132, 296, 3003eqtrrd 2804 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
302288, 301oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) + (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))) = (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
303283, 287, 3023eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
304 addcom 10476 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ) → (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
305141, 204, 304sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
306247, 303, 3053eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
307306sumeq2dv 14718 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
308 1cnd 10288 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
3091, 204, 308fsumadd 14755 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1))
310 fsumconst 14806 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
3111, 141, 310sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
312 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
313 hashfz1 13338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
314312, 313syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
315314oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
316 nncn 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
317316mulid1d 10311 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
318311, 315, 3173eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
319201, 318oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
320307, 309, 3193eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
321 3cn 11353 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
322321a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
323139, 143, 322adddid 10318 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (((2 · 𝑀) − 1) + 3)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + ((2 · 𝑀) · 3)))
324 df-3 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
325324oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 1) = ((2 + 1) − 1)
32647, 141pncan3oi 10551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 + 1) − 1) = 2
327325, 326, 1613eqtri 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 1) = (1 + 1)
328327oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) + (3 − 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
329139, 146, 322subadd23d 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = ((2 · 𝑀) + (3 − 1)))
330139, 146, 146addassd 10316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
331328, 329, 3303eqtr4a 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1))
3323oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
333331, 332syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = (𝑁 + 1))
334333oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (((2 · 𝑀) − 1) + 3)) = ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)))
335 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
336335, 316, 322mul32d 10500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · 3) = ((2 · 3) · 𝑀))
337 3t2e6 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = 6
338321, 47mulcomi 10302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = (2 · 3)
339337, 338eqtr3i 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (2 · 3)
340339oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (6 · 𝑀) = ((2 · 3) · 𝑀)
341336, 340syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · 3) = (6 · 𝑀))
342341oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + ((2 · 𝑀) · 3)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)))
343323, 334, 3423eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)))
344343oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)) / 6))
345 mulcl 10273 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
346173, 316, 345sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
347173a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 6 ∈ ℂ)
348110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 6 ≠ 0)
349179, 346, 347, 348divdird 11093 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + ((6 · 𝑀) / 6)))
350316, 347, 348divcan3d 11060 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((6 · 𝑀) / 6) = 𝑀)
351350oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + ((6 · 𝑀) / 6)) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
352344, 349, 3513eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
353320, 352eqtr4d 2802 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6))
354190, 353oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)))
355139, 63, 266, 63, 64, 64divmuldivd 11096 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
356193oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
357355, 356eqtr4d 2802 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)))
358357oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
359279, 354, 3583eqtr4d 2809 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
360268, 272, 3593eqtr4d 2809 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) = (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
361225recnd 10322 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
3621, 35, 361fsummulc2 14800 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
363264, 360, 3623eqtrd 2803 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐾𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
364254, 218, 3633brtr4d 4841 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀))
365219, 364jca 507 1 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  6c6 11331  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  (,)cioo 12377  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cexp 13067  Ccbc 13293  chash 13321  Σcsu 14701  sincsin 15076  cosccos 15077  tanctan 15078  πcpi 15079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-tan 15084  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-0p 23728  df-limc 23921  df-dv 23922  df-ply 24235  df-idp 24236  df-coe 24237  df-dgr 24238  df-quot 24337
This theorem is referenced by:  basellem9  25106
  Copyright terms: Public domain W3C validator