MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem8 26437
Description: Lemma for basel 26439. The function 𝐹 of partial sums of the inverse squares is bounded below by 𝐽 and above by 𝐾, obtained by summing the inequality cot↑2𝑥 ≤ 1 / 𝑥↑2 ≤ csc↑2𝑥 = cot↑2𝑥 + 1 over the 𝑀 roots of the polynomial 𝑃, and applying the identity basellem5 26434. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
basellem8.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13878 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 pire 25815 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
3 basellem8.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
4 2nn 12226 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
5 nnmulcl 12177 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
64, 5mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
76peano2nnd 12170 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
83, 7eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
9 nndivre 12194 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (π / 𝑁) ∈ ℝ)
102, 8, 9sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (π / 𝑁) ∈ ℝ)
1110resqcld 14030 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
133basellem1 26430 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
14 tanrpcl 25861 . . . . . . . 8 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1615rpred 12957 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1715rpne0d 12962 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
18 2z 12535 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
19 znegcl 12538 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → -2 ∈ ℤ)
2216, 17, 21reexpclzd 14152 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
2312, 22remulcld 11185 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
24 elfznn 13470 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnred 12168 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2725nnne0d 12203 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ≠ 0)
2826, 27, 21reexpclzd 14152 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
2916recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
30 2nn0 12430 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
31 expneg 13975 . . . . . . . 8 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
3229, 30, 31sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
3332oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
3410recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (π / 𝑁) ∈ ℂ)
3534sqcld 14049 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
37 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . 10 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3815, 18, 37sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3938rpred 12957 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
4039recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
4138rpne0d 12962 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
4236, 40, 41divrecd 11934 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
4333, 42eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
4425nnrpd 12955 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
45 rpexpcl 13986 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ+)
4644, 20, 45sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ+)
4725nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4847, 27, 21expnegd 14058 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑--2) = (1 / (𝑘↑-2)))
49 2cn 12228 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
5049negnegi 11471 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
5150oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 (𝑘↑--2) = (𝑘↑2)
5248, 51eqtr3di 2791 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / (𝑘↑-2)) = (𝑘↑2))
5352oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((1 / (𝑘↑-2)) · ((π / 𝑁)↑2)) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
54 nncn 12161 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
55 nnne0 12187 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
5754, 55, 56expclzd 14056 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
5947, 27, 21expne0d 14057 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≠ 0)
6036, 58, 59divrec2d 11935 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) = ((1 / (𝑘↑-2)) · ((π / 𝑁)↑2)))
612recni 11169 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
638nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
648nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
6563, 64jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
67 divass 11831 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) = (𝑘 · (π / 𝑁)))
6847, 62, 66, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) = (𝑘 · (π / 𝑁)))
6968oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) = ((𝑘 · (π / 𝑁))↑2))
7034adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (π / 𝑁) ∈ ℂ)
7147, 70sqmuld 14063 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · (π / 𝑁))↑2) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
7269, 71eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
7353, 60, 723eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) = (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2))
74 elioore 13294 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
7675resqcld 14030 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
77 tangtx 25862 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
7813, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
79 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < ((𝑘 · π) / 𝑁) ∧ ((𝑘 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
8013, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < ((𝑘 · π) / 𝑁) ∧ ((𝑘 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
8180simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝑘 · π) / 𝑁))
8275, 81elrpd 12954 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
8382rpge0d 12961 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁))
8415rpge0d 12961 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
8575, 16, 83, 84lt2sqd 14159 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ↔ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) < ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
8678, 85mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) < ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8776, 39, 86ltled 11303 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) ≤ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8873, 87eqbrtrd 5127 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) ≤ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8912, 46, 38, 88lediv23d 13025 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ (𝑘↑-2))
9043, 89eqbrtrd 5127 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ≤ (𝑘↑-2))
911, 23, 28, 90fsumle 15684 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2))
92 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
9392oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑀) + 1))
9493, 3eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
9594oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / 𝑁))
9695oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 − (1 / 𝑁)))
9796oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))))
9895oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (-2 · (1 / 𝑁)))
9998oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (1 + (-2 · (1 / 𝑁))))
10097, 99oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))))
101 basel.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
102 nnex 12159 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → ℕ ∈ V)
104 ovexd 7392 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V)
105 ovexd 7392 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V)
106 basel.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
1072resqcli 14090 . . . . . . . . . . . 12 (π↑2) ∈ ℝ
108 6re 12243 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
109 6nn 12242 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
110109nnne0i 12193 . . . . . . . . . . . 12 6 ≠ 0
111107, 108, 110redivcli 11922 . . . . . . . . . . 11 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
113 ovexd 7392 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
114 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π↑2) / 6))
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π↑2) / 6)))
116 1zzd 12534 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
117 ovexd 7392 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ V)
118 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
120 basel.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
122103, 116, 117, 119, 121offval2 7637 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
123103, 112, 113, 115, 122offval2 7637 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
124106, 123eqtrid 2788 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
125 ovexd 7392 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
12649negcli 11469 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
128 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {-2}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ -2)
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℕ × {-2}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ -2))
130103, 127, 117, 129, 121offval2 7637 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
131103, 116, 125, 119, 130offval2 7637 . . . . . . . 8 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
132103, 104, 105, 124, 131offval2 7637 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))))
133132mptru 1548 . . . . . 6 (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
134101, 133eqtri 2764 . . . . 5 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
135 ovex 7390 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) ∈ V
136100, 134, 135fvmpt 6948 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))))
137111recni 11169 . . . . . . . 8 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((π↑2) / 6) ∈ ℂ)
1396nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
140139, 63, 64divcld 11931 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) / 𝑁) ∈ ℂ)
141 ax-1cn 11109 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
142 subcl 11400 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
143139, 141, 142sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
144143, 63, 64divcld 11931 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
145138, 140, 144mulassd 11178 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))))
146 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14763, 146, 63, 64divsubdird 11970 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) − (1 / 𝑁)))
1483oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 1) = (((2 · 𝑀) + 1) − 1)
149 pncan 11407 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑀) + 1) − 1) = (2 · 𝑀))
150139, 141, 149sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − 1) = (2 · 𝑀))
151148, 150eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑀))
152151oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) = ((2 · 𝑀) / 𝑁))
15363, 64dividd 11929 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
154153oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) − (1 / 𝑁)) = (1 − (1 / 𝑁)))
155147, 152, 1543eqtr3rd 2785 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) = ((2 · 𝑀) / 𝑁))
156155oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)))
157126a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → -2 ∈ ℂ)
15863, 157, 63, 64divdird 11969 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + -2) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)))
159 negsub 11449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + -2) = (𝑁 − 2))
16063, 49, 159sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + -2) = (𝑁 − 2))
161 df-2 12216 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
1623, 161oveq12i 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 2) = (((2 · 𝑀) + 1) − (1 + 1))
163139, 146, 146pnpcan2d 11550 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − 1))
164162, 163eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − 2) = ((2 · 𝑀) − 1))
165160, 164eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + -2) = ((2 · 𝑀) − 1))
166165oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + -2) / 𝑁) = (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))
167157, 63, 64divrecd 11934 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-2 / 𝑁) = (-2 · (1 / 𝑁)))
168153, 167oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)) = (1 + (-2 · (1 / 𝑁))))
169158, 166, 1683eqtr3rd 2785 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (1 + (-2 · (1 / 𝑁))) = (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))
170156, 169oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)))
1718nnsqcld 14147 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
172171nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
173 6cn 12244 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
174 mulcom 11137 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → ((𝑁↑2) · 6) = (6 · (𝑁↑2)))
175172, 173, 174sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) · 6) = (6 · (𝑁↑2)))
176175oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
177107recni 11169 . . . . . . . . . 10 (π↑2) ∈ ℂ
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (π↑2) ∈ ℂ)
179139, 143mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
180171nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ≠ 0)
181172, 180jca 512 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))
182173, 110pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
183182a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))
184 divmuldiv 11855 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ) ∧ (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0) ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))) → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
185178, 179, 181, 183, 184syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
186 divmuldiv 11855 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ) ∧ ((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))) → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
187178, 179, 183, 181, 186syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
188176, 185, 1873eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))))
18961a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
190189, 63, 64sqdivd 14064 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) = ((π↑2) / (𝑁↑2)))
191190oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
192139, 63, 143, 63, 64, 64divmuldivd 11972 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
19363sqvald 14048 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
194193oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
195192, 194eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2)))
196195oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))))
197188, 191, 1963eqtr4d 2786 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))))
198145, 170, 1973eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
199 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑥𝑗))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑥𝑗)))
200 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
2013, 199, 200basellem5 26434 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
202201oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
203198, 202eqtr4d 2779 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
20422recnd 11183 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
2051, 35, 204fsummulc2 15669 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
206136, 203, 2053eqtrd 2780 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
207 basel.f . . . . 5 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
208207fveq1i 6843 . . . 4 (𝐹𝑀) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))‘𝑀)
209 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
210 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
211 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑘↑-2) ∈ V
212209, 210, 211fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
21325, 212syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
214 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
215 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
216214, 215eleqtrdi 2848 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
217213, 216, 58fsumser 15615 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))‘𝑀))
218208, 217eqtr4id 2795 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2))
21991, 206, 2183brtr4d 5137 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀))
22075resincld 16025 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
221 sincosq1sgn 25855 . . . . . . . . 9 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
22213, 221syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
223222simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
224223gt0ne0d 11719 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
225220, 224, 21reexpclzd 14152 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
22612, 225remulcld 11185 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
227 sinltx 16071 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+ → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < ((𝑘 · π) / 𝑁))
22882, 227syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < ((𝑘 · π) / 𝑁))
229220, 75, 228ltled 11303 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁))
230 0re 11157 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
231 ltle 11243 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
232230, 220, 231sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
233223, 232mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
234220, 75, 233, 83le2sqd 14160 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁) ↔ ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2)))
235229, 234mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2))
236235, 73breqtrrd 5133 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)))
237220resqcld 14030 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
238237, 12, 46lemuldiv2d 13007 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘↑-2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ ((π / 𝑁)↑2) ↔ ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2))))
239220, 223elrpd 12954 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
240 rpexpcl 13986 . . . . . . . . 9 (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
241239, 18, 240sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
24228, 12, 241lemuldivd 13006 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘↑-2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ ((π / 𝑁)↑2) ↔ (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
243238, 242bitr3d 280 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) ↔ (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
244236, 243mpbid 231 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
245220recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
246 expneg 13975 . . . . . . . 8 (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
247245, 30, 246sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
248247oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
249237recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
250241rpne0d 12962 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
25136, 249, 250divrecd 11934 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
252248, 251eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
253244, 252breqtrrd 5133 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
2541, 28, 226, 253fsumle 15684 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
25595oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 + (1 / 𝑁)))
25697, 255oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))))
257 basel.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
258 ovexd 7392 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
259103, 116, 117, 119, 121offval2 7637 . . . . . . . 8 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
260103, 104, 258, 124, 259offval2 7637 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
261260mptru 1548 . . . . . 6 (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
262257, 261eqtri 2764 . . . . 5 𝐾 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
263 ovex 7390 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) ∈ V
264256, 262, 263fvmpt 6948 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐾𝑀) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))))
265 peano2cn 11327 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26663, 265syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
267266, 63, 64divcld 11931 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
268138, 140, 267mulassd 11178 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
26963, 146, 63, 64divdird 11969 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
270153oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = (1 + (1 / 𝑁)))
271269, 270eqtr2d 2777 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
272156, 271oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) = ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
273175oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
274139, 266mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
275 divmuldiv 11855 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ) ∧ (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0) ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))) → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
276178, 274, 181, 183, 275syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
277 divmuldiv 11855 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ) ∧ ((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))) → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
278178, 274, 183, 181, 277syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
279273, 276, 2783eqtr4d 2786 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
28075recoscld 16026 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
281280recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
282281sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
283249, 282, 249, 250divdird 11969 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) + (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
28475recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ)
285 sincossq 16058 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
287286oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
288249, 250dividd 11929 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
289222simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
290289gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
291 tanval 16010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) = ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
292284, 290, 291syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) = ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
293292oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))↑2))
294245, 281, 290sqdivd 14064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
295293, 294eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
296295oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 / (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
297 sqne0 14028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0))
298281, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0))
299290, 298mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
300249, 282, 250, 299recdivd 11948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))) = (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
30132, 296, 3003eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
302288, 301oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) + (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))) = (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
303283, 287, 3023eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
304 addcom 11341 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ) → (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
305141, 204, 304sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
306247, 303, 3053eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
307306sumeq2dv 15588 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
308 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
3091, 204, 308fsumadd 15625 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1))
310 fsumconst 15675 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
3111, 141, 310sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
312 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
313 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
314312, 313syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
315314oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
316 nncn 12161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
317316mulid1d 11172 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
318311, 315, 3173eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
319201, 318oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
320307, 309, 3193eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
321 3cn 12234 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
322321a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
323139, 143, 322adddid 11179 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (((2 · 𝑀) − 1) + 3)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + ((2 · 𝑀) · 3)))
324 df-3 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
325324oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 1) = ((2 + 1) − 1)
32649, 141pncan3oi 11417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 + 1) − 1) = 2
327325, 326, 1613eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 1) = (1 + 1)
328327oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) + (3 − 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
329139, 146, 322subadd23d 11534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = ((2 · 𝑀) + (3 − 1)))
330139, 146, 146addassd 11177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
331328, 329, 3303eqtr4a 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1))
3323oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
333331, 332eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = (𝑁 + 1))
334333oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (((2 · 𝑀) − 1) + 3)) = ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)))
335 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
336335, 316, 322mul32d 11365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · 3) = ((2 · 3) · 𝑀))
337 3t2e6 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = 6
338321, 49mulcomi 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = (2 · 3)
339337, 338eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (2 · 3)
340339oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 (6 · 𝑀) = ((2 · 3) · 𝑀)
341336, 340eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · 3) = (6 · 𝑀))
342341oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + ((2 · 𝑀) · 3)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)))
343323, 334, 3423eqtr3d 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)))
344343oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)) / 6))
345 mulcl 11135 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
346173, 316, 345sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
347173a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 6 ∈ ℂ)
348110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 6 ≠ 0)
349179, 346, 347, 348divdird 11969 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + ((6 · 𝑀) / 6)))
350316, 347, 348divcan3d 11936 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((6 · 𝑀) / 6) = 𝑀)
351350oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + ((6 · 𝑀) / 6)) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
352344, 349, 3513eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
353320, 352eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6))
354190, 353oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)))
355139, 63, 266, 63, 64, 64divmuldivd 11972 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
356193oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
357355, 356eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)))
358357oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
359279, 354, 3583eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
360268, 272, 3593eqtr4d 2786 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) = (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
361225recnd 11183 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
3621, 35, 361fsummulc2 15669 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
363264, 360, 3623eqtrd 2780 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐾𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
364254, 218, 3633brtr4d 5137 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀))
365219, 364jca 512 1 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  6c6 12212  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  Ccbc 14202  chash 14230  Σcsu 15570  sincsin 15946  cosccos 15947  tanctan 15948  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ply 25549  df-idp 25550  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651
This theorem is referenced by:  basellem9  26438
  Copyright terms: Public domain W3C validator