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Theorem basellem8 26935
Description: Lemma for basel 26937. The function 𝐹 of partial sums of the inverse squares is bounded below by 𝐽 and above by 𝐾, obtained by summing the inequality cot↑2π‘₯ ≀ 1 / π‘₯↑2 ≀ csc↑2π‘₯ = cot↑2π‘₯ + 1 over the 𝑀 roots of the polynomial 𝑃, and applying the identity basellem5 26932. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((β„• Γ— {((π↑2) / 6)}) ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f βˆ’ 𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻 ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {-2}) ∘f Β· 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻 ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f + 𝐺))
basellem8.n 𝑁 = ((2 Β· 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((π½β€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΎβ€˜π‘€)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13934 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
2 pire 26309 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
3 basellem8.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 Β· 𝑀) + 1)
4 2nn 12281 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
5 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
64, 5mpan 687 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„•)
76peano2nnd 12225 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) + 1) ∈ β„•)
83, 7eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 nndivre 12249 . . . . . . . 8 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (Ο€ / 𝑁) ∈ ℝ)
102, 8, 9sylancr 586 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 𝑁) ∈ ℝ)
1110resqcld 14086 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((Ο€ / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
133basellem1 26928 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ (0(,)(Ο€ / 2)))
14 tanrpcl 26355 . . . . . . . 8 (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1615rpred 13012 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1715rpne0d 13017 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) β‰  0)
18 2z 12590 . . . . . . . 8 2 ∈ β„€
19 znegcl 12593 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„€ β†’ -2 ∈ β„€)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ β„€
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ -2 ∈ β„€)
2216, 17, 21reexpclzd 14208 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
2312, 22remulcld 11240 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
24 elfznn 13526 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2524adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2625nnred 12223 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
2725nnne0d 12258 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘˜ β‰  0)
2826, 27, 21reexpclzd 14208 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘˜β†‘-2) ∈ ℝ)
2916recnd 11238 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ β„‚)
30 2nn0 12485 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•0
31 expneg 14031 . . . . . . . 8 (((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
3229, 30, 31sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
3332oveq2d 7417 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· (1 / ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))))
3410recnd 11238 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (Ο€ / 𝑁) ∈ β„‚)
3534sqcld 14105 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 𝑁)↑2) ∈ β„‚)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((Ο€ / 𝑁)↑2) ∈ β„‚)
37 rpexpcl 14042 . . . . . . . . . 10 (((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3815, 18, 37sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3938rpred 13012 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
4039recnd 11238 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ β„‚)
4138rpne0d 13017 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) β‰  0)
4236, 40, 41divrecd 11989 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· (1 / ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))))
4333, 42eqtr4d 2767 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) / ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
4425nnrpd 13010 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
45 rpexpcl 14042 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ β„€) β†’ (π‘˜β†‘-2) ∈ ℝ+)
4644, 20, 45sylancl 585 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘˜β†‘-2) ∈ ℝ+)
4725nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
4847, 27, 21expnegd 14114 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘˜β†‘--2) = (1 / (π‘˜β†‘-2)))
49 2cn 12283 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
5049negnegi 11526 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
5150oveq2i 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘˜β†‘--2) = (π‘˜β†‘2)
5248, 51eqtr3di 2779 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 / (π‘˜β†‘-2)) = (π‘˜β†‘2))
5352oveq1d 7416 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((1 / (π‘˜β†‘-2)) Β· ((Ο€ / 𝑁)↑2)) = ((π‘˜β†‘2) Β· ((Ο€ / 𝑁)↑2)))
54 nncn 12216 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
55 nnne0 12242 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ -2 ∈ β„€)
5754, 55, 56expclzd 14112 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜β†‘-2) ∈ β„‚)
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘˜β†‘-2) ∈ β„‚)
5947, 27, 21expne0d 14113 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘˜β†‘-2) β‰  0)
6036, 58, 59divrec2d 11990 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / (π‘˜β†‘-2)) = ((1 / (π‘˜β†‘-2)) Β· ((Ο€ / 𝑁)↑2)))
612recni 11224 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ β„‚
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
638nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
648nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
6563, 64jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 β‰  0))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 β‰  0))
67 divass 11886 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ (𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) = (π‘˜ Β· (Ο€ / 𝑁)))
6847, 62, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) = (π‘˜ Β· (Ο€ / 𝑁)))
6968oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2) = ((π‘˜ Β· (Ο€ / 𝑁))↑2))
7034adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (Ο€ / 𝑁) ∈ β„‚)
7147, 70sqmuld 14119 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘˜ Β· (Ο€ / 𝑁))↑2) = ((π‘˜β†‘2) Β· ((Ο€ / 𝑁)↑2)))
7269, 71eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2) = ((π‘˜β†‘2) Β· ((Ο€ / 𝑁)↑2)))
7353, 60, 723eqtr4d 2774 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / (π‘˜β†‘-2)) = (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2))
74 elioore 13350 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ ℝ)
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ ℝ)
7675resqcld 14086 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
77 tangtx 26356 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) < (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))
7813, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) < (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))
79 eliooord 13379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∧ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) < (Ο€ / 2)))
8013, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (0 < ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∧ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) < (Ο€ / 2)))
8180simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 < ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))
8275, 81elrpd 13009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ ℝ+)
8382rpge0d 13016 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))
8415rpge0d 13016 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))
8575, 16, 83, 84lt2sqd 14215 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) < (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ↔ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2) < ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
8678, 85mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2) < ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))
8776, 39, 86ltled 11358 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2) ≀ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))
8873, 87eqbrtrd 5160 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / (π‘˜β†‘-2)) ≀ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))
8912, 46, 38, 88lediv23d 13080 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) ≀ (π‘˜β†‘-2))
9043, 89eqbrtrd 5160 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) ≀ (π‘˜β†‘-2))
911, 23, 28, 90fsumle 15741 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘˜β†‘-2))
92 oveq2 7409 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· 𝑀))
9392oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· 𝑀) + 1))
9493, 3eqtr4di 2782 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = 𝑁)
9594oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = (1 / 𝑁))
9695oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 β†’ (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (1 βˆ’ (1 / 𝑁)))
9796oveq2d 7417 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 β†’ (((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) = (((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))))
9895oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 β†’ (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (-2 Β· (1 / 𝑁)))
9998oveq2d 7417 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 β†’ (1 + (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) = (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁))))
10097, 99oveq12d 7419 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) = ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁)))))
101 basel.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐻 ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {-2}) ∘f Β· 𝐺)))
102 nnex 12214 . . . . . . . . 9 β„• ∈ V
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ β„• ∈ V)
104 ovexd 7436 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ V)
105 ovexd 7436 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 + (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ V)
106 basel.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ((β„• Γ— {((π↑2) / 6)}) ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f βˆ’ 𝐺))
1072resqcli 14146 . . . . . . . . . . . 12 (π↑2) ∈ ℝ
108 6re 12298 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
109 6nn 12297 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ β„•
110109nnne0i 12248 . . . . . . . . . . . 12 6 β‰  0
111107, 108, 110redivcli 11977 . . . . . . . . . . 11 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
113 ovexd 7436 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ V)
114 fconstmpt 5728 . . . . . . . . . . 11 (β„• Γ— {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π↑2) / 6))
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„• Γ— {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π↑2) / 6)))
116 1zzd 12589 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
117 ovexd 7436 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ V)
118 fconstmpt 5728 . . . . . . . . . . . 12 (β„• Γ— {1}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ 1)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„• Γ— {1}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ 1))
120 basel.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))))
122103, 116, 117, 119, 121offval2 7683 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {1}) ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
123103, 112, 113, 115, 122offval2 7683 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {((π↑2) / 6)}) ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f βˆ’ 𝐺)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
124106, 123eqtrid 2776 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
125 ovexd 7436 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ V)
12649negcli 11524 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ β„‚
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -2 ∈ β„‚)
128 fconstmpt 5728 . . . . . . . . . . 11 (β„• Γ— {-2}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ -2)
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„• Γ— {-2}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ -2))
130103, 127, 117, 129, 121offval2 7683 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {-2}) ∘f Β· 𝐺) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
131103, 116, 125, 119, 130offval2 7683 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {-2}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 + (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
132103, 104, 105, 124, 131offval2 7683 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝐻 ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {-2}) ∘f Β· 𝐺))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))))
133132mptru 1540 . . . . . 6 (𝐻 ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {-2}) ∘f Β· 𝐺))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
134101, 133eqtri 2752 . . . . 5 𝐽 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
135 ovex 7434 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁)))) ∈ V
136100, 134, 135fvmpt 6988 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (π½β€˜π‘€) = ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁)))))
137111recni 11224 . . . . . . . 8 ((π↑2) / 6) ∈ β„‚
138137a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((π↑2) / 6) ∈ β„‚)
1396nncnd 12224 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
140139, 63, 64divcld 11986 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) / 𝑁) ∈ β„‚)
141 ax-1cn 11163 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
142 subcl 11455 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝑀) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
143139, 141, 142sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
144143, 63, 64divcld 11986 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁) ∈ β„‚)
145138, 140, 144mulassd 11233 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((π↑2) / 6) Β· ((2 Β· 𝑀) / 𝑁)) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁))))
146 1cnd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
14763, 146, 63, 64divsubdird 12025 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) βˆ’ (1 / 𝑁)))
1483oveq1i 7411 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 βˆ’ 1) = (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ 1)
149 pncan 11462 . . . . . . . . . . . 12 (((2 Β· 𝑀) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑀))
150139, 141, 149sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑀))
151148, 150eqtrid 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑀))
152151oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) / 𝑁) = ((2 Β· 𝑀) / 𝑁))
15363, 64dividd 11984 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 / 𝑁) = 1)
154153oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 / 𝑁) βˆ’ (1 / 𝑁)) = (1 βˆ’ (1 / 𝑁)))
155147, 152, 1543eqtr3rd 2773 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑁)) = ((2 Β· 𝑀) / 𝑁))
156155oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) Β· ((2 Β· 𝑀) / 𝑁)))
157126a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ -2 ∈ β„‚)
15863, 157, 63, 64divdird 12024 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + -2) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)))
159 negsub 11504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + -2) = (𝑁 βˆ’ 2))
16063, 49, 159sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 + -2) = (𝑁 βˆ’ 2))
161 df-2 12271 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
1623, 161oveq12i 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 βˆ’ 2) = (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ (1 + 1))
163139, 146, 146pnpcan2d 11605 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) βˆ’ (1 + 1)) = ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))
164162, 163eqtrid 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))
165160, 164eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 + -2) = ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))
166165oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + -2) / 𝑁) = (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁))
167157, 63, 64divrecd 11989 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (-2 / 𝑁) = (-2 Β· (1 / 𝑁)))
168153, 167oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)) = (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁))))
169158, 166, 1683eqtr3rd 2773 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁))) = (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁))
170156, 169oveq12d 7419 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁)))) = ((((π↑2) / 6) Β· ((2 Β· 𝑀) / 𝑁)) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁)))
1718nnsqcld 14203 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁↑2) ∈ β„•)
172171nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁↑2) ∈ β„‚)
173 6cn 12299 . . . . . . . . . 10 6 ∈ β„‚
174 mulcom 11191 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑2) ∈ β„‚ ∧ 6 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁↑2) Β· 6) = (6 Β· (𝑁↑2)))
175172, 173, 174sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁↑2) Β· 6) = (6 Β· (𝑁↑2)))
176175oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) / ((𝑁↑2) Β· 6)) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) / (6 Β· (𝑁↑2))))
177107recni 11224 . . . . . . . . . 10 (π↑2) ∈ β„‚
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (π↑2) ∈ β„‚)
179139, 143mulcld 11230 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
180171nnne0d 12258 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁↑2) β‰  0)
181172, 180jca 511 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁↑2) ∈ β„‚ ∧ (𝑁↑2) β‰  0))
182173, 110pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ β„‚ ∧ 6 β‰  0)
183182a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (6 ∈ β„‚ ∧ 6 β‰  0))
184 divmuldiv 11910 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ β„‚ ∧ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„‚) ∧ (((𝑁↑2) ∈ β„‚ ∧ (𝑁↑2) β‰  0) ∧ (6 ∈ β„‚ ∧ 6 β‰  0))) β†’ (((π↑2) / (𝑁↑2)) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6)) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) / ((𝑁↑2) Β· 6)))
185178, 179, 181, 183, 184syl22anc 836 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / (𝑁↑2)) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6)) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) / ((𝑁↑2) Β· 6)))
186 divmuldiv 11910 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ β„‚ ∧ ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ β„‚) ∧ ((6 ∈ β„‚ ∧ 6 β‰  0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ β„‚ ∧ (𝑁↑2) β‰  0))) β†’ (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) / (6 Β· (𝑁↑2))))
187178, 179, 183, 181, 186syl22anc 836 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1))) / (6 Β· (𝑁↑2))))
188176, 185, 1873eqtr4d 2774 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / (𝑁↑2)) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (𝑁↑2))))
18961a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
190189, 63, 64sqdivd 14120 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 𝑁)↑2) = ((π↑2) / (𝑁↑2)))
191190oveq1d 7416 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6)))
192139, 63, 143, 63, 64, 64divmuldivd 12027 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁)) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (𝑁 Β· 𝑁)))
19363sqvald 14104 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁↑2) = (𝑁 Β· 𝑁))
194193oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (𝑁 Β· 𝑁)))
195192, 194eqtr4d 2767 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁)) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (𝑁↑2)))
196195oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / (𝑁↑2))))
197188, 191, 1963eqtr4d 2774 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) / 𝑁))))
198145, 170, 1973eqtr4d 2774 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁)))) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6)))
199 eqid 2724 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (π‘₯↑𝑗))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 Β· 𝑗)) Β· (-1↑(𝑀 βˆ’ 𝑗))) Β· (π‘₯↑𝑗)))
200 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tanβ€˜((𝑛 Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tanβ€˜((𝑛 Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
2013, 199, 200basellem5 26932 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6))
202201oveq2d 7417 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6)))
203198, 202eqtr4d 2767 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (-2 Β· (1 / 𝑁)))) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
20422recnd 11238 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) ∈ β„‚)
2051, 35, 204fsummulc2 15726 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
206136, 203, 2053eqtrd 2768 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (π½β€˜π‘€) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
207 basel.f . . . . 5 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑛↑-2)))
208207fveq1i 6882 . . . 4 (πΉβ€˜π‘€) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑛↑-2)))β€˜π‘€)
209 oveq1 7408 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛↑-2) = (π‘˜β†‘-2))
210 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑛↑-2))
211 ovex 7434 . . . . . . 7 (π‘˜β†‘-2) ∈ V
212209, 210, 211fvmpt 6988 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑛↑-2))β€˜π‘˜) = (π‘˜β†‘-2))
21325, 212syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑛↑-2))β€˜π‘˜) = (π‘˜β†‘-2))
214 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•)
215 nnuz 12861 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
216214, 215eleqtrdi 2835 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
217213, 216, 58fsumser 15672 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘˜β†‘-2) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑛↑-2)))β€˜π‘€))
218208, 217eqtr4id 2783 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘€) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘˜β†‘-2))
21991, 206, 2183brtr4d 5170 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (π½β€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
22075resincld 16082 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ)
221 sincosq1sgn 26349 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∧ 0 < (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))))
22213, 221syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (0 < (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∧ 0 < (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))))
223222simpld 494 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 < (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))
224223gt0ne0d 11774 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) β‰  0)
225220, 224, 21reexpclzd 14208 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
22612, 225remulcld 11240 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
227 sinltx 16128 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ ℝ+ β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) < ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))
22882, 227syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) < ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))
229220, 75, 228ltled 11358 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ≀ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))
230 0re 11212 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
231 ltle 11298 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))))
232230, 220, 231sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (0 < (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))))
233223, 232mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))
234220, 75, 233, 83le2sqd 14216 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ≀ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ↔ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ≀ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2)))
235229, 234mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ≀ (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)↑2))
236235, 73breqtrrd 5166 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ≀ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / (π‘˜β†‘-2)))
237220resqcld 14086 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
238237, 12, 46lemuldiv2d 13062 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘˜β†‘-2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) ≀ ((Ο€ / 𝑁)↑2) ↔ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ≀ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / (π‘˜β†‘-2))))
239220, 223elrpd 13009 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
240 rpexpcl 14042 . . . . . . . . 9 (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
241239, 18, 240sylancl 585 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
24228, 12, 241lemuldivd 13061 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((π‘˜β†‘-2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) ≀ ((Ο€ / 𝑁)↑2) ↔ (π‘˜β†‘-2) ≀ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))))
243238, 242bitr3d 281 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ≀ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / (π‘˜β†‘-2)) ↔ (π‘˜β†‘-2) ≀ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))))
244236, 243mpbid 231 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘˜β†‘-2) ≀ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
245220recnd 11238 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ β„‚)
246 expneg 14031 . . . . . . . 8 (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
247245, 30, 246sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
248247oveq2d 7417 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· (1 / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))))
249237recnd 11238 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ β„‚)
250241rpne0d 13017 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) β‰  0)
25136, 249, 250divrecd 11989 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· (1 / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))))
252248, 251eqtr4d 2767 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
253244, 252breqtrrd 5166 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘˜β†‘-2) ≀ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
2541, 28, 226, 253fsumle 15741 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘˜β†‘-2) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
25595oveq2d 7417 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 β†’ (1 + (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (1 + (1 / 𝑁)))
25697, 255oveq12d 7419 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) Β· (1 + (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) = ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (1 / 𝑁))))
257 basel.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐻 ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f + 𝐺))
258 ovexd 7436 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 + (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ V)
259103, 116, 117, 119, 121offval2 7683 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {1}) ∘f + 𝐺) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 + (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
260103, 104, 258, 124, 259offval2 7683 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝐻 ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f + 𝐺)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) Β· (1 + (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
261260mptru 1540 . . . . . 6 (𝐻 ∘f Β· ((β„• Γ— {1}) ∘f + 𝐺)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) Β· (1 + (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
262257, 261eqtri 2752 . . . . 5 𝐾 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) Β· (1 + (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
263 ovex 7434 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (1 / 𝑁))) ∈ V
264256, 262, 263fvmpt 6988 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘€) = ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (1 / 𝑁))))
265 peano2cn 11382 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
26663, 265syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
267266, 63, 64divcld 11986 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ β„‚)
268138, 140, 267mulassd 11233 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((π↑2) / 6) Β· ((2 Β· 𝑀) / 𝑁)) Β· ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
26963, 146, 63, 64divdird 12024 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
270153oveq1d 7416 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = (1 + (1 / 𝑁)))
271269, 270eqtr2d 2765 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 + (1 / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
272156, 271oveq12d 7419 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (1 / 𝑁))) = ((((π↑2) / 6) Β· ((2 Β· 𝑀) / 𝑁)) Β· ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
273175oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) Β· 6)) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1))) / (6 Β· (𝑁↑2))))
274139, 266mulcld 11230 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
275 divmuldiv 11910 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ β„‚ ∧ ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„‚) ∧ (((𝑁↑2) ∈ β„‚ ∧ (𝑁↑2) β‰  0) ∧ (6 ∈ β„‚ ∧ 6 β‰  0))) β†’ (((π↑2) / (𝑁↑2)) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) Β· 6)))
276178, 274, 181, 183, 275syl22anc 836 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / (𝑁↑2)) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) Β· 6)))
277 divmuldiv 11910 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ β„‚ ∧ ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„‚) ∧ ((6 ∈ β„‚ ∧ 6 β‰  0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ β„‚ ∧ (𝑁↑2) β‰  0))) β†’ (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1))) / (6 Β· (𝑁↑2))))
278178, 274, 183, 181, 277syl22anc 836 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) Β· ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1))) / (6 Β· (𝑁↑2))))
279273, 276, 2783eqtr4d 2774 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / (𝑁↑2)) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
28075recoscld 16083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ ℝ)
281280recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ β„‚)
282281sqcld 14105 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) ∈ β„‚)
283249, 282, 249, 250divdird 12024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) + ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = ((((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) + (((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))))
28475recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ β„‚)
285 sincossq 16115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) + ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = 1)
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) + ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = 1)
287286oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) + ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = (1 / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
288249, 250dividd 11984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = 1)
289222simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 < (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))
290289gt0ne0d 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) β‰  0)
291 tanval 16067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) β‰  0) β†’ (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) = ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) / (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))))
292284, 290, 291syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) = ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) / (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))))
293292oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) = (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) / (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))↑2))
294245, 281, 290sqdivd 14120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) / (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)))↑2) = (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
295293, 294eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) = (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
296295oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 / ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = (1 / (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))))
297 sqne0 14084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) β‰  0))
298281, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁)) β‰  0))
299290, 298mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) β‰  0)
300249, 282, 250, 299recdivd 12003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 / (((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))) = (((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)))
30132, 296, 3003eqtrrd 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2))
302288, 301oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) + (((cosβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2) / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2))) = (1 + ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
303283, 287, 3023eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 / ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑2)) = (1 + ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
304 addcom 11396 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) ∈ β„‚) β†’ (1 + ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) + 1))
305141, 204, 304sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 + ((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) + 1))
306247, 303, 3053eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) + 1))
307306sumeq2dv 15645 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) + 1))
308 1cnd 11205 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ 1 ∈ β„‚)
3091, 204, 308fsumadd 15682 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) + 1) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)1))
310 fsumconst 15732 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)1 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1))
3111, 141, 310sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)1 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1))
312 nnnn0 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
313 hashfz1 14302 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
314312, 313syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
315314oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1) = (𝑀 Β· 1))
316 nncn 12216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
317316mulridd 11227 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
318311, 315, 3173eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
319201, 318oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((tanβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)1) = ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6) + 𝑀))
320307, 309, 3193eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6) + 𝑀))
321 3cn 12289 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
322321a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ 3 ∈ β„‚)
323139, 143, 322adddid 11234 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) + 3)) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + ((2 Β· 𝑀) Β· 3)))
324 df-3 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
325324oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 βˆ’ 1) = ((2 + 1) βˆ’ 1)
32649, 141pncan3oi 11472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 + 1) βˆ’ 1) = 2
327325, 326, 1613eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 βˆ’ 1) = (1 + 1)
328327oveq2i 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· 𝑀) + (3 βˆ’ 1)) = ((2 Β· 𝑀) + (1 + 1))
329139, 146, 322subadd23d 11589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) + 3) = ((2 Β· 𝑀) + (3 βˆ’ 1)))
330139, 146, 146addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) + 1) + 1) = ((2 Β· 𝑀) + (1 + 1)))
331328, 329, 3303eqtr4a 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) + 3) = (((2 Β· 𝑀) + 1) + 1))
3323oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 + 1) = (((2 Β· 𝑀) + 1) + 1)
333331, 332eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) + 3) = (𝑁 + 1))
334333oveq2d 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· (((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1) + 3)) = ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)))
335 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
336335, 316, 322mul32d 11420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· 3) = ((2 Β· 3) Β· 𝑀))
337 3t2e6 12374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 Β· 2) = 6
338321, 49mulcomi 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 Β· 2) = (2 Β· 3)
339337, 338eqtr3i 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (2 Β· 3)
340339oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (6 Β· 𝑀) = ((2 Β· 3) Β· 𝑀)
341336, 340eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· 3) = (6 Β· 𝑀))
342341oveq2d 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + ((2 Β· 𝑀) Β· 3)) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + (6 Β· 𝑀)))
343323, 334, 3423eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) = (((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + (6 Β· 𝑀)))
344343oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + (6 Β· 𝑀)) / 6))
345 mulcl 11189 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (6 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
346173, 316, 345sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (6 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
347173a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 6 ∈ β„‚)
348110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 6 β‰  0)
349179, 346, 347, 348divdird 12024 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) + (6 Β· 𝑀)) / 6) = ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6) + ((6 Β· 𝑀) / 6)))
350316, 347, 348divcan3d 11991 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((6 Β· 𝑀) / 6) = 𝑀)
351350oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6) + ((6 Β· 𝑀) / 6)) = ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6) + 𝑀))
352344, 349, 3513eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 Β· 𝑀) Β· ((2 Β· 𝑀) βˆ’ 1)) / 6) + 𝑀))
353320, 352eqtr4d 2767 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) = (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / 6))
354190, 353oveq12d 7419 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / 6)))
355139, 63, 266, 63, 64, 64divmuldivd 12027 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / (𝑁 Β· 𝑁)))
356193oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / (𝑁 Β· 𝑁)))
357355, 356eqtr4d 2767 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)))
358357oveq2d 7417 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· ((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) Β· (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
359279, 354, 3583eqtr4d 2774 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / 6) Β· (((2 Β· 𝑀) / 𝑁) Β· ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
360268, 272, 3593eqtr4d 2774 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((((π↑2) / 6) Β· (1 βˆ’ (1 / 𝑁))) Β· (1 + (1 / 𝑁))) = (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
361225recnd 11238 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2) ∈ β„‚)
3621, 35, 361fsummulc2 15726 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
363264, 360, 3623eqtrd 2768 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘€) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(((Ο€ / 𝑁)↑2) Β· ((sinβ€˜((π‘˜ Β· Ο€) / 𝑁))↑-2)))
364254, 218, 3633brtr4d 5170 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΎβ€˜π‘€))
365219, 364jca 511 1 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((π½β€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΎβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘f cof 7661  Fincfn 8934  β„‚cc 11103  β„cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   Β· cmul 11110   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  6c6 12267  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  ...cfz 13480  seqcseq 13962  β†‘cexp 14023  Ccbc 14258  β™―chash 14286  Ξ£csu 15628  sincsin 16003  cosccos 16004  tanctan 16005  Ο€cpi 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-0p 25520  df-limc 25716  df-dv 25717  df-ply 26041  df-idp 26042  df-coe 26043  df-dgr 26044  df-quot 26144
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