Theorem lediv2aALT 35671

Description: Division of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lediv2aALT	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴)))

Proof of Theorem lediv2aALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 11650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
2		rereccl 11907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
4		gt0ne0 11650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5		rereccl 11907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
6	4, 5	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
7	3, 6	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
8	7	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
9	8	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
10		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
11		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ↔ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)))
12	9, 10, 11	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)))
13		lemul2a 12044	. . . 4 ⊢ ((((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴)))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
16		lerec 12073	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)))
17	16	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)))
18		recn 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
20		recn 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21, 1	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
23	19, 22	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
24		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
25	23, 24	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26		divrec 11860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
28	27	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
29	28	3adant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
30		recn 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	31, 4	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
33	19, 32	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
34		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
35	33, 34	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
36		divrec 11860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
38	37	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
39	38	3adant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
40	29, 39	breq12d 5123	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
41	15, 17, 40	3imtr4d 294	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by: (None)