Theorem lediv2aALT 35682

Description: Division of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lediv2aALT	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴)))

Proof of Theorem lediv2aALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 11728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
2		rereccl 11985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
4		gt0ne0 11728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5		rereccl 11985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
6	4, 5	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
7	3, 6	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
8	7	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
9	8	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
10		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
11		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ↔ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)))
12	9, 10, 11	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)))
13		lemul2a 12122	. . . 4 ⊢ ((((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴)))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
16		lerec 12151	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)))
17	16	3adant3 1133	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)))
18		recn 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
20		recn 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21, 1	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
23	19, 22	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
24		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
25	23, 24	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26		divrec 11938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
28	27	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
29	28	3adant1 1131	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
30		recn 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	31, 4	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
33	19, 32	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
34		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
35	33, 34	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
36		divrec 11938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
38	37	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
39	38	3adant2 1132	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
40	29, 39	breq12d 5156	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
41	15, 17, 40	3imtr4d 294	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by: (None)