Proof of Theorem lediv2aALT
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | gt0ne0 11728 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐵) → 𝐵 ≠ 0) | 
| 2 |  | rereccl 11985 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈
ℝ) | 
| 3 | 1, 2 | syldan 591 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐵) → (1 / 𝐵) ∈
ℝ) | 
| 4 |  | gt0ne0 11728 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) → 𝐴 ≠ 0) | 
| 5 |  | rereccl 11985 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈
ℝ) | 
| 6 | 4, 5 | syldan 591 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) → (1 / 𝐴) ∈
ℝ) | 
| 7 | 3, 6 | anim12i 613 | . . . . . 6
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 /
𝐴) ∈
ℝ)) | 
| 8 | 7 | ancoms 458 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 /
𝐴) ∈
ℝ)) | 
| 9 | 8 | 3adant3 1133 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 /
𝐴) ∈
ℝ)) | 
| 10 |  | simp3 1139 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) | 
| 11 |  | df-3an 1089 | . . . 4
⊢ (((1 /
𝐵) ∈ ℝ ∧ (1
/ 𝐴) ∈ ℝ ∧
(𝐶 ∈ ℝ ∧ 0
≤ 𝐶)) ↔ (((1 /
𝐵) ∈ ℝ ∧ (1
/ 𝐴) ∈ ℝ) ∧
(𝐶 ∈ ℝ ∧ 0
≤ 𝐶))) | 
| 12 | 9, 10, 11 | sylanbrc 583 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 /
𝐴) ∈ ℝ ∧
(𝐶 ∈ ℝ ∧ 0
≤ 𝐶))) | 
| 13 |  | lemul2a 12122 | . . . 4
⊢ ((((1 /
𝐵) ∈ ℝ ∧ (1
/ 𝐴) ∈ ℝ ∧
(𝐶 ∈ ℝ ∧ 0
≤ 𝐶)) ∧ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))) | 
| 14 | 13 | ex 412 | . . 3
⊢ (((1 /
𝐵) ∈ ℝ ∧ (1
/ 𝐴) ∈ ℝ ∧
(𝐶 ∈ ℝ ∧ 0
≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴)))) | 
| 15 | 12, 14 | syl 17 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴)))) | 
| 16 |  | lerec 12151 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴))) | 
| 17 | 16 | 3adant3 1133 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴))) | 
| 18 |  | recn 11245 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈
ℂ) | 
| 19 | 18 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 20 |  | recn 11245 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈
ℂ) | 
| 21 | 20 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 22 | 21, 1 | jca 511 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) | 
| 23 | 19, 22 | anim12i 613 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) | 
| 24 |  | 3anass 1095 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) | 
| 25 | 23, 24 | sylibr 234 | . . . . . 6
⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) | 
| 26 |  | divrec 11938 | . . . . . 6
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵))) | 
| 27 | 25, 26 | syl 17 | . . . . 5
⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵))) | 
| 28 | 27 | ancoms 458 | . . . 4
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵))) | 
| 29 | 28 | 3adant1 1131 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵))) | 
| 30 |  | recn 11245 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℂ) | 
| 31 | 30 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 32 | 31, 4 | jca 511 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) | 
| 33 | 19, 32 | anim12i 613 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))) | 
| 34 |  | 3anass 1095 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))) | 
| 35 | 33, 34 | sylibr 234 | . . . . . 6
⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) | 
| 36 |  | divrec 11938 | . . . . . 6
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴))) | 
| 37 | 35, 36 | syl 17 | . . . . 5
⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴))) | 
| 38 | 37 | ancoms 458 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴))) | 
| 39 | 38 | 3adant2 1132 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴))) | 
| 40 | 29, 39 | breq12d 5156 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴)))) | 
| 41 | 15, 17, 40 | 3imtr4d 294 | 1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))) |