Theorem lediv2aALT 35742

Description: Division of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lediv2aALT	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴)))

Proof of Theorem lediv2aALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 11589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
2		rereccl 11846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
4		gt0ne0 11589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5		rereccl 11846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
6	4, 5	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
7	3, 6	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
8	7	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
9	8	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ))
10		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
11		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ↔ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)))
12	9, 10, 11	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)))
13		lemul2a 11983	. . . 4 ⊢ ((((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴)))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) → (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
16		lerec 12012	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)))
17	16	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)))
18		recn 11103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
20		recn 11103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21, 1	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
23	19, 22	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
24		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
25	23, 24	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26		divrec 11799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
28	27	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
29	28	3adant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
30		recn 11103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	31, 4	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
33	19, 32	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
34		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
35	33, 34	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
36		divrec 11799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
38	37	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
39	38	3adant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
40	29, 39	breq12d 5106	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
41	15, 17, 40	3imtr4d 294	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by: (None)