![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemul2a | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.) |
Ref | Expression |
---|---|
lemul2a | โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ถ ยท ๐ด) โค (๐ถ ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lemul1a 12069 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) | |
2 | recn 11199 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
3 | recn 11199 | . . . . . 6 โข (๐ถ โ โ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | mulcom 11195 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) | |
5 | 2, 3, 4 | syl2an 595 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
6 | 5 | adantrr 714 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
7 | 6 | 3adant2 1128 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
8 | 7 | adantr 480 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
9 | recn 11199 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
10 | mulcom 11195 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) | |
11 | 9, 3, 10 | syl2an 595 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
12 | 11 | adantrr 714 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
13 | 12 | 3adant1 1127 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
14 | 13 | adantr 480 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
15 | 1, 8, 14 | 3brtr3d 5172 | 1 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ถ ยท ๐ด) โค (๐ถ ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 โcc 11107 โcr 11108 0cc0 11109 ยท cmul 11114 โค cle 11250 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 |
This theorem is referenced by: lemul12b 12072 ledivp1 12117 ledivp1i 12140 ltdivp1i 12141 lemul2ad 12155 supmul1 12184 facavg 14264 mulcn2 15544 cvgrat 15833 mertenslem1 15834 prmreclem3 16858 nmoco 24605 blcvx 24665 fsumharmonic 26895 bposlem1 27168 dchrvmasumiflem1 27385 nmoub3i 30531 htthlem 30675 nmopub2tALT 31667 nmfnleub2 31684 nmophmi 31789 nmopadjlem 31847 nmopcoadji 31859 lediv2aALT 35190 stoweidlem24 45293 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |