MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul2a 11489
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
lemul2a (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))

Proof of Theorem lemul2a
StepHypRef Expression
1 lemul1a 11488 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
2 recn 10621 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 recn 10621 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4 mulcom 10617 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
52, 3, 4syl2an 597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
65adantrr 715 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
763adant2 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
87adantr 483 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
9 recn 10621 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
10 mulcom 10617 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
119, 3, 10syl2an 597 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1211adantrr 715 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
13123adant1 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1413adantr 483 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
151, 8, 143brtr3d 5090 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536  cle 10670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867
This theorem is referenced by:  lemul12b  11491  ledivp1  11536  ledivp1i  11559  ltdivp1i  11560  lemul2ad  11574  supmul1  11604  facavg  13655  mulcn2  14946  cvgrat  15233  mertenslem1  15234  prmreclem3  16248  nmoco  23340  blcvx  23400  fsumharmonic  25583  bposlem1  25854  dchrvmasumiflem1  26071  nmoub3i  28544  htthlem  28688  nmopub2tALT  29680  nmfnleub2  29697  nmophmi  29802  nmopadjlem  29860  nmopcoadji  29872  lediv2aALT  32915  stoweidlem24  42302
  Copyright terms: Public domain W3C validator