![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divrec | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
divrec | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp2 1134 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ๐ต โ โ) | |
2 | simp1 1133 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ๐ด โ โ) | |
3 | reccl 11880 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (1 / ๐ต) โ โ) | |
4 | 3 | 3adant1 1127 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (1 / ๐ต) โ โ) |
5 | 1, 2, 4 | mul12d 11424 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ต)))) |
6 | recid 11887 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต ยท (1 / ๐ต)) = 1) | |
7 | 6 | 3adant1 1127 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต ยท (1 / ๐ต)) = 1) |
8 | 7 | oveq2d 7420 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ต))) = (๐ด ยท 1)) |
9 | 2 | mulridd 11232 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) |
10 | 5, 8, 9 | 3eqtrd 2770 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด) |
11 | 2, 4 | mulcld 11235 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ โ) |
12 | 3simpc 1147 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) | |
13 | divmul 11876 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด)) | |
14 | 2, 11, 12, 13 | syl3anc 1368 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ((๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด)) |
15 | 10, 14 | mpbird 257 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 (class class class)co 7404 โcc 11107 0cc0 11109 1c1 11110 ยท cmul 11114 / cdiv 11872 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 |
This theorem is referenced by: divrec2 11890 divass 11891 divdir 11898 divid 11902 divneg 11907 rec11 11913 divdiv32 11923 redivcl 11934 divreczi 11953 divrecd 11994 ltdiv2 12101 lediv2 12105 qdivcl 12955 expdiv 14082 0.999... 15831 efsub 16048 efival 16100 ef01bndlem 16132 cos01bnd 16134 rpnnen2lem11 16172 prmreclem5 16860 divcnOLD 24735 divcn 24737 divccn 24742 divccnOLD 24744 subfaclim 34707 lediv2aALT 35190 heiborlem7 37196 ofdivrec 43642 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |