MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrec 11889
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divrec ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))

Proof of Theorem divrec
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2 simp1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 reccl 11880 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
433adant1 1127 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
51, 2, 4mul12d 11424 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ต))))
6 recid 11887 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (1 / ๐ต)) = 1)
763adant1 1127 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (1 / ๐ต)) = 1)
87oveq2d 7420 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ต))) = (๐ด ยท 1))
92mulridd 11232 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
105, 8, 93eqtrd 2770 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด)
112, 4mulcld 11235 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
12 3simpc 1147 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
13 divmul 11876 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ†” (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด))
142, 11, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ†” (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด))
1510, 14mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  divrec2  11890  divass  11891  divdir  11898  divid  11902  divneg  11907  rec11  11913  divdiv32  11923  redivcl  11934  divreczi  11953  divrecd  11994  ltdiv2  12101  lediv2  12105  qdivcl  12955  expdiv  14082  0.999...  15831  efsub  16048  efival  16100  ef01bndlem  16132  cos01bnd  16134  rpnnen2lem11  16172  prmreclem5  16860  divcnOLD  24735  divcn  24737  divccn  24742  divccnOLD  24744  subfaclim  34707  lediv2aALT  35190  heiborlem7  37196  ofdivrec  43642
  Copyright terms: Public domain W3C validator