![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divrec | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
divrec | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp2 1135 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ๐ต โ โ) | |
2 | simp1 1134 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ๐ด โ โ) | |
3 | reccl 11910 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (1 / ๐ต) โ โ) | |
4 | 3 | 3adant1 1128 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (1 / ๐ต) โ โ) |
5 | 1, 2, 4 | mul12d 11454 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ต)))) |
6 | recid 11917 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต ยท (1 / ๐ต)) = 1) | |
7 | 6 | 3adant1 1128 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต ยท (1 / ๐ต)) = 1) |
8 | 7 | oveq2d 7436 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ต))) = (๐ด ยท 1)) |
9 | 2 | mulridd 11262 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) |
10 | 5, 8, 9 | 3eqtrd 2772 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด) |
11 | 2, 4 | mulcld 11265 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ โ) |
12 | 3simpc 1148 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) | |
13 | divmul 11906 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด)) | |
14 | 2, 11, 12, 13 | syl3anc 1369 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ((๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)) โ (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ต))) = ๐ด)) |
15 | 10, 14 | mpbird 257 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2937 (class class class)co 7420 โcc 11137 0cc0 11139 1c1 11140 ยท cmul 11144 / cdiv 11902 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-po 5590 df-so 5591 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-div 11903 |
This theorem is referenced by: divrec2 11920 divass 11921 divdir 11928 divid 11932 divneg 11937 rec11 11943 divdiv32 11953 redivcl 11964 divreczi 11983 divrecd 12024 ltdiv2 12131 lediv2 12135 qdivcl 12985 expdiv 14111 0.999... 15860 efsub 16077 efival 16129 ef01bndlem 16161 cos01bnd 16163 rpnnen2lem11 16201 prmreclem5 16889 divcnOLD 24797 divcn 24799 divccn 24804 divccnOLD 24806 subfaclim 34798 lediv2aALT 35281 heiborlem7 37290 ofdivrec 43763 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |