Theorem left1s 28160

Description: The left set of 1_s is the singleton of 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
left1s	⊢ ( L ‘ 1s ) = { 0s }

Proof of Theorem left1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftval 28114	. 2 ⊢ ( L ‘ 1s ) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s }
2		bday1 28079	. . . . . 6 ⊢ ( bday ‘ 1s ) = 1o
3	2	fveq2i 6881	. . . . 5 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = ( O ‘1o)
4		old1 28130	. . . . 5 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }
5	3, 4	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = { 0s }
6	5	rabeqi 3425	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s } = {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 𝑥 <s 1s }
7		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0s → (𝑥 <s 1s ↔ 0s <s 1s ))
8	7	rabsnif 4684	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 𝑥 <s 1s } = if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅)
9	6, 8	eqtri 2783	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s } = if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅)
10		0lt1s 28077	. . 3 ⊢ 0s <s 1s
11	10	iftruei 4489	. 2 ⊢ if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅) = { 0s }
12	1, 9, 11	3eqtri 2787	1 ⊢ ( L ‘ 1s ) = { 0s }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {crab 3412  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  1_oc1o 8448   <s clts 27877   bday cbday 27878   0_s c0s 28070   1_s c1s 28071   O cold 28088   L cleft 28090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-1o 8455  df-2o 8456  df-no 27879  df-lts 27880  df-bday 27881  df-les 27981  df-slts 28023  df-cuts 28025  df-0s 28072  df-1s 28073  df-made 28092  df-old 28093  df-left 28095

This theorem is used by:  neg1s  28292  mulsrid  28378  1reno  28762