Theorem left1s 27820

Description: The left set of 1_s is the singleton of 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
left1s	⊢ ( L ‘ 1s ) = { 0s }

Proof of Theorem left1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftval 27789	. 2 ⊢ ( L ‘ 1s ) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s }
2		bday1s 27763	. . . . . 6 ⊢ ( bday ‘ 1s ) = 1o
3	2	fveq2i 6900	. . . . 5 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = ( O ‘1o)
4		old1 27801	. . . . 5 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }
5	3, 4	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = { 0s }
6	5	rabeqi 3442	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s } = {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 𝑥 <s 1s }
7		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0s → (𝑥 <s 1s ↔ 0s <s 1s ))
8	7	rabsnif 4728	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 𝑥 <s 1s } = if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅)
9	6, 8	eqtri 2756	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s } = if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅)
10		0slt1s 27761	. . 3 ⊢ 0s <s 1s
11	10	iftruei 4536	. 2 ⊢ if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅) = { 0s }
12	1, 9, 11	3eqtri 2760	1 ⊢ ( L ‘ 1s ) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1534  {crab 3429  ∅c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  1_oc1o 8479   <s cslt 27573   bday cbday 27574   0_s c0s 27754   1_s c1s 27755   O cold 27769   L cleft 27771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-1o 8486  df-2o 8487  df-no 27575  df-slt 27576  df-bday 27577  df-sle 27677  df-sslt 27713  df-scut 27715  df-0s 27756  df-1s 27757  df-made 27773  df-old 27774  df-left 27776

This theorem is referenced by:  mulsrid  28012