Theorem left1s 27389

Description: The left set of 1_s is the singleton of 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
left1s	⊢ ( L ‘ 1s ) = { 0s }

Proof of Theorem left1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftval 27358	. 2 ⊢ ( L ‘ 1s ) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s }
2		bday1s 27332	. . . . . 6 ⊢ ( bday ‘ 1s ) = 1o
3	2	fveq2i 6895	. . . . 5 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = ( O ‘1o)
4		old1 27370	. . . . 5 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }
5	3, 4	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = { 0s }
6	5	rabeqi 3446	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s } = {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 𝑥 <s 1s }
7		breq1 5152	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0s → (𝑥 <s 1s ↔ 0s <s 1s ))
8	7	rabsnif 4728	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 𝑥 <s 1s } = if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅)
9	6, 8	eqtri 2761	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s } = if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅)
10		0slt1s 27330	. . 3 ⊢ 0s <s 1s
11	10	iftruei 4536	. 2 ⊢ if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅) = { 0s }
12	1, 9, 11	3eqtri 2765	1 ⊢ ( L ‘ 1s ) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1542  {crab 3433  ∅c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  1_oc1o 8459   <s cslt 27144   bday cbday 27145   0_s c0s 27323   1_s c1s 27324   O cold 27338   L cleft 27340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sle 27248  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-0s 27325  df-1s 27326  df-made 27342  df-old 27343  df-left 27345

This theorem is referenced by:  mulsrid  27569