Theorem left1s 27813

Description: The left set of 1_s is the singleton of 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
left1s	⊢ ( L ‘ 1s ) = { 0s }

Proof of Theorem left1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftval 27778	. 2 ⊢ ( L ‘ 1s ) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s }
2		bday1s 27750	. . . . . 6 ⊢ ( bday ‘ 1s ) = 1o
3	2	fveq2i 6864	. . . . 5 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = ( O ‘1o)
4		old1 27794	. . . . 5 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }
5	3, 4	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = { 0s }
6	5	rabeqi 3422	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s } = {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 𝑥 <s 1s }
7		breq1 5113	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0s → (𝑥 <s 1s ↔ 0s <s 1s ))
8	7	rabsnif 4690	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 𝑥 <s 1s } = if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅)
9	6, 8	eqtri 2753	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 𝑥 <s 1s } = if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅)
10		0slt1s 27748	. . 3 ⊢ 0s <s 1s
11	10	iftruei 4498	. 2 ⊢ if( 0s <s 1s , { 0s }, ∅) = { 0s }
12	1, 9, 11	3eqtri 2757	1 ⊢ ( L ‘ 1s ) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1540  {crab 3408  ∅c0 4299  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  1_oc1o 8430   <s cslt 27559   bday cbday 27560   0_s c0s 27741   1_s c1s 27742   O cold 27758   L cleft 27760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-1o 8437  df-2o 8438  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sle 27664  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-0s 27743  df-1s 27744  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765

This theorem is referenced by:  negs1s  27940  mulsrid  28023