![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgs0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
lgs0 | โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0z 12565 | . . 3 โข 0 โ โค | |
2 | eqid 2732 | . . . 4 โข (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)) = (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)) | |
3 | 2 | lgsval 26793 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง 0 โ โค) โ (๐ด /L 0) = if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0))))) |
4 | 1, 3 | mpan2 689 | . 2 โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0))))) |
5 | eqid 2732 | . . 3 โข 0 = 0 | |
6 | 5 | iftruei 4534 | . 2 โข if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0)))) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0) |
7 | 4, 6 | eqtrdi 2788 | 1 โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 ifcif 4527 {cpr 4629 class class class wbr 5147 โฆ cmpt 5230 โcfv 6540 (class class class)co 7405 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 ยท cmul 11111 < clt 11244 โ cmin 11440 -cneg 11441 / cdiv 11867 โcn 12208 2c2 12263 7c7 12268 8c8 12269 โคcz 12554 mod cmo 13830 seqcseq 13962 โcexp 14023 abscabs 15177 โฅ cdvds 16193 โcprime 16604 pCnt cpc 16765 /L clgs 26786 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-i2m1 11174 ax-rnegex 11177 ax-cnre 11179 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-neg 11443 df-nn 12209 df-n0 12469 df-z 12555 df-seq 13963 df-lgs 26787 |
This theorem is referenced by: lgsdir 26824 lgsne0 26827 lgsdinn0 26837 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |