MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgs0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgs0 26802
Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgs0 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))

Proof of Theorem lgs0
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12565 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
2 eqid 2732 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt 0)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt 0)), 1))
32lgsval 26793 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = if(0 = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt 0)), 1)))โ€˜(absโ€˜0)))))
41, 3mpan2 689 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด /L 0) = if(0 = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt 0)), 1)))โ€˜(absโ€˜0)))))
5 eqid 2732 . . 3 0 = 0
65iftruei 4534 . 2 if(0 = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt 0)), 1)))โ€˜(absโ€˜0)))) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0)
74, 6eqtrdi 2788 1 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  ifcif 4527  {cpr 4629   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  7c7 12268  8c8 12269  โ„คcz 12554   mod cmo 13830  seqcseq 13962  โ†‘cexp 14023  abscabs 15177   โˆฅ cdvds 16193  โ„™cprime 16604   pCnt cpc 16765   /L clgs 26786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-i2m1 11174  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-seq 13963  df-lgs 26787
This theorem is referenced by:  lgsdir  26824  lgsne0  26827  lgsdinn0  26837
  Copyright terms: Public domain W3C validator