Theorem lgs0 27694

Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgs0	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))

Proof of Theorem lgs0

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12744	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1))
3	2	lgsval 27685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if(0 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1)))‘(abs‘0)))))
4	1, 3	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if(0 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1)))‘(abs‘0)))))
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ 0 = 0
6	5	iftruei 4492	. 2 ⊢ if(0 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1)))‘(abs‘0)))) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0)
7	4, 6	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  {cpr 4590   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  7c7 12442  8c8 12443  ℤcz 12733   mod cmo 14049  seqcseq 14184  ↑cexp 14244  abscabs 15444   ∥ cdvds 16466  ℙcprime 16890   pCnt cpc 17058   /_L clgs 27678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-i2m1 11307  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-seq 14185  df-lgs 27679

This theorem is used by:  lgsdir  27716  lgsne0  27719  lgsdinn0  27729