![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgs0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
lgs0 | โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0z 12567 | . . 3 โข 0 โ โค | |
2 | eqid 2724 | . . . 4 โข (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)) = (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)) | |
3 | 2 | lgsval 27153 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง 0 โ โค) โ (๐ด /L 0) = if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0))))) |
4 | 1, 3 | mpan2 688 | . 2 โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0))))) |
5 | eqid 2724 | . . 3 โข 0 = 0 | |
6 | 5 | iftruei 4528 | . 2 โข if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0)))) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0) |
7 | 4, 6 | eqtrdi 2780 | 1 โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 ifcif 4521 {cpr 4623 class class class wbr 5139 โฆ cmpt 5222 โcfv 6534 (class class class)co 7402 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 ยท cmul 11112 < clt 11246 โ cmin 11442 -cneg 11443 / cdiv 11869 โcn 12210 2c2 12265 7c7 12270 8c8 12271 โคcz 12556 mod cmo 13832 seqcseq 13964 โcexp 14025 abscabs 15179 โฅ cdvds 16196 โcprime 16607 pCnt cpc 16770 /L clgs 27146 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-i2m1 11175 ax-rnegex 11178 ax-cnre 11180 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-neg 11445 df-nn 12211 df-n0 12471 df-z 12557 df-seq 13965 df-lgs 27147 |
This theorem is referenced by: lgsdir 27184 lgsne0 27187 lgsdinn0 27197 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |