Theorem lgs0 25894

Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgs0	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))

Proof of Theorem lgs0

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11980	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1))
3	2	lgsval 25885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if(0 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1)))‘(abs‘0)))))
4	1, 3	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if(0 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1)))‘(abs‘0)))))
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ 0 = 0
6	5	iftruei 4432	. 2 ⊢ if(0 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 0)), 1)))‘(abs‘0)))) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0)
7	4, 6	eqtrdi 2849	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425  {cpr 4527   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  7c7 11685  8c8 11686  ℤcz 11969   mod cmo 13232  seqcseq 13364  ↑cexp 13425  abscabs 14585   ∥ cdvds 15599  ℙcprime 16005   pCnt cpc 16163   /_L clgs 25878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-i2m1 10594  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-seq 13365  df-lgs 25879

This theorem is referenced by:  lgsdir  25916  lgsne0  25919  lgsdinn0  25929