![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgs0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
lgs0 | โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0z 12594 | . . 3 โข 0 โ โค | |
2 | eqid 2728 | . . . 4 โข (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)) = (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)) | |
3 | 2 | lgsval 27228 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง 0 โ โค) โ (๐ด /L 0) = if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0))))) |
4 | 1, 3 | mpan2 690 | . 2 โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0))))) |
5 | eqid 2728 | . . 3 โข 0 = 0 | |
6 | 5 | iftruei 4532 | . 2 โข if(0 = 0, if((๐ดโ2) = 1, 1, 0), (if((0 < 0 โง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ if(๐ โ โ, (if(๐ = 2, if(2 โฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ((๐ โ 1) / 2)) + 1) mod ๐) โ 1))โ(๐ pCnt 0)), 1)))โ(absโ0)))) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0) |
7 | 4, 6 | eqtrdi 2784 | 1 โข (๐ด โ โค โ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ2) = 1, 1, 0)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 ifcif 4525 {cpr 4627 class class class wbr 5143 โฆ cmpt 5226 โcfv 6543 (class class class)co 7415 0cc0 11133 1c1 11134 + caddc 11136 ยท cmul 11138 < clt 11273 โ cmin 11469 -cneg 11470 / cdiv 11896 โcn 12237 2c2 12292 7c7 12297 8c8 12298 โคcz 12583 mod cmo 13861 seqcseq 13993 โcexp 14053 abscabs 15208 โฅ cdvds 16225 โcprime 16636 pCnt cpc 16799 /L clgs 27221 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-i2m1 11201 ax-rnegex 11204 ax-cnre 11206 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-ral 3058 df-rex 3067 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-om 7866 df-2nd 7989 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-neg 11472 df-nn 12238 df-n0 12498 df-z 12584 df-seq 13994 df-lgs 27222 |
This theorem is referenced by: lgsdir 27259 lgsne0 27262 lgsdinn0 27272 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |