MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdinn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdinn0 26855
Description: Variation on lgsdi 26844 valid for all ๐‘€, ๐‘ but only for positive ๐ด. (The exact location of the failure of this law is for ๐ด = -1, ๐‘€ = 0, and some ๐‘ in which case (-1 /L 0) = 1 but (-1 /L ๐‘) = -1 when -1 is not a quadratic residue mod ๐‘.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdinn0 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))

Proof of Theorem lgsdinn0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) = (๐ด /L ๐‘))
21oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0)))
32eqeq2d 2743 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) โ†” (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0))))
4 sq1 14161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1โ†‘2) = 1
54eqeq2i 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” (๐ดโ†‘2) = 1)
6 nn0re 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 nn0ge0 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
8 1re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„
9 0le1 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 1
10 sq11 14098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
118, 9, 10mpanr12 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
126, 7, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
145, 13bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = 1 โ†” ๐ด = 1))
1514biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ๐ด = 1)
1615oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) = (1 /L ๐‘ฅ))
17 1lgs 26850 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 /L ๐‘ฅ) = 1)
1817ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (1 /L ๐‘ฅ) = 1)
1916, 18eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) = 1)
2019oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) = (1 ยท (๐ด /L 0)))
21 nn0z 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
23 0z 12571 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„ค
24 lgscl 26821 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„ค)
2522, 23, 24sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„ค)
2625zcnd 12669 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„‚)
2726mullidd 11234 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (1 ยท (๐ด /L 0)) = (๐ด /L 0))
2820, 27eqtr2d 2773 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
29 lgscl 26821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
3021, 29sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
3130zcnd 12669 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3332mul01d 11415 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท 0) = 0)
3421adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
35 lgs0 26820 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
37 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ†‘2) โ‰  1 โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) = 0)
3836, 37sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ (๐ด /L 0) = 0)
3938oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท 0))
4033, 39, 383eqtr4rd 2783 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
4128, 40pm2.61dane 3029 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
4241ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
43423ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
44 simp3 1138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
453, 43, 44rspcdva 3613 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0)))
4645adantr 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0)))
47213ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4847, 23, 24sylancl 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„ค)
4948zcnd 12669 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„‚)
5049adantr 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„‚)
51 lgscl 26821 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5247, 44, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5352zcnd 12669 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5453adantr 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5550, 54mulcomd 11237 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐ด /L 0) ยท (๐ด /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0)))
5646, 55eqtr4d 2775 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L 0) ยท (๐ด /L ๐‘)))
57 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
5844zcnd 12669 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5958mul02d 11414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
6057, 59sylan9eqr 2794 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = 0)
6160oveq2d 7427 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ด /L 0))
62 simpr 485 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
6362oveq2d 7427 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘€) = (๐ด /L 0))
6463oveq1d 7426 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)) = ((๐ด /L 0) ยท (๐ด /L ๐‘)))
6556, 61, 643eqtr4d 2782 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
66 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) = (๐ด /L ๐‘€))
6766oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0)))
6867eqeq2d 2743 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) โ†” (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0))))
69 simp2 1137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
7068, 43, 69rspcdva 3613 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0)))
7170adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0)))
72 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
7369zcnd 12669 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
7473mul01d 11415 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
7572, 74sylan9eqr 2794 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = 0)
7675oveq2d 7427 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ด /L 0))
77 simpr 485 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
7877oveq2d 7427 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (๐ด /L 0))
7978oveq2d 7427 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0)))
8071, 76, 793eqtr4d 2782 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
81 lgsdi 26844 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
8221, 81syl3anl1 1412 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
8365, 80, 82pm2.61da2ne 3030 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11251  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ†‘cexp 14029   /L clgs 26804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-phi 16701  df-pc 16772  df-lgs 26805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator