Theorem lgsdinn0 27389

Description: Variation on lgsdi 27378 valid for all 𝑀, 𝑁 but only for positive 𝐴. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = -1, 𝑀 = 0, and some 𝑁 in which case (-1 /_L 0) = 1 but (-1 /_L 𝑁) = -1 when -1 is not a quadratic residue mod 𝑁.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdinn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdinn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑁))
2	1	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
3	2	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0))))
4		sq1 14234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1↑2) = 1
5	4	eqeq2i 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
6		nn0re 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nn0ge0 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
8		1re 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		0le1 11786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
10		sq11 14171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
11	8, 9, 10	mpanr12 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
12	6, 7, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
14	5, 13	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
15	14	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
16	15	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = (1 /L 𝑥))
17		1lgs 27384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 /L 𝑥) = 1)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 /L 𝑥) = 1)
19	16, 18	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = 1)
20	19	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = (1 · (𝐴 /L 0)))
21		nn0z 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		0z 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		lgscl 27355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
27	26	mullidd 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐴 /L 0)) = (𝐴 /L 0))
28	20, 27	eqtr2d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
29		lgscl 27355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
30	21, 29	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
33	32	mul01d 11460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · 0) = 0)
34	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
35		lgs0 27354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
37		ifnefalse 4537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑2) ≠ 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
38	36, 37	sylan9eq 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = 0)
39	38	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑥) · 0))
40	33, 39, 38	3eqtr4rd 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
41	28, 40	pm2.61dane 3029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
42	41	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
43	42	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
44		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
45	3, 43, 44	rspcdva 3623	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
47	21	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
48	47, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
49	48	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
50	49	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
51		lgscl 27355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
52	47, 44, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
53	52	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
55	50, 54	mulcomd 11282	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
56	46, 55	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
57		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
58	44	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
59	58	mul02d 11459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
60	57, 59	sylan9eqr 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
61	60	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
62		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
63	62	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑀) = (𝐴 /L 0))
64	63	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
65	56, 61, 64	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
66		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑀))
67	66	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
68	67	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0))))
69		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
70	68, 43, 69	rspcdva 3623	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
71	70	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
72		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
73	69	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
74	73	mul01d 11460	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 0) = 0)
75	72, 74	sylan9eqr 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
76	75	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
77		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
78	77	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
79	78	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
80	71, 76, 79	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
81		lgsdi 27378	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
82	21, 81	syl3anl1 1414	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
83	65, 80, 82	pm2.61da2ne 3030	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ifcif 4525   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   ≤ cle 11296  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102   /_L clgs 27338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-lgs 27339

This theorem is referenced by: (None)