MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdinn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdinn0 27404
Description: Variation on lgsdi 27393 valid for all 𝑀, 𝑁 but only for positive 𝐴. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = -1, 𝑀 = 0, and some 𝑁 in which case (-1 /L 0) = 1 but (-1 /L 𝑁) = -1 when -1 is not a quadratic residue mod 𝑁.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdinn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdinn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑁))
21oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
32eqeq2d 2746 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0))))
4 sq1 14231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1↑2) = 1
54eqeq2i 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
6 nn0re 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
7 nn0ge0 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
8 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
9 0le1 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 1
10 sq11 14168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
118, 9, 10mpanr12 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
126, 7, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
145, 13bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
1514biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
1615oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = (1 /L 𝑥))
17 1lgs 27399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (1 /L 𝑥) = 1)
1817ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 /L 𝑥) = 1)
1916, 18eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = 1)
2019oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = (1 · (𝐴 /L 0)))
21 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
23 0z 12622 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
24 lgscl 27370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
2522, 23, 24sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
2625zcnd 12721 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
2726mullidd 11277 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐴 /L 0)) = (𝐴 /L 0))
2820, 27eqtr2d 2776 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
29 lgscl 27370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
3021, 29sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
3130zcnd 12721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
3332mul01d 11458 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · 0) = 0)
3421adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
35 lgs0 27369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
37 ifnefalse 4543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴↑2) ≠ 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
3836, 37sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = 0)
3938oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑥) · 0))
4033, 39, 383eqtr4rd 2786 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
4128, 40pm2.61dane 3027 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
4241ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
43423ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
44 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
453, 43, 44rspcdva 3623 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
4645adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
47213ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4847, 23, 24sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
4948zcnd 12721 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
5049adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
51 lgscl 27370 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
5247, 44, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
5352zcnd 12721 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
5453adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
5550, 54mulcomd 11280 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
5646, 55eqtr4d 2778 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
57 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
5844zcnd 12721 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5958mul02d 11457 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
6057, 59sylan9eqr 2797 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
6160oveq2d 7447 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
62 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
6362oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑀) = (𝐴 /L 0))
6463oveq1d 7446 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
6556, 61, 643eqtr4d 2785 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
66 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑀))
6766oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
6867eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0))))
69 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
7068, 43, 69rspcdva 3623 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
7170adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
72 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
7369zcnd 12721 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7473mul01d 11458 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 0) = 0)
7572, 74sylan9eqr 2797 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
7675oveq2d 7447 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
77 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
7877oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
7978oveq2d 7447 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
8071, 76, 793eqtr4d 2785 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
81 lgsdi 27393 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
8221, 81syl3anl1 1411 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
8365, 80, 82pm2.61da2ne 3028 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  ifcif 4531   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  cle 11294  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099   /L clgs 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator