MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdinn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdinn0 26848
Description: Variation on lgsdi 26837 valid for all ๐‘€, ๐‘ but only for positive ๐ด. (The exact location of the failure of this law is for ๐ด = -1, ๐‘€ = 0, and some ๐‘ in which case (-1 /L 0) = 1 but (-1 /L ๐‘) = -1 when -1 is not a quadratic residue mod ๐‘.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdinn0 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))

Proof of Theorem lgsdinn0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) = (๐ด /L ๐‘))
21oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0)))
32eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) โ†” (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0))))
4 sq1 14159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1โ†‘2) = 1
54eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” (๐ดโ†‘2) = 1)
6 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
8 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„
9 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 1
10 sq11 14096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
118, 9, 10mpanr12 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
126, 7, 11syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (1โ†‘2) โ†” ๐ด = 1))
145, 13bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = 1 โ†” ๐ด = 1))
1514biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ๐ด = 1)
1615oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) = (1 /L ๐‘ฅ))
17 1lgs 26843 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 /L ๐‘ฅ) = 1)
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (1 /L ๐‘ฅ) = 1)
1916, 18eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) = 1)
2019oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) = (1 ยท (๐ด /L 0)))
21 nn0z 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
23 0z 12569 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„ค
24 lgscl 26814 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„ค)
2522, 23, 24sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„ค)
2625zcnd 12667 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„‚)
2726mullidd 11232 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (1 ยท (๐ด /L 0)) = (๐ด /L 0))
2820, 27eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) = 1) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
29 lgscl 26814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
3021, 29sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
3130zcnd 12667 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3332mul01d 11413 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท 0) = 0)
3421adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
35 lgs0 26813 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
37 ifnefalse 4541 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ†‘2) โ‰  1 โ†’ if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) = 0)
3836, 37sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ (๐ด /L 0) = 0)
3938oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท 0))
4033, 39, 383eqtr4rd 2784 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰  1) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
4128, 40pm2.61dane 3030 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
4241ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
43423ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)))
44 simp3 1139 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
453, 43, 44rspcdva 3614 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0)))
4645adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0)))
47213ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4847, 23, 24sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„ค)
4948zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„‚)
5049adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L 0) โˆˆ โ„‚)
51 lgscl 26814 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5247, 44, 51syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5352zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5453adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5550, 54mulcomd 11235 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐ด /L 0) ยท (๐ด /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L 0)))
5646, 55eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L 0) ยท (๐ด /L ๐‘)))
57 oveq1 7416 . . . . 5 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
5844zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5958mul02d 11412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
6057, 59sylan9eqr 2795 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = 0)
6160oveq2d 7425 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ด /L 0))
62 simpr 486 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
6362oveq2d 7425 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘€) = (๐ด /L 0))
6463oveq1d 7424 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)) = ((๐ด /L 0) ยท (๐ด /L ๐‘)))
6556, 61, 643eqtr4d 2783 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
66 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (๐ด /L ๐‘ฅ) = (๐ด /L ๐‘€))
6766oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0)))
6867eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘ฅ) ยท (๐ด /L 0)) โ†” (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0))))
69 simp2 1138 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
7068, 43, 69rspcdva 3614 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0)))
7170adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L 0) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0)))
72 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
7369zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
7473mul01d 11413 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
7572, 74sylan9eqr 2795 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = 0)
7675oveq2d 7425 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ด /L 0))
77 simpr 486 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
7877oveq2d 7425 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (๐ด /L 0))
7978oveq2d 7425 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L 0)))
8071, 76, 793eqtr4d 2783 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
81 lgsdi 26837 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
8221, 81syl3anl1 1413 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
8365, 80, 82pm2.61da2ne 3031 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘€) ยท (๐ด /L ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  ifcif 4529   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ†‘cexp 14027   /L clgs 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-lgs 26798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator