Theorem lgsdinn0 27509

Description: Variation on lgsdi 27498 valid for all 𝑀, 𝑁 but only for positive 𝐴. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = -1, 𝑀 = 0, and some 𝑁 in which case (-1 /_L 0) = 1 but (-1 /_L 𝑁) = -1 when -1 is not a quadratic residue mod 𝑁.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdinn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdinn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑁))
2	1	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
3	2	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0))))
4		sq1 14227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1↑2) = 1
5	4	eqeq2i 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
6		nn0re 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nn0ge0 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
8		1re 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		0le1 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
10		sq11 14163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
11	8, 9, 10	mpanr12 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
12	6, 7, 11	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
14	5, 13	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
15	14	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
16	15	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = (1 /L 𝑥))
17		1lgs 27504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 /L 𝑥) = 1)
18	17	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 /L 𝑥) = 1)
19	16, 18	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = 1)
20	19	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = (1 · (𝐴 /L 0)))
21		nn0z 12610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		0z 12597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		lgscl 27475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
27	26	mullidd 11222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐴 /L 0)) = (𝐴 /L 0))
28	20, 27	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
29		lgscl 27475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
30	21, 29	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
32	31	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
33	32	mul01d 11404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · 0) = 0)
34	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
35		lgs0 27474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
37		ifnefalse 4499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑2) ≠ 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
38	36, 37	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = 0)
39	38	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑥) · 0))
40	33, 39, 38	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
41	28, 40	pm2.61dane 3045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
42	41	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
43	42	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
44		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
45	3, 43, 44	rspcdva 3582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
46	45	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
47	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
48	47, 23, 24	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
49	48	zcnd 12696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
50	49	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
51		lgscl 27475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
52	47, 44, 51	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
53	52	zcnd 12696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
54	53	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
55	50, 54	mulcomd 11225	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
56	46, 55	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
57		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
58	44	zcnd 12696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
59	58	mul02d 11403	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
60	57, 59	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
61	60	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
62		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
63	62	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑀) = (𝐴 /L 0))
64	63	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
65	56, 61, 64	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
66		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑀))
67	66	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
68	67	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0))))
69		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
70	68, 43, 69	rspcdva 3582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
71	70	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
72		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
73	69	zcnd 12696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
74	73	mul01d 11404	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 0) = 0)
75	72, 74	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
76	75	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
77		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
78	77	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
79	78	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
80	71, 76, 79	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
81		lgsdi 27498	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
82	21, 81	syl3anl1 1439	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
83	65, 80, 82	pm2.61da2ne 3046	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ifcif 4487   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   ≤ cle 11239  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ↑cexp 14093   /_L clgs 27458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-phi 16820  df-pc 16892  df-lgs 27459

This theorem is referenced by: (None)