MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsne0 26828
Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to 1 or -1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsne0 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 /L 𝑁) β‰  0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem lgsne0
Dummy variables π‘˜ 𝑛 π‘₯ 𝑦 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iffalse 4537 . . . . . 6 (Β¬ (𝐴↑2) = 1 β†’ if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
21necon1ai 2969 . . . . 5 (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) β‰  0 β†’ (𝐴↑2) = 1)
3 iftrue 4534 . . . . . 6 ((𝐴↑2) = 1 β†’ if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 1)
4 ax-1ne0 11176 . . . . . . 7 1 β‰  0
54a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴↑2) = 1 β†’ 1 β‰  0)
63, 5eqnetrd 3009 . . . . 5 ((𝐴↑2) = 1 β†’ if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) β‰  0)
72, 6impbii 208 . . . 4 (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) β‰  0 ↔ (𝐴↑2) = 1)
8 zre 12559 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 absresq 15246 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) = (𝐴↑2))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) = (𝐴↑2))
12 sq1 14156 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
1312a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (1↑2) = 1)
1411, 13eqeq12d 2749 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = (1↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1))
159recnd 11239 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1615abscld 15380 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1715absge0d 15388 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
18 1re 11211 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
19 0le1 11734 . . . . . . 7 0 ≀ 1
20 sq11 14093 . . . . . . 7 ((((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜π΄) = 1))
2118, 19, 20mpanr12 704 . . . . . 6 (((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄)) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜π΄) = 1))
2216, 17, 21syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜π΄) = 1))
2314, 22bitr3d 281 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ ((𝐴↑2) = 1 ↔ (absβ€˜π΄) = 1))
247, 23bitrid 283 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) β‰  0 ↔ (absβ€˜π΄) = 1))
25 oveq2 7414 . . . . 5 (𝑁 = 0 β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
26 lgs0 26803 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
2726adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
2825, 27sylan9eqr 2795 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
2928neeq1d 3001 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ ((𝐴 /L 𝑁) β‰  0 ↔ if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) β‰  0))
30 oveq2 7414 . . . . 5 (𝑁 = 0 β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = (𝐴 gcd 0))
31 gcdid0 16458 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 gcd 0) = (absβ€˜π΄))
3231adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 0) = (absβ€˜π΄))
3330, 32sylan9eqr 2795 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = (absβ€˜π΄))
3433eqeq1d 2735 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ↔ (absβ€˜π΄) = 1))
3524, 29, 343bitr4d 311 . 2 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 = 0) β†’ ((𝐴 /L 𝑁) β‰  0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
36 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
3736lgsval4 26810 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
3837neeq1d 3001 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((𝐴 /L 𝑁) β‰  0 ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))) β‰  0))
39 neeq1 3004 . . . . . . 7 (-1 = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) β†’ (-1 β‰  0 ↔ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) β‰  0))
40 neeq1 3004 . . . . . . 7 (1 = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) β†’ (1 β‰  0 ↔ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) β‰  0))
41 neg1ne0 12325 . . . . . . 7 -1 β‰  0
4239, 40, 41, 4keephyp 4599 . . . . . 6 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) β‰  0
4342biantrur 532 . . . . 5 ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0 ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) β‰  0 ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0))
44 neg1cn 12323 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
45 ax-1cn 11165 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
4644, 45ifcli 4575 . . . . . . 7 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚
4746a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚)
48 nnabscl 15269 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
49483adant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
50 nnuz 12862 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5149, 50eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
5236lgsfcl3 26811 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
53 elfznn 13527 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
54 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
5552, 53, 54syl2an 597 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„€)
5655zcnd 12664 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
57 mulcl 11191 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
5857adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
5951, 56, 58seqcl 13985 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
6047, 59mulne0bd 11862 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) β‰  0 ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0) ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))) β‰  0))
6143, 60bitr2id 284 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))) β‰  0 ↔ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0))
62 gcd2n0cl 16447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„•)
63 eluz2b3 12903 . . . . . . . . 9 ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„• ∧ (𝐴 gcd 𝑁) β‰  1))
64 exprmfct 16638 . . . . . . . . 9 ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))
6563, 64sylbir 234 . . . . . . . 8 (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„• ∧ (𝐴 gcd 𝑁) β‰  1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))
6657adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
6756adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
68 mul02 11389 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
6968adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
70 mul01 11390 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
7170adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
72 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))
73 prmz 16609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
7473ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
75 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
76 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
77 dvdsgcdb 16484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑝 βˆ₯ 𝐴 ∧ 𝑝 βˆ₯ 𝑁) ↔ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁)))
7874, 75, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ ((𝑝 βˆ₯ 𝐴 ∧ 𝑝 βˆ₯ 𝑁) ↔ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁)))
7972, 78mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝐴 ∧ 𝑝 βˆ₯ 𝑁))
8079simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 βˆ₯ 𝑁)
81 dvdsabsb 16216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑁 ↔ 𝑝 βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
8274, 76, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑁 ↔ 𝑝 βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
8380, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (absβ€˜π‘))
8449adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
85 dvdsle 16250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ (absβ€˜π‘) ∈ β„•) β†’ (𝑝 βˆ₯ (absβ€˜π‘) β†’ 𝑝 ≀ (absβ€˜π‘)))
8674, 84, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝑝 βˆ₯ (absβ€˜π‘) β†’ 𝑝 ≀ (absβ€˜π‘)))
8783, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 ≀ (absβ€˜π‘))
88 prmnn 16608 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
8988ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
9089, 50eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
9184nnzd 12582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„€)
92 elfz5 13490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (absβ€˜π‘) ∈ β„€) β†’ (𝑝 ∈ (1...(absβ€˜π‘)) ↔ 𝑝 ≀ (absβ€˜π‘)))
9390, 91, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝑝 ∈ (1...(absβ€˜π‘)) ↔ 𝑝 ≀ (absβ€˜π‘)))
9487, 93mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 ∈ (1...(absβ€˜π‘)))
95 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑝 β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ 𝑝 ∈ β„™))
96 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑝 β†’ (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑝))
97 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑝 β†’ (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑝 pCnt 𝑁))
9896, 97oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑝 β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)))
9995, 98ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑝 β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑝 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1))
100 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)) ∈ V
101 1ex 11207 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
102100, 101ifex 4578 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑝 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
10399, 36, 102fvmpt 6996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘) = if(𝑝 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1))
10489, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘) = if(𝑝 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1))
105 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„™ β†’ if(𝑝 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)))
106105ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ if(𝑝 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)))
107 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 2 β†’ (𝐴 /L 𝑝) = (𝐴 /L 2))
108 lgs2 26807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 /L 2) = if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
10975, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝐴 /L 2) = if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
110107, 109sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) β†’ (𝐴 /L 𝑝) = if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
111 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) β†’ 𝑝 = 2)
11279simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 βˆ₯ 𝐴)
113112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) β†’ 𝑝 βˆ₯ 𝐴)
114111, 113eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) β†’ 2 βˆ₯ 𝐴)
115114iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) β†’ if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
116110, 115eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) β†’ (𝐴 /L 𝑝) = 0)
117 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
118 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
119118adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
120 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝑝 β‰  2)
121 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 β‰  2))
122119, 120, 121sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝑝 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
123 lgsval3 26808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑝 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝐴 /L 𝑝) = ((((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) βˆ’ 1))
124117, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (𝐴 /L 𝑝) = ((((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) βˆ’ 1))
125 oddprm 16740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((𝑝 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
126122, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ ((𝑝 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
127126nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ ((𝑝 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
128 zexpcl 14039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((𝑝 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
129117, 127, 128syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
130129zred 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
131 0red 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 0 ∈ ℝ)
13218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 1 ∈ ℝ)
133119, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
134133nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
135 0zd 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 0 ∈ β„€)
136112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝑝 βˆ₯ 𝐴)
137 dvdsval3 16198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑝) = 0))
138133, 117, 137syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑝) = 0))
139136, 138mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (𝐴 mod 𝑝) = 0)
140 0mod 13864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ ℝ+ β†’ (0 mod 𝑝) = 0)
141134, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (0 mod 𝑝) = 0)
142139, 141eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (𝐴 mod 𝑝) = (0 mod 𝑝))
143 modexp 14198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) ∧ (((𝑝 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑝) = (0 mod 𝑝)) β†’ ((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑝) = ((0↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑝))
144117, 135, 127, 134, 142, 143syl221anc 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ ((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑝) = ((0↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑝))
1451260expd 14101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (0↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) = 0)
146145oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ ((0↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑝) = (0 mod 𝑝))
147144, 146eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ ((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑝) = (0 mod 𝑝))
148 modadd1 13870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑝) = (0 mod 𝑝)) β†’ (((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) = ((0 + 1) mod 𝑝))
149130, 131, 132, 134, 147, 148syl221anc 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) = ((0 + 1) mod 𝑝))
150 0p1e1 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 + 1) = 1
151150oveq1i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 + 1) mod 𝑝) = (1 mod 𝑝)
152149, 151eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) = (1 mod 𝑝))
153133nnred 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
154 prmuz2 16630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
155119, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
156 eluz2b2 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑝 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑝))
157155, 156sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (𝑝 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑝))
158157simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ 1 < 𝑝)
159 1mod 13865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) β†’ (1 mod 𝑝) = 1)
160153, 158, 159syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (1 mod 𝑝) = 1)
161152, 160eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) = 1)
162161oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ ((((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
163 1m1e0 12281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 βˆ’ 1) = 0
164162, 163eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ ((((𝐴↑((𝑝 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) βˆ’ 1) = 0)
165124, 164eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 β‰  2) β†’ (𝐴 /L 𝑝) = 0)
166116, 165pm2.61dane 3030 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝐴 /L 𝑝) = 0)
167166oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)) = (0↑(𝑝 pCnt 𝑁)))
168 zq 12935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
16976, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ β„š)
170 pcabs 16805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (𝑝 pCnt (absβ€˜π‘)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
171118, 169, 170syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝑝 pCnt (absβ€˜π‘)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
172 pcelnn 16800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (absβ€˜π‘) ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt (absβ€˜π‘)) ∈ β„• ↔ 𝑝 βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
173118, 84, 172syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ ((𝑝 pCnt (absβ€˜π‘)) ∈ β„• ↔ 𝑝 βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
17483, 173mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝑝 pCnt (absβ€˜π‘)) ∈ β„•)
175171, 174eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ β„•)
1761750expd 14101 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (0↑(𝑝 pCnt 𝑁)) = 0)
177167, 176eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)) = 0)
178104, 106, 1773eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘) = 0)
17966, 67, 69, 71, 94, 84, 178seqz 14013 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁))) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) = 0)
180179rexlimdvaa 3157 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) = 0))
18165, 180syl5 34 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„• ∧ (𝐴 gcd 𝑁) β‰  1) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) = 0))
18262, 181mpand 694 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) β‰  1 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) = 0))
183182necon1d 2963 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0 β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18451adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
18553adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
186 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
187 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L π‘˜))
188 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt 𝑁) = (π‘˜ pCnt 𝑁))
189187, 188oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)))
190186, 189ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1))
191 ovex 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) ∈ V
192191, 101ifex 4578 . . . . . . . . . . 11 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
193190, 36, 192fvmpt 6996 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1))
194185, 193syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1))
195 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
196 prmz 16609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
197196adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
198 lgscl 26804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
199195, 197, 198syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
200199zcnd 12664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚)
201200adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚)
202 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 2 β†’ (𝐴 /L π‘˜) = (𝐴 /L 2))
203195adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
204203, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝐴 /L 2) = if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
205202, 204sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ = 2) β†’ (𝐴 /L π‘˜) = if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
206 nprmdvds1 16640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 1)
207206adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 1)
208 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
209 dvdsgcdb 16484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ βˆ₯ 𝐴 ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ↔ π‘˜ βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁)))
210197, 195, 208, 209syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ βˆ₯ 𝐴 ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ↔ π‘˜ βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁)))
211 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
212211breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (𝐴 gcd 𝑁) ↔ π‘˜ βˆ₯ 1))
213210, 212bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ βˆ₯ 𝐴 ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ↔ π‘˜ βˆ₯ 1))
214207, 213mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ Β¬ (π‘˜ βˆ₯ 𝐴 ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁))
215 imnan 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ βˆ₯ 𝐴 β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ↔ Β¬ (π‘˜ βˆ₯ 𝐴 ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁))
216214, 215sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ βˆ₯ 𝐴 β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁))
217216con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ βˆ₯ 𝑁 β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝐴))
218217imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝐴)
219 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ βˆ₯ 𝐴 ↔ 2 βˆ₯ 𝐴))
220219notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 2 β†’ (Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝐴 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝐴))
221218, 220syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘˜ = 2 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝐴))
222221imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ = 2) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝐴)
223222iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ = 2) β†’ if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
224205, 223eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ = 2) β†’ (𝐴 /L π‘˜) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
225 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) β†’ (1 β‰  0 ↔ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) β‰  0))
226 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) β†’ (-1 β‰  0 ↔ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) β‰  0))
227225, 226, 4, 41keephyp 4599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) β‰  0
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ = 2) β†’ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) β‰  0)
229224, 228eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ = 2) β†’ (𝐴 /L π‘˜) β‰  0)
230 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„™)
231230ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ π‘˜ ∈ β„™)
232231, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 1)
233 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ π‘˜ βˆ₯ 𝑁)
234231, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
235203adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
236 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ π‘˜ β‰  2)
237 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (π‘˜ ∈ β„™ ∧ π‘˜ β‰  2))
238231, 236, 237sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ π‘˜ ∈ (β„™ βˆ– {2}))
239 oddprm 16740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
240238, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
241240nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
242 zexpcl 14039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
243235, 241, 242syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
244208ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
245 dvdsgcd 16483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ βˆ₯ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ π‘˜ βˆ₯ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd 𝑁)))
246234, 243, 244, 245syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((π‘˜ βˆ₯ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ π‘˜ βˆ₯ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd 𝑁)))
247233, 246mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘˜ βˆ₯ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd 𝑁)))
248235zcnd 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
249248, 241absexpd 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (absβ€˜(𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2))) = ((absβ€˜π΄)↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)))
250249oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((absβ€˜(𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2))) gcd (absβ€˜π‘)) = (((absβ€˜π΄)↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd (absβ€˜π‘)))
251 gcdabs 16469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜(𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2))) gcd (absβ€˜π‘)) = ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd 𝑁))
252243, 244, 251syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((absβ€˜(𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2))) gcd (absβ€˜π‘)) = ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd 𝑁))
253 gcdabs 16469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π΄) gcd (absβ€˜π‘)) = (𝐴 gcd 𝑁))
254235, 244, 253syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((absβ€˜π΄) gcd (absβ€˜π‘)) = (𝐴 gcd 𝑁))
255211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
256254, 255eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((absβ€˜π΄) gcd (absβ€˜π‘)) = 1)
257218adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝐴)
258 dvds0 16212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ βˆ₯ 0)
259234, 258syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ π‘˜ βˆ₯ 0)
260 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 = 0 β†’ (π‘˜ βˆ₯ 𝐴 ↔ π‘˜ βˆ₯ 0))
261259, 260syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (𝐴 = 0 β†’ π‘˜ βˆ₯ 𝐴))
262261necon3bd 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝐴 β†’ 𝐴 β‰  0))
263257, 262mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ 𝐴 β‰  0)
264 nnabscl 15269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„•)
265235, 263, 264syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„•)
266 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑁 β‰  0)
267208, 266, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
268267ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
269 rplpwr 16496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((absβ€˜π΄) ∈ β„• ∧ (absβ€˜π‘) ∈ β„• ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•) β†’ (((absβ€˜π΄) gcd (absβ€˜π‘)) = 1 β†’ (((absβ€˜π΄)↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd (absβ€˜π‘)) = 1))
270265, 268, 240, 269syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (((absβ€˜π΄) gcd (absβ€˜π‘)) = 1 β†’ (((absβ€˜π΄)↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd (absβ€˜π‘)) = 1))
271256, 270mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (((absβ€˜π΄)↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd (absβ€˜π‘)) = 1)
272250, 252, 2713eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd 𝑁) = 1)
273272breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (π‘˜ βˆ₯ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) gcd 𝑁) ↔ π‘˜ βˆ₯ 1))
274247, 273sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘˜ βˆ₯ 1))
275232, 274mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)))
276 prmnn 16608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ π‘˜ ∈ β„•)
277276adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
278277ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
279 dvdsval3 16198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ↔ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) mod π‘˜) = 0))
280278, 243, 279syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ↔ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) mod π‘˜) = 0))
281280necon3bbid 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (Β¬ π‘˜ βˆ₯ (𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ↔ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) mod π‘˜) β‰  0))
282275, 281mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) mod π‘˜) β‰  0)
283 lgsvalmod 26809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((𝐴 /L π‘˜) mod π‘˜) = ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) mod π‘˜))
284235, 238, 283syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((𝐴 /L π‘˜) mod π‘˜) = ((𝐴↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) mod π‘˜))
285278nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
286 0mod 13864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ ℝ+ β†’ (0 mod π‘˜) = 0)
287285, 286syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (0 mod π‘˜) = 0)
288282, 284, 2873netr4d 3019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ ((𝐴 /L π‘˜) mod π‘˜) β‰  (0 mod π‘˜))
289 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 /L π‘˜) = 0 β†’ ((𝐴 /L π‘˜) mod π‘˜) = (0 mod π‘˜))
290289necon3i 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 /L π‘˜) mod π‘˜) β‰  (0 mod π‘˜) β†’ (𝐴 /L π‘˜) β‰  0)
291288, 290syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘˜ β‰  2) β†’ (𝐴 /L π‘˜) β‰  0)
292229, 291pm2.61dane 3030 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝐴 /L π‘˜) β‰  0)
293 pczcl 16778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
294230, 208, 266, 293syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
295294nn0zd 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„€)
296295adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„€)
297 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) β‰  0))
298 expclz 14047 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 /L π‘˜) β‰  0 ∧ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) ∈ β„‚)
299 expne0i 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 /L π‘˜) β‰  0 ∧ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) β‰  0)
300297, 298, 299elrabd 3685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 /L π‘˜) β‰  0 ∧ (π‘˜ pCnt 𝑁) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
301201, 292, 296, 300syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
302 dvdsabsb 16216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
303197, 208, 302syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
304303notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
305 pceq0 16801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (absβ€˜π‘) ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘)) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
306230, 267, 305syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘)) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘)))
307208, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„š)
308 pcabs 16805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘)) = (π‘˜ pCnt 𝑁))
309230, 307, 308syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘)) = (π‘˜ pCnt 𝑁))
310309eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘)) = 0 ↔ (π‘˜ pCnt 𝑁) = 0))
311304, 306, 3103bitr2rd 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁))
312311biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑁) = 0)
313312oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑0))
314200adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚)
315314exp0d 14102 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑0) = 1)
316313, 315eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) = 1)
317 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ 1 β‰  0))
318317elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0))
31945, 4, 318mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0}
320316, 319eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘˜ βˆ₯ 𝑁) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
321301, 320pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
322319a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
323321, 322ifclda 4563 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
324323adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑁)), 1) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
325194, 324eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
326 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ π‘˜ β‰  0))
327326elrab 3683 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} ↔ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ β‰  0))
328 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ 𝑦 β‰  0))
329328elrab 3683 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0))
330 mulcl 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
331330ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
332 mulne0 11853 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑦) β‰  0)
333331, 332jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑦) ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ Β· 𝑦) β‰  0))
334327, 329, 333syl2anb 599 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0}) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑦) ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ Β· 𝑦) β‰  0))
335 neeq1 3004 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘˜ Β· 𝑦) β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ (π‘˜ Β· 𝑦) β‰  0))
336335elrab 3683 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ Β· 𝑦) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} ↔ ((π‘˜ Β· 𝑦) ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ Β· 𝑦) β‰  0))
337334, 336sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0}) β†’ (π‘˜ Β· 𝑦) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
338337adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})) β†’ (π‘˜ Β· 𝑦) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
339184, 325, 338seqcl 13985 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0})
340 neeq1 3004 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0))
341340elrab 3683 . . . . . . . 8 ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} ↔ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ β„‚ ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0))
342341simprbi 498 . . . . . . 7 ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ β‰  0} β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0)
343339, 342syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0)
344343ex 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0))
345183, 344impbid 211 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) β‰  0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
34638, 61, 3453bitrd 305 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((𝐴 /L 𝑁) β‰  0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
3473463expa 1119 . 2 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((𝐴 /L 𝑁) β‰  0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
34835, 347pm2.61dane 3030 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 /L 𝑁) β‰  0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆ– cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  7c7 12269  8c8 12270  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  β„šcq 12929  β„+crp 12971  ...cfz 13481   mod cmo 13831  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024  abscabs 15178   βˆ₯ cdvds 16194   gcd cgcd 16432  β„™cprime 16605   pCnt cpc 16766   /L clgs 26787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16696  df-pc 16767  df-lgs 26788
This theorem is referenced by:  lgsabs1  26829  lgsprme0  26832  lgsdirnn0  26837  lgsqr  26844  lgsdchr  26848  lgsquad3  26880  2lgsoddprm  26909
  Copyright terms: Public domain W3C validator