Theorem lsmidllsp 33344

Description: The sum of two ideals is the ideal generated by their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmidl.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
lsmidl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmidl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmidl.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
lsmidl.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsmidllsp	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))

Proof of Theorem lsmidllsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmidl.3	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
2		lsmidl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		rlmlsm 21088	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
5	1, 4	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
6	5	oveqd 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽))
7		rlmlmod 21086	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9		lsmidl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		lsmidl.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
11		lidlval 21096	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12		lsmidl.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13		rspval 21097	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	12, 13	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅))
16	11, 14, 15	lsmsp 20969	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
17	8, 9, 10, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
18	6, 17	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3909  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  LSSumclsm 19540  Ringcrg 20118  LModclmod 20742  LSpanclspn 20853  ringLModcrglmod 21055  LIdealclidl 21092  RSpancrsp 21093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-lsm 19542  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-rsp 21095

This theorem is referenced by:  lsmidl  33345  mxidlprm  33414