Theorem lsmidllsp 33275

Description: The sum of two ideals is the ideal generated by their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmidl.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
lsmidl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmidl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmidl.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
lsmidl.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsmidllsp	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))

Proof of Theorem lsmidllsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmidl.3	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
2		lsmidl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		rlmlsm 21191	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
5	1, 4	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
6	5	oveqd 7441	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽))
7		rlmlmod 21189	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9		lsmidl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		lsmidl.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
11		lidlval 21199	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12		lsmidl.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13		rspval 21200	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	12, 13	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
15		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅))
16	11, 14, 15	lsmsp 21064	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
17	8, 9, 10, 16	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
18	6, 17	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3945  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  LSSumclsm 19632  Ringcrg 20216  LModclmod 20836  LSpanclspn 20948  ringLModcrglmod 21150  LIdealclidl 21195  RSpancrsp 21196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-lidl 21197  df-rsp 21198

This theorem is referenced by:  lsmidl  33276  mxidlprm  33345