Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmidllsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmidllsp 30988
 Description: The sum of two ideals is the ideal generated by their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmidl.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmidl.3 = (LSSum‘𝑅)
lsmidl.4 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmidl.5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
lsmidl.6 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
lsmidl.7 (𝜑𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsmidllsp (𝜑 → (𝐼 𝐽) = (𝐾‘(𝐼𝐽)))

Proof of Theorem lsmidllsp
StepHypRef Expression
1 lsmidl.3 . . . 4 = (LSSum‘𝑅)
2 lsmidl.5 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 rlmlsm 19979 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
51, 4syl5eq 2871 . . 3 (𝜑 = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
65oveqd 7166 . 2 (𝜑 → (𝐼 𝐽) = (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽))
7 rlmlmod 19977 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9 lsmidl.6 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10 lsmidl.7 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
11 lidlval 19964 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12 lsmidl.4 . . . . 5 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13 rspval 19965 . . . . 5 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
1412, 13eqtri 2847 . . . 4 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
15 eqid 2824 . . . 4 (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅))
1611, 14, 15lsmsp 19858 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽) = (𝐾‘(𝐼𝐽)))
178, 9, 10, 16syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽) = (𝐾‘(𝐼𝐽)))
186, 17eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝐼 𝐽) = (𝐾‘(𝐼𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∪ cun 3917  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  LSSumclsm 18759  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  LSpanclspn 19743  ringLModcrglmod 19941  LIdealclidl 19942  RSpancrsp 19943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-lidl 19946  df-rsp 19947 This theorem is referenced by:  lsmidl  30989  mxidlprm  31018
 Copyright terms: Public domain W3C validator