Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlacl 19983
 Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlacl.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlacl (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐼𝑌𝐼)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlacl
StepHypRef Expression
1 lidlacl.p . . . 4 + = (+g𝑅)
2 rlmplusg 19965 . . . 4 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2824 . . 3 + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
43oveqi 7152 . 2 (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌)
5 rlmlmod 19974 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
65adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼𝑈)
8 lidlcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
9 lidlval 19961 . . . . . 6 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
108, 9eqtri 2824 . . . . 5 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
117, 10eleqtrdi 2903 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
126, 11jca 515 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
13 eqid 2801 . . . 4 (+g‘(ringLMod‘𝑅)) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
14 eqid 2801 . . . 4 (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
1513, 14lssvacl 19723 . . 3 ((((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ (𝑋𝐼𝑌𝐼)) → (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
1612, 15sylan 583 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐼𝑌𝐼)) → (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
174, 16eqeltrid 2897 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐼𝑌𝐼)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  +gcplusg 16561  Ringcrg 19294  LModclmod 19631  LSubSpclss 19700  ringLModcrglmod 19938  LIdealclidl 19939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-subg 18272  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-lidl 19943 This theorem is referenced by:  lidlsubg  19985  zringlpirlem3  20183  intlidl  31014  rhmpreimaidl  31015  idlinsubrg  31020  mxidlprm  31052  ssmxidllem  31053  hbtlem2  40065  hbtlem5  40069
 Copyright terms: Public domain W3C validator