Theorem lidlacl 21500

Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlacl	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlacl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
2		rlmplusg 21469	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2783	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
4	3	oveqi 7433	. 2 ⊢ (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌)
5		rlmlmod 21478	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		lidlcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
9		lidlval 21488	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
11	7, 10	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12	6, 11	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘(ringLMod‘𝑅)) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
15	13, 14	lssvacl 21218	. . 3 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
16	12, 15	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
17	4, 16	eqeltrid 2864	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  +_gcplusg 17428  Ringcrg 20459  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206  ringLModcrglmod 21447  LIdealclidl 21484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-subg 19333  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486

This theorem is used by:  lidlsubg  21502  unichnlidl  21516  rhmpreimaidl  21571  ssdifidllem  21640  zringlpirlem3  21770  intlidl  34012  idlinsubrg  34023  mxidlprm  34037  ssmxidllem  34040  qsdrnglem2  34062  dflring3  34071  hbtlem2  44169  hbtlem5  44173