Theorem lsmidl 33356

Description: The sum of two ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmidl.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
lsmidl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmidl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmidl.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
lsmidl.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsmidl	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmidl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		lsmidl.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
3		lsmidl.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
4		lsmidl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		lsmidl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		lsmidl.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lsmidllsp 33355	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
8		rlmlmod 21130	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	1, 10	lidlss 21142	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	5, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	1, 10	lidlss 21142	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
15	12, 14	unssd 4140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∪ 𝐽) ⊆ 𝐵)
16		rlmbas 21120	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
17	1, 16	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
18		lidlval 21140	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19		rspval 21141	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
20	3, 19	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	17, 18, 20	lspcl 20902	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ (𝐼 ∪ 𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)) ∈ (LIdeal‘𝑅))
22	9, 15, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)) ∈ (LIdeal‘𝑅))
23	7, 22	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  LSSumclsm 19539  Ringcrg 20144  LModclmod 20786  LSpanclspn 20897  ringLModcrglmod 21099  LIdealclidl 21136  RSpancrsp 21137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-cntz 19222  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-ur 20093  df-ring 20146  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-rsp 21139

This theorem is referenced by:  ssdifidlprm  33413  mxidlprm  33425  idlsrgmnd  33469