Theorem lsmidl 33135

Description: The sum of two ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmidl.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
lsmidl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmidl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmidl.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
lsmidl.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsmidl	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmidl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		lsmidl.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
3		lsmidl.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
4		lsmidl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		lsmidl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		lsmidl.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lsmidllsp 33134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
8		rlmlmod 21103	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
10		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	1, 10	lidlss 21115	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	5, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	1, 10	lidlss 21115	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
15	12, 14	unssd 4188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∪ 𝐽) ⊆ 𝐵)
16		rlmbas 21093	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
17	1, 16	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
18		lidlval 21113	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19		rspval 21114	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
20	3, 19	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	17, 18, 20	lspcl 20867	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ (𝐼 ∪ 𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)) ∈ (LIdeal‘𝑅))
22	9, 15, 21	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)) ∈ (LIdeal‘𝑅))
23	7, 22	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  LSSumclsm 19596  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  LSpanclspn 20862  ringLModcrglmod 21064  LIdealclidl 21109  RSpancrsp 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112

This theorem is referenced by:  mxidlprm  33208  idlsrgmnd  33250