Theorem lsmidl 33493

Description: The sum of two ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmidl.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
lsmidl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmidl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmidl.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
lsmidl.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsmidl	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmidl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		lsmidl.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
3		lsmidl.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
4		lsmidl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		lsmidl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		lsmidl.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lsmidllsp 33492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
8		rlmlmod 21167	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	1, 10	lidlss 21179	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	5, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	1, 10	lidlss 21179	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
15	12, 14	unssd 4146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∪ 𝐽) ⊆ 𝐵)
16		rlmbas 21157	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
17	1, 16	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
18		lidlval 21177	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19		rspval 21178	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
20	3, 19	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	17, 18, 20	lspcl 20939	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ (𝐼 ∪ 𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)) ∈ (LIdeal‘𝑅))
22	9, 15, 21	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)) ∈ (LIdeal‘𝑅))
23	7, 22	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  LSSumclsm 19575  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934  ringLModcrglmod 21136  LIdealclidl 21173  RSpancrsp 21174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176

This theorem is referenced by:  ssdifidlprm  33550  mxidlprm  33562  idlsrgmnd  33606