Theorem rspcl 21196

Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21161	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		rspcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rlmbas 21151	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	eqtri 2758	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5		rspcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
6		lidlval 21171	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
7	5, 6	eqtri 2758	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
8		rspcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
9		rspval 21172	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2758	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
11	4, 7, 10	lspcl 20933	. 2 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)
12	1, 11	sylan 580	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  Ringcrg 20193  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  LSpanclspn 20928  ringLModcrglmod 21130  LIdealclidl 21167  RSpancrsp 21168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170

This theorem is referenced by:  rsp1  21198  lpiss  21290  znlidl  21494  zndvds  21510  dvdsrspss  33402  unitpidl1  33439  drngidl  33448  isprmidlc  33462  ssdifidlprm  33473  mxidlirredi  33486  qsdrngilem  33509  idlsrgmulrcl  33525  rsprprmprmidl  33537  rprmirredb  33547  1arithufdlem4  33562  algextdeglem4  33754  zarclsiin  33902  zarclsint  33903  zarcmplem  33912  rspssbasd  35662  zndvdchrrhm  41985  rhmqusspan  42198  hbtlem6  43153  hbt  43154