Theorem islnr2 44253

Description: Property of being a left-Noetherian ring in terms of finite generation of ideals (the usual "pure ring theory" definition). (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islnr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islnr2.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islnr2.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islnr2	⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑖,𝑅   𝑖,𝑁,𝑔   𝑈,𝑖,𝑔   𝐵,𝑖,𝑔

Proof of Theorem islnr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islnr 44250	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ LNoeM))
2		rlmlmod 21487	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
3		islnr2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rlmbas 21477	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5	3, 4	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
6		islnr2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		lidlval 21497	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
8	6, 7	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
9		islnr2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
10		rspval 21498	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
11	9, 10	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
12	5, 8, 11	islnm2 44217	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LNoeM ↔ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
13	12	baib 545	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → ((ringLMod‘𝑅) ∈ LNoeM ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
14	2, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ringLMod‘𝑅) ∈ LNoeM ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
15	14	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ LNoeM) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
16	1, 15	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 4088  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6543  Fincfn 8981  Basecbs 17396  Ringcrg 20468  LModclmod 21144  LSubSpclss 21215  LSpanclspn 21255  ringLModcrglmod 21456  LIdealclidl 21493  RSpancrsp 21494  LNoeMclnm 44214  LNoeRclnr 44248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-lidl 21495  df-rsp 21496  df-lfig 44207  df-lnm 44215  df-lnr 44249

This theorem is used by:  islnr3  44254  lnr2i  44255  lpirlnr  44256  hbt  44269