Theorem rspval 21211

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspval	⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 21209	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6835	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lsp 20978	. . 3 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)
4		rlmfn 21187	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6592	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6936	. 2 ⊢ ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2763	1 ⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1547  Vcvv 3432   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  LSpanclspn 20968  ringLModcrglmod 21169  RSpancrsp 21207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-nn 12173  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-rgmod 21171  df-rsp 21209

This theorem is referenced by:  rspcl  21235  rspssid  21236  rsp0  21238  rspssp  21239  elrspsn  21240  mrcrsp  21241  lidlrsppropd  21244  rspsn  21333  elrsp  33462  lsmidllsp  33490  lsmidl  33491  mxidlprm  33560  idlsrgmulrss1  33601  idlsrgmulrss2  33602  rlmdim  33801  islnr2  43566