Theorem rspval 21261

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspval	⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 21259	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6864	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lsp 21028	. . 3 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)
4		rlmfn 21237	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6617	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6965	. 2 ⊢ ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2784	1 ⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1559  Vcvv 3453   ∘ ccom 5649  Fun wfun 6511   Fn wfn 6512  ‘cfv 6517  LSpanclspn 21018  ringLModcrglmod 21219  RSpancrsp 21257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-1cn 11128  ax-addcl 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-nn 12208  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-rgmod 21221  df-rsp 21259

This theorem is referenced by:  rspcl  21285  rspssid  21286  rsp0  21288  rspssp  21289  elrspsn  21290  mrcrsp  21291  lidlrsppropd  21294  rspsn  21383  elrsp  33519  lsmidllsp  33547  lsmidl  33548  mxidlprm  33619  idlsrgmulrss1  33668  idlsrgmulrss2  33669  rlmdim  33868  islnr2  43655