Theorem rspval 21522

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspval	⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 21520	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6912	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lsp 21289	. . 3 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)
4		rlmfn 21498	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6664	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 7013	. 2 ⊢ ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2786	1 ⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3454   ∘ ccom 5660  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  LSpanclspn 21279  ringLModcrglmod 21480  RSpancrsp 21518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-1cn 11288  ax-addcl 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12366  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-rgmod 21482  df-rsp 21520

This theorem is used by:  rspcl  21551  rspssid  21552  rsp0  21554  rspssp  21555  rspvalint  21556  elrspsn  21558  mrcrsp  21562  lidlrsppropd  21565  lsmidllsp  21570  lsmidl  21571  rspsn  21690  elrsp  34011  mxidlprm  34079  idlsrgmulrss1  34127  idlsrgmulrss2  34128  rlmdim  34325  islnr2  44319