Theorem rspval 20815

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspval	⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 20788	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6893	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lsp 20592	. . 3 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)
4		rlmfn 20812	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6650	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6993	. 2 ⊢ ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2761	1 ⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3475   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544  LSpanclspn 20582  ringLModcrglmod 20782  RSpancrsp 20784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-rgmod 20786  df-rsp 20788

This theorem is referenced by:  rspcl  20847  rspssid  20848  rsp0  20850  rspssp  20851  mrcrsp  20852  lidlrsppropd  20855  rspsn  20892  rspsnel  32484  elrsp  32486  lsmidllsp  32510  lsmidl  32511  mxidlprm  32586  idlsrgmulrss1  32625  idlsrgmulrss2  32626  rlmdim  32694  rgmoddimOLD  32695  islnr2  41856