MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rspval 20665
Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
rspval (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval
StepHypRef Expression
1 df-rsp 20639 . . 3 RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
21fveq1i 6844 . 2 (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3 00lsp 20445 . . 3 ∅ = (LSpan‘∅)
4 rlmfn 20662 . . . 4 ringLMod Fn V
5 fnfun 6603 . . . 4 (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
64, 5ax-mp 5 . . 3 Fun ringLMod
73, 6fvco4i 6943 . 2 ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
82, 7eqtri 2765 1 (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3446  ccom 5638  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  cfv 6497  LSpanclspn 20435  ringLModcrglmod 20633  RSpancrsp 20635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-1cn 11110  ax-addcl 11112
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12155  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-rgmod 20637  df-rsp 20639
This theorem is referenced by:  rspcl  20695  rspssid  20696  rsp0  20698  rspssp  20699  mrcrsp  20700  lidlrsppropd  20703  rspsn  20727  rspsnel  32163  elrsp  32165  lsmidllsp  32184  lsmidl  32185  mxidlprm  32240  idlsrgmulrss1  32256  idlsrgmulrss2  32257  rgmoddim  32310  islnr2  41444
  Copyright terms: Public domain W3C validator