Theorem rspval 21146

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspval	⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 21144	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6823	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lsp 20912	. . 3 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)
4		rlmfn 21122	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6581	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6923	. 2 ⊢ ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2754	1 ⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1541  Vcvv 3436   ∘ ccom 5620  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  LSpanclspn 20902  ringLModcrglmod 21104  RSpancrsp 21142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-1cn 11061  ax-addcl 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12123  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-rgmod 21106  df-rsp 21144

This theorem is referenced by:  rspcl  21170  rspssid  21171  rsp0  21173  rspssp  21174  elrspsn  21175  mrcrsp  21176  lidlrsppropd  21179  rspsn  21268  elrsp  33332  lsmidllsp  33360  lsmidl  33361  mxidlprm  33430  idlsrgmulrss1  33471  idlsrgmulrss2  33472  rlmdim  33617  rgmoddimOLD  33618  islnr2  43146