Theorem rspval 21495

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspval	⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 21493	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6887	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lsp 21262	. . 3 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)
4		rlmfn 21471	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6640	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6988	. 2 ⊢ ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2783	1 ⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  Vcvv 3450   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6533   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  LSpanclspn 21252  ringLModcrglmod 21453  RSpancrsp 21491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-1cn 11262  ax-addcl 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-rgmod 21455  df-rsp 21493

This theorem is used by:  rspcl  21524  rspssid  21525  rsp0  21527  rspssp  21528  rspvalint  21529  elrspsn  21531  mrcrsp  21535  lidlrsppropd  21538  lsmidllsp  21543  lsmidl  21544  rspsn  21663  elrsp  33974  mxidlprm  34042  idlsrgmulrss1  34090  idlsrgmulrss2  34091  rlmdim  34289  islnr2  44210