Theorem rspval 21372

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspval	⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 21370	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6889	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lsp 21139	. . 3 ⊢ ∅ = (LSpan‘∅)
4		rlmfn 21348	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6642	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6990	. 2 ⊢ ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2789	1 ⊢ (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3458   ∘ ccom 5670  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  LSpanclspn 21129  ringLModcrglmod 21330  RSpancrsp 21368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-1cn 11176  ax-addcl 11178

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12252  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-rgmod 21332  df-rsp 21370

This theorem is used by:  rspcl  21401  rspssid  21402  rsp0  21404  rspssp  21405  rspvalint  21406  elrspsn  21408  mrcrsp  21412  lidlrsppropd  21415  lsmidllsp  21420  lsmidl  21421  rspsn  21538  elrsp  33717  mxidlprm  33784  idlsrgmulrss1  33832  idlsrgmulrss2  33833  rlmdim  34031  islnr2  43882